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arXiv 0801.29422008-01-18math.CAmath.MG

四角康托尔集的Buffon针概率的幂律

The power law for the Buffon needle probability of the four-corner Cantor set

Fedor Nazarov, Yuval Peres, Alexander Volberg

备注：: 16 pages, 2 figures

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摘要：

设$C_n$是构造中半康托尔集的第一代$n$。$C_n$的笛卡尔正方形$K_n$由边长为$4^{-n}$的$4^n$正方形组成。在单位正方形中随机抛出的长针遇到$K_n$的概率本质上是$K_n$投影的平均长度，也称为$K_n$的法瓦德长度。Besicovitch的一个经典定理暗示了$K_n$的Favard长度趋于零。确定它的确切衰变率仍然是一个悬而未决的问题。直到最近，唯一明确的上界是$\exp(- c\log_* n)$，这是Peres和Solomyak提出的。（$\log_* n$是从$n$开始取对数以获得小于1的数的次数）。结合分析和组合的思想，我们得到了一个幂律界。

英文摘要：

Let $C_n$ be the $n$-th generation in the construction of the middle-half Cantor set. The Cartesian square $K_n$ of $C_n$ consists of $4^n$ squares of side-length $4^{-n}$. The chance that a long needle thrown at random in the unit square will meet $K_n$ is essentially the average length of the projections of $K_n$, also known as the Favard length of $K_n$. A classical theorem of Besicovitch implies that the Favard length of $K_n$ tends to zero. It is still an open problem to determine its exact rate of decay. Until recently, the only explicit upper bound was $\exp(- c\log_* n)$, due to Peres and Solomyak. ($\log_* n$ is the number of times one needs to take log to obtain a number less than 1 starting from $n$). We obtain a power law bound by combining analytic and combinatorial ideas.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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