Triangle percolation in mean field random graphs -- with PDE
Balázs Ráth, Bálint Tóth
本文应用偏微分方程的方法，推导了Palla，Derényi和Vicsek研究的Erdens-Rényi随机图过程的"三角形分解“的临界时间和巨分支的大小
We apply a PDE-based method to deduce the critical time and the size of the giant component of the ``triangle percolation'' on the Erdős-Rényi random graph process investigated by Palla, Derényi and Vicsek
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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On the derivation of mean-field percolation critical exponents from the triangle condition
我们给出了一个新的推导的平均场渗流临界行为的三角形条件，是定量上比以前的证明时，三角形图$\nabla_{p_c}$大。与早期的方法相比，我们的方法继续产生合理的顺序的界限时，三角形图$\nabla_p$是无界的，但发散缓慢的$p \uparrow p_c$，预计会发生在渗流$\mathbb{Z}^d$在上临界尺寸$d=6$。事实上，我们特别表明，如果三角形图发散多项式为$p \uparrow p_c$，那么平均场临界行为保持在一个多项式因子内。我们应用我们开发的方法来推断，长程渗流的层次晶格，平均场临界行为持有内的上临界尺寸的多对数因子。作为证明的一部分，我们介绍了一种新的方法，比较一般的传递图，可能是独立的利益的图形和。
Critical percolation in annuli and $SLE_6$
基于对临界渗流勘探过程的标度极限作为Schramm-Loewner演化的识别，我们推导出环空穿越概率的PDE表征。
Uniqueness for a class of one-dimensional stochastic PDEs using moment duality
对于Z^d（d >> 6）上的独立最近邻键渗流，我们证明了初始无限集团的两点函数和三点函数在标度极限下收敛于积分超布朗漂移（ISE）的两点函数和三点函数.证明是基于在以前的文件中导出的渗流的新的扩展，并涉及治疗磁场作为一个复变数。我们的结果对于两个点函数的一个特殊情况意味着，在临界点处，原点的簇由n个位点组成的概率由n^{-3/2}的倍数加上n{-3/2-ε}阶的误差项（ε> 0）给出。这是一个强有力的声明，临界指数δ由δ= 2给出。
A note about critical percolation on finite graphs
本文研究了满足Borgs等人定义的有限三角形条件的有限图G上临界渗流的最大分支C_1的几何性质，证明了该分支的大小为n^{2/3}，这里我们证明它的直径是n^{1/3}简单随机游动在其上混合需要n步.我们的结果适用于有限环面Z_n^d等高维有限图上的临界渗流（d大，n趋于无穷大）和汉明立方体{0，1}^n。
Mean-field behavior for nearest-neighbor percolation in $d>10$
我们证明，最近邻渗流尺寸$d\geq 11$显示平均场的行为，证明红外线的限制，反过来又意味着有限的渗流三角图。三角形的有限性意味着各种临界指数的存在和平均场值，例如$γ=1, β=1, δ=2$。我们还证明了两点函数在$x$空间的渐近性和各种臂指数的存在性.在Hara和Slade未发表的工作中，在$d\geq 19$维的最近邻渗流中已经得到了这样的结果，因此我们把严格证明了平均场行为的维度从$19$降到了$11$。我们的结果也意味着最近邻渗流的临界值上的急剧界$\mathbb{Z}^d$，这是可证明的最多$1.306\%$关闭在$d=11$。我们利用的一般方法分析在所附的文件“广义方法的非回溯花边扩张”的Fitzner和范德霍夫斯塔德，提出使用花边扩张扰动周围的非回溯随机行走。这个证明是{ \em计算机辅助}的，依赖于（1）Hara和Slade（1992）证明的各种简单随机游走积分的严格数值上界和（2）导出的数值条件保持为真的验证。这两个要素在两个Mathematica笔记本中实现，可以从第一作者的网站下载。本文的主要步骤是（a）导出渗流两点函数的非回溯花边展开;（b）限制非回溯花边展开系数，从而表明一般方法适用;以及（c）描述系数的数值界限。在这个扩展版本的附录中，我们给出了关于文章版本中没有给出的边界的更多细节。
Bond percolation on isoradial graphs: criticality and universality
在等径图上的渗流研究中，我们证明了正则键渗流在可平面图的等径嵌入上的临界性，从而推广了较早的关于均匀和非均匀正方形、三角形和其它格点的著名结果。这是通过星三角形变换实现的，通过在等径图族中传输盒交叉属性。因此，我们得到的普遍性，这些模型在临界点，在这个意义上说，单臂和2 j-交替臂临界指数（因此也是连通性和体积指数）是恒定的家庭这样的渗流过程。所讨论的等径图是那些在嵌入和迹系上满足一定弱条件的图。这类图包括，例如，周期图的等距嵌入，以及从菱形彭罗斯镶嵌导出的图。
Critical two-point functions and the lace expansion for spread-out high-dimensional percolation and related models
我们考虑扩展模型的自避免行走，债券渗流，格树和债券晶格动物的d维超立方晶格具有长的有限范围的连接，超过其上临界尺寸d=4（自避免行走），d=6（渗流）和d=8（树木和动物）。这些模型的两点函数分别是从原点到x的自避免行走的生成函数，从0到x的连接的概率，以及包含0和x的格树或格动物的生成函数。我们使用花边扩展证明，充分展开的模型以上的临界尺寸，两点函数的每个模型衰减，在临界点，作为$|x|^{2-d}$的倍数，x趋于无穷大。我们用一种新的统一方法证明了花边展开式的收敛性。该方法基于x空间方法而不是傅立叶变换。我们的结果也产生统一和简化的证明泡沫条件的自我避免行走，三角形条件的渗流，和正方形条件的格树和格子动物，充分展开的模型以上的上临界尺寸。
Inhomogeneous bond percolation on square, triangular and hexagonal lattices
利用星三角变换得到了一个推广到正方形、三角形和六角晶格上的所有（不）均相键渗流模型的等价性。其中的后果是盒交叉（RSW）不等式的参数值的转换是有效的，这样的模型。这是向证明这些过程的普遍性和一致性迈出的一步。它蕴涵着这些值的临界性，从而为非均匀系统的临界点提供了一个新的证明。证明扩展到某些isoradial模型，以前的方法不适用。
Universality for bond percolation in two dimensions
正方形、三角形和六边形晶格上的所有（非）均质键渗流模型都属于同一普适类，因为它们在临界点具有相同的临界指数（假设指数存在）。这是证明使用星三角形变换和盒交叉性质。所讨论的指数是单臂指数$ρ$、$j\ge1$的2 j-交替臂指数$ρ_{2j}$、体积指数$δ$和连通性指数$η$。根据Kesten早期的结果，这意味着对于满足某种附加假设的任何模型，如这三种晶格上的均匀键渗流模型，近临界指数$β$、$γ$、$ν$、$Δ$（假设这些指数存在）也具有普适性。
Percolation on hyperbolic graphs
我们证明了在任何非顺从的、Gromov双曲的、拟传递的图上的Bernoulli键渗流都有一个相位，在这个相位中有无穷多个无限簇，在双曲性的附加假设下验证了Benjamini和Schramm（1996）的一个著名猜想。换句话说，我们证明了对任何这样的图，都有$p_c<p_u$。我们的证明也产生三角形条件$\nabla_{p_c}<\infty$持有在任何这样的图，这是已知的，意味着几个临界指数存在，并采取他们的平均场值的临界。这给出了第一个家庭的例子，单端群的凯莱图都被证明有平均场临界指数的渗流。
On Crossing Event Formulas in Critical Two-Dimensional Percolation
本文研究了临界二维渗流模型在连续极限中出现的交叉函数的几个公式。其中包括Watts的水平-垂直交叉概率公式和Cardy的交叉簇预期数量新公式。结果表明，在共形不变性的假设下，当空间域是一个等边三角形的内部时，他们简化。这两个交叉函数可以表示为具有三角形旋转对称性的等调和椭圆函数。这表明，严格证明瓦茨的公式和卡迪的新公式将是最容易构造的，如果底层晶格是三角形。本文还研究了Schramm的“体积Cardy公式”在三角形区域内的简化问题。
High-dimensional near-critical percolation and the torus plateau
我们考虑渗流$\mathbb{Z}^d$和$d$维离散环面，在尺寸$d \ge 11$的最近邻模型和尺寸$d>6$的扩展模型。对于$\mathbb{Z}^d$，我们采用了广泛的技术和以前的结果来证明存在正的常数$c$和$C$，使得稍微亚临界的两点函数和单臂概率满足\[ \mathbb{P}_{p_c-\varepsilon}(0 \leftrightarrow x) \leq \frac{C}{\|x\|^{d-2}} e^{-c\varepsilon^{1/2} \|x\|} \quad \text{ and } \quad \frac{c}{r^{2}} e^{-C \varepsilon^{1/2}r} \leq \mathbb{P}_{p_c-\varepsilon}\Bigl(0 \leftrightarrow \partial [-r,r]^d \Bigr) \leq \frac{C}{r^2} e^{-c \varepsilon^{1/2}r}. \]。这意味着它对于小的$x$衰减为$\|x\|^{-(d-2)}$，但是对于大的$x$基本上是恒定的并且是$V^{-2/3}$阶，其中$V^{-2/3}$是环面的体积。两点函数的平台立即导致环面三角形条件的证明，已知该条件对环面上的临界行为具有许多含义，并且还导致环面上的临界值和$\mathbb{Z}^d$上的临界值被$V…
Critical percolation on the kagome hypergraph
研究了每个三角形都允许任意连通的kagome格的渗流临界面。使用临界多项式的方法，我们找到点沿着这个临界表面的高精度。这个kagome超图包含许多未解决的问题作为特殊情况，包括在kagome和$(3,12^2)$晶格上的键渗透，和在六边形或蜂窝状晶格上的位置渗透，以及存在精确解的单个点。我们能够计算足够的点沿临界表面找到一个非常准确的拟合，基本上是一个泰勒级数的确切点，这使得估计的临界点的任何系统的表面上的精度媲美蒙特卡洛和传统技术的类似精度。我们还发现，这个系统揭示了一些令人惊讶的方面的方法的关键多项式，如为什么它是如此准确的某些问题，如戈薇和$(3,12^2)$格。这些晶格的键渗透临界点可以分别找到17位和18位，因为它们非常接近临界表面上的精确点，在某种意义上可以量化。我们还详细讨论了并行实现的方法，我们在这里使用的一些计算。
On the combinatorics of last passage percolation in a quarter square and $\mathrm{GOE}^2$ fluctuations
在本说明中，我们给出了一个（nother）组合证明的一个老结果的Baik-雨：对于适当考虑的独立几何权重，$2n \times n \times n$四分之一正方形中最后一次通过逾渗聚合物的生成序列（点到半线反射几何）分裂为两个更简单的生成系列的产物-对于点到半线反射几何中的最后一个通道渗滤聚合物，线几何形状和点到点反射（半空间）几何形状中的最后一次通过渗流，后者都在$n \times n \times n$三角形中。作为推论，对于iid几何随机变量-参数$q$非对角线和参数$\sqrt{q}$在对角线上-我们看到，在所述四分之一正方形中的最后一次通过渗流时间服从大$n$极限中的Tracy-Widom $\mathrm{GOE}^2$波动，因为点到线和点到点反射几何都具有已知的GOE波动。这是一个离散的模拟著名的Baik-雷恩斯定理（极限$q \to 0$）和最近的结果从Bisi的博士论文（极限$q \to 1$）。
Non-uniqueness and mean-field criticality for percolation on nonunimodular transitive graphs
本文研究了非幺模拟传递图的Bernoulli键渗流问题，以及自同构群具有非幺模拟传递子群的图的Bernoulli键渗流问题。我们证明了任何这样的图上的渗流有一个非空的阶段，其中有无限的轻集群，这意味着存在一个非空的阶段，其中有无限多的无限集群。也就是说，我们表明，$p_c<p_h \leq p_u$的任何这样的图。这回答了Haggstrom，Peres，and Schonmann（1999）的一个问题，并验证了Benjamini and Schramm（1996）的一个著名猜想的非幺模情形。我们还证明了三角形条件在任何这样的图的临界，这意味着各种临界指数存在，并采取他们的平均场值。例如，我们所有的结果都适用于$k$ -正则树的乘积$T_k\times \mathbb{Z}^d$，其中对于$k\geq 3$和$d \geq 1$，有$\mathbb{Z}^d$，这些结果以前只知道对于大的$k$。此外，我们的方法也使我们能够建立基本的拓扑特征的相图各向异性渗流对这样的产品，其中树边和$\mathbb{Z}^d$边被赋予不同的保留概率。这些功能之前仅针对$d=1$、$k$大号确立。
Pointwise two-point function estimates and a non-pertubative proof of mean-field critical behaviour for long-range percolation
研究长程渗流临界两点函数的精确衰减，证明逐点上下界及次临界估计，并在最小维度假设下非微扰地推出三角条件与平均场临界行为。
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