Ramanujan-type formulae for $1/π$: A second wind?
Wadim Zudilin
1914年S.拉马努金为$1/π$录制了17个系列。我们调查的拉马努金公式的证明方法，并指出最近发现的推广，其中一些尚未证明。
In 1914 S. Ramanujan recorded a list of 17 series for $1/π$. We survey the methods of proofs of Ramanujan's formulae and indicate recently discovered generalizations, some of which are not yet proven.
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Ramanujan-type formulae for $1/π$: the art of translation
我们概述了一个初等方法证明数值超几何恒等式，特别是，Ramanujan型恒等式$1/π$。其主要思想是利用算术超几何级数的代数变换将非奇点转化为奇异点，其中所需的常数可以使用渐近分析来计算。
Ramanujan-type formulae for $1/π$: $q$-analogues
超几何公式设计的拉马努金一个多世纪前有效的近似$π$，阿基米德常数，仍然是一个有吸引力的对象的算术研究。本文讨论了Ramanujan型评价和相关超同余的某些$q$ -类似物。
Chudnovsky-Ramanujan Type Formulae for the Legendre Family
我们应用在我们以前的工作中建立的方法，得到了一个Chudnovsky-Ramanujan型公式的勒让德族的椭圆曲线。结果证明了$1/π$关于超几何函数的两个恒等式。
Some asymptotic formulae involving Cohen-Ramanujan expansions
本文针对具有绝对收敛Cohen-Ramanujan展开的算术函数，推导了其相关卷积和的渐近公式，并给出若干函数的展开实例以验证结论。
On Chudnovsky-Ramanujan Type Formulae
在一个著名的1914年的文件，拉马努金了一些迅速收敛系列的$1/π$这是来自使用模函数的较高水平。D. V.和G. V. Chudnovsky在他们1988年的论文中使用1级的模函数$J$导出了表示$1/π$的类似级数，这导致了$1/π$的高度收敛级数，通常在实践中使用。在本文中，我们解释Chudnovsky方法的背景下，椭圆曲线，模曲线，和皮卡德-富克斯微分方程。在这样做时，我们也推广他们的方法，以产生公式是有效的周围的任何奇异点的Picard-Fuchs微分方程。将该方法应用于由水平1的绝对Klein不变量$J$参数化的椭圆曲线族，确定了所有在三个奇点之一：$0, 1, \infty$附近有效的Chudnovsky-Ramanujan型公式.
Quadratic transformations and Guillera's formulae for $1/π^2$
证明了$1/π^2$的两个新的Ramanujan型级数.
Some asymptotic formulae involving Cohen-Ramanujan expansions
本文研究了具有绝对收敛Cohen-Ramanujan展开的算术函数，推导了其加权和式的渐近公式，并给出特定函数的展开以说明结果。
A p-adic analogue of a formula of Ramanujan
拉马努金一生中提供了许多将二项和与Γ函数的特殊值联系起来的公式。基于数值计算，Van Hamme最近提出了类似于这些公式的$p$ -adic类似物。利用普通的和高斯的超几何级数的组合，我们证明了这些公式之一。
Chudnovsky-Ramanujan Type Formulae for non-Compact arithmetic triangle groups
本文推广 Chudnovsky 兄弟的方法，为非紧算术三角群及非 Fuchsian 覆盖统一推导 Chudnovsky-Ramanujan 型公式，复现并扩展 Chan-Cooper 与孙智伟的有理级数，并提出严格确认权 2 规范化 Eisenstein 级数奇异值的算法。
On the elegance of Ramanujan's series for $π$
重新提出了传统的证明Srinivasa拉马努金自己最喜欢的系列为倒数的$π$：\begin{equation}\frac{1}π = \frac{\sqrt{8}}{9801} \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(4n)!}{(n!)^4} \frac{1103 + 26390n}{396^{4n}} \; \text{,}\end{equation}以及其他几个例子拉马努金的无穷级数。事实上，这些公式的推导涉及到经典函数和模函数恒等式的专门知识。
Approximation of the Partition Number After Hardy and Ramanujan: An Application of Data Fitting Method in Combinatorics
有时我们需要用一种简单有效的方法求出分区数的近似值。已经有几个公式来计算配分数p（n）。但它们要么对大多数不想写程序的人（不是数学专业的）不方便，要么在准确性上不令人满意。通过在Hardy-Ramanujan渐近公式中引入两个参数，用最小二乘法、迭代法和一些特殊设计的方法对两个参数的数据进行拟合，得到了几个修正的高精度的p（n）的初等估计公式。利用这些估算公式，无需编程，即可用袖珍计算器计算出p（n）的近似值。主要困难在于通常用初等函数拟合两个参数的方法在这里是有缺陷的。这些方法也可用于其它复杂数据的拟合函数的求解。
$π$-Formulae from Dual Series of the Dougall Theorem
利用推广的Gould-Hsu逆级数关系，我们发现，平衡$_7F_6$级数的Dougall求和定理的对偶关系可以用来构造$π^{\pm1}$和$π^{\pm2}$的许多有趣的Ramanujan无穷级数表达式，包括Guillera的$π^{-2}$的一个优美公式.
Some binomial series obtained by the WZ-method
使用WZ-方法，我们找到了一些最简单的拉马努金公式，也有一些新的有趣的拉马努金一样的总和。
Continued Fraction Proofs of $m$-versions of Some Identities of Rogers-Ramanujan-Slater Type
从作者以前研究的两个$q$ -连分数的部分分子和部分子的递推公式出发，导出了某些基本超几何级数的两个一般变换.然后，通过专门化这些变换中的某些自由参数，并采用Rogers-Ramanujan型的各种恒等式，我们导出了这些恒等式的\emph{$m$-versions}。因此，发现的一些身份是新的，有些已经推导出以前由其他作者，使用不同的方法。通过应用某些变换由于沃森，海涅和拉马努金，我们得到更多的例子，这种$m$版本的罗杰斯拉马努金型身份。
A Proof of Ramanujan's Classic $π$ Formula
本文通过超几何级数和晶格求和方法，证明了拉马努金经典π公式，并引用了Dirichlet和Edwards的代数数论结果。
Lambda-invariants of Mazur--Tate elements attached to Ramanujan's tau function and congruences with Eisenstein series
该研究针对权12模形式$\Delta$，证明其与特定艾森斯坦级数模$p$（$p\in\{3,5,7\}$）同余，并推导了相关Mazur–Tate元的岩泽不变量公式，验证了此前的数值数据。
Asymptotic expansions for a class of generalized holomorphic Eisenstein series, Ramanujan's formula for $ζ(2k+1)$, Weierstrass' elliptic and allied functions
本文建立了一类广义全纯Eisenstein级数的完整渐近展开及余项显式表达式，并由此导出Riemann zeta函数特定值的Euler和Ramanujan公式新变体，以及Weierstrass椭圆函数的模关系。
A Partition Function Connected with the Göllnitz--Gordon Identities
我们使用著名的圆的方法的哈代和Ramanujan开发收敛公式计算限制类的分区所产生的Göllnitz-戈登身份。
$q$-Analogues of $π$-Related Formulae from Jackson's $_8ϕ_7$-Series via Inversion Approach
利用推广的Carlitz逆级数关系的乘法形式，建立了平衡$_8ϕ_7$级数Jackson求和公式的两个一般“对偶”定理.研究了它们在划分模式$n=\lfloor{\frac{n}2}\rfloor+\lfloor{\frac{n+1}2}\rfloor$下的重复形式，得到了大量的$q$ -级数恒等式，其极限情形为$q\to1$，得到了经典的$π$ -相关的Ramanujan-类收敛率级数“$\frac1{16}$“，其中包括Guillera（2003）发现的$1/π^2$.利用"反二分法“对划分模式$n=\lfloor{\frac{n}3}\rfloor+\lfloor{\frac{n+1}3}\rfloor+\lfloor{\frac{n+2}3}\rfloor$下的三重对偶公式进行了检验，得到了20个新的$q$ -级数恒等式以及它们在$q\to1$时的收敛速度的经典恒等式”$\frac{-1}{27}$“.
Some Applications of a Bailey-type Transformation
如果在WP贝利对的定义中将$k$设置为等于$a q$，则\[ β_{n}(a,k) = \sum_{j=0}^{n} \frac{(k/a)_{n-j}(k)_{n+j}}{(q)_{n-j}(aq)_{n+j}}α_{j}(a,k), \]，该等式简化为$β_{n}=\sum_{j=0}^{n}α_{j}$。这个连接$α_n$与$β_n$的看似微不足道的关系有一些有趣的结果，包括几个基本的超几何求和公式，与Prouhet-Tarry-Escott问题的联系，Rogers-Ramanujan-Slater型的一些新恒等式，作为基本超几何级数的假θ级数的一些新表达式，以及多元超几何级数的新变换公式。
Vanishing properties of Kloosterman sums and Dyson's conjectures
本文通过证明模5和模7情形下Kloosterman和的特殊消失性质，为Dyson秩猜想及Ramanujan同余式提供了新证明。
A simpler proof of a Katsurada's theorem and rapidly converging series for $ζ{(2n+1)}$ and $β{(2n)}$
在最近关于偶狄利克雷β值的欧拉型公式（即$β{(2n)}$）的工作中，我导出了一类zeta级数的精确闭式表达式.从这个结果，我已经证明了两个家庭的zeta级数的封闭形式的总和。在本书中，我首先使用威尔顿的一个已知公式来证明这些假设。作为应用的例子，一些特殊情况下进行了探讨，产生快速收敛的系列表示的Apéry常数，$ζ(3)$，和加泰罗尼亚常数，$G = β(2)$。有趣的是，我们对$\,ζ(3)\,$的级数收敛速度比Apéry在他的非理性证明（1978）中使用的更快。此外，我们的系列$\,G\,$收敛速度比一个著名的发现Ramanujan（1915年）。最后，对Katsurada最近的一个定理给出了一个更简单、更直接的证明，它推广了上述结果。
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