首页/论文/0710.0708

arXiv 0710.07082007-10-03math.NT

\Bbb Z^3中所有等边三角形的刻画

A characterization of all equilateral triangles in \Bbb Z^3

Ray Chandler, Eugen J. Ionascu

备注：: 8 pages, 3 figures, continuation of previous work

阅读 PDF ↗

arXiv 页面 ↗HTML 原文 ↗

摘要英文摘要相关论文

摘要：

本文是作者前期工作的继续。本文将构造顶点为整数坐标的等边三角形的一个定理推广到一般情况。给出了$\{0,1,2,...,n\}^3$（A 102698）中所有带顶点的等边三角形序列ET（n）的一个近似外推公式，并分析了该序列的渐近性态.

英文摘要：

This paper is a continuation of previous work of the authors. We extend one of the theorems that gave a way to construct equilateral triangles whose vertices have integer coordinates to the general situation. An approximate extrapolation formula for the sequence ET(n) of all equilateral triangles with vertices in $\{0,1,2,...,n\}^3$ (A 102698) is given and the asymptotic behavior of this sequence is analyzed.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

阅读原文

阅读 PDF ↗

arXiv 页面 ↗HTML 原文 ↗

本文内容

摘要英文摘要相关论文

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

继续探索

相关论文

等边三角形的有理距离问题

The Rational Distance Problem for Equilateral Triangles

设（P）表示给定三角形T的平面上一点的存在性问题，即该点与T的所有顶点都有有理距离。在这篇文章中，我们提供了一个完整的解决方案（P）的所有等边三角形。

2017-03-24math.NT

具有整数坐标的等边三角形的参数化

A parametrization of equilateral triangles having integer coordinates

研究了三维空间中给定边长且坐标为整数的等边三角形的存在性。我们证明了这样一个三角形存在的充要条件是它们的边长对于某些整数$m,n$是$\sqrt{2(m^2-mn+n^2)}$的形式。我们还显示了一个类似的特征，在$\Z^3$的正四面体的侧面：这样的四面体存在，当且仅当边的形式为$k\sqrt{2}$，对于一些$k\in\N$。研究了包含在给定平面内的$\Z^3$中所有等边三角形的分类问题，并给出了初步的分析。一个更一般的参数化证明下一个特殊的假设。最后提出了一些相关问题。

2006-08-02math.NT

Z^4中的等边三角形

Equilateral triangles in Z^4

我们给出了所有三个点在$\mathbb R^4$与整数坐标是在相同的欧氏距离的表征。在三维空间中，问题的特征在于丢番图方程$a^2+b^2+c^2=3d^2$的解决方案。在$\mathbb R^4$中，表征基本上基于同一方程的两个不同解。

2013-07-14math.NT

阿波罗等边三角形

Apollonian Equilateral Triangles

给定一个等边三角形，$a$是其边长的平方，其平面上的一点是$b$，$c$，$d$是从该点到三角形顶点的距离的平方，可以计算出$a$，$b$，$c$，$d$满足$3(a^2+b^2+c^2+d^2)=(a+b+c+d)^2$。本文导出了满足该方程的非负整数四元组$(a,\, b,\, c,\, d)$的性质，称之为三角形四元组。很容易验证从$(a,\, b,\, c,\, d)$生成$(a,\, b,\, c,\, a+b+c-d)$的操作保留了这个特征，并且它和其他元素的类似特征可以由四个矩阵表示。我们详细研究了三角形组，这些操作作为发电机组，并完全分类的轨道四倍体相对于三角形组行动。我们还计算了一定数量的操作后生成的三角形四元组的数量，并近似由最大元素等特征限定的四元组的数量。最后，我们证明了三角形群是一个双曲Coxeter群，并通过调用李群导出了三角形四元组的元素信息。我们还将问题推广到更高的维度。

2013-03-01math.NT

$\mathbb Z^3$中等边三角形的Ehrhart多项式

Ehrhart's polynomial for equilateral triangles in $\mathbb Z^3$

本文在$\mathbb Z^3$中计算二维正多面体（即等边三角形）的Ehrhart多项式。多项式在多面体的顶点坐标方面采取相对简单的形式，并且它严重依赖于值$d$及其除数，其中$d=\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}$和$(a,b,c)$（$\gcd(a,b,c)=1$）是具有正交于包含三角形的平面的整数坐标的向量。

2011-07-11math.COmath.NT

由Heron三角形生成的一类新的正秩椭圆曲线

A new family of elliptic curves with positive ranks arising from the Heron triangles

本文的目的是引入一类新的正秩椭圆曲线。这些椭圆曲线是用一定的有理数，即a、b和c作为具有有理数面积$k$的Heron三角形的边来构造的。证明了这个族的扭群是$\frac{\Bbb{Z}}{2\Bbb{Z}}\times \frac{\Bbb{Z}}{2\Bbb{Z}}$形式的，并且秩是正的.

2010-12-28math.NT

更多相关论文收起更多论文

计算{0，1，2，.}中的所有等边三角形，n}^3

Counting all equilateral triangles in {0,1,2,...,n}^3

我们描述了一个计算三维空间中所有等边三角形的过程，这些三角形的坐标只允许在集合$\{0,1,...,n\}$中。这个序列在这里用ET（n）表示，并且它在“The On-Line Encyclopedia of Sequences”中具有条目A102698。该过程是在Maple中实现的，其主要思想是基于\cite{eji}中的结果。使用此，我们计算了n=1时的ET（n）值。55、这里有。叙述了有关该序列的一些事实和说明。其中最主要的是$\ds \lim_{n\to \infty} \frac{\ln ET(n)}{\ln n+1}$的存在。

2007-01-03math.GMmath.NT

几乎等边三角形的丢番图逼近

Diophantine approximation by almost equilateral triangles

一个{ \it二维连分式展开}是一个映射$μ$，它为每个$x \in\mathbb R^2\setminus\mathbb Q^2$分配一个三角形序列$μ(x)=T_0,T_1,\dots$，三角形序列$T_n$具有顶点$x_{ni}=(p_{ni}/d_{ni},q_{ni}/d_{ni})\in\mathbb Q^2, d_{ni}>0, p_{ni}, q_{ni}, d_{ni}\in \mathbb Z,$ $i=1,2,3$，使得\begin{eqnarray*} \det \left(\begin{matrix} p_{n1}& q_{n1} &d_{n1}\\ p_{n2}& q_{n2} &d_{n2}\\ p_{n3}& q_{n3} &d_{n3} \end{matrix} \right) = \pm 1\,\,\, \,\,\,\mbox{and}\,\,\,\,\,\, \bigcap_n T_n = \{x\}. \end{eqnarray*}我们构造一个二维连分式展开$μ^*$，使得对于密集的许多（图灵可计算的）点$x$，$μ(x)$的三角形的顶点强收敛到$x$。强收敛取决于$\lim_{n\to \infty}\frac{\sum_{i=1}^3\dist(x,x_{ni})}{(2d_{n1}d_{n2}d_{n3})^{-1/2}},$的值（“d…

2017-05-09math.NT

关于等边三角形的Robin谱

On the Robin spectrum for the equilateral triangle

等边三角形是为数不多的平面域的狄利克雷和诺依曼本征值问题明确确定，由拉梅在1833年，尽管不承认分离的变量。本文研究了McCartin在2004年用超越耦合久期方程组确定的等边三角形的Robin谱。我们给出了Robin-Neumann间隙的统一上界，表明它们是由极限均值所限定的，因此这是一个几乎必然的界.光谱承认一个系统的双重多重性，并删除它后，我们研究的差距所产生的desymmetrized频谱。我们显示的频谱间隙的属性，有任意大的差距，也任意小的，而且，最近邻间距分布的desymmetrized频谱是一个δ函数在原点。我们表明，足够小的罗宾参数，去对称化的频谱是简单的。

2022-04-28math-phmath.MPmath.NT

基于丢番图逼近的矩形与正方形拼接

Tiling of rectangles with squares via Diophantine approximation

本文针对矩形与正方形拼接这一经典问题，提出了一种新的算法。与传统的电阻网络的方法扭曲，我们提供了新的和改进的结果，就此事使用的理论丢番图逼近，从而克服了长期以来的困难，如推广到高维类似物。该方法的通用性证明通过其应用到不同的平铺问题。这些包括平铺矩形与其他矩形，与它们各自的高维对应物，以及平铺等边三角形，平行四边形和长方体与等边三角形。

2022-10-30math.COmath.NT