Two Digit Theorems
Vladimir Shevelev
证明了若p是一个具有原根2的素数，则S_p（2 ^p）=p，并给出了S_p（2 ^p）=+或-p类等式的一个充分条件.
We prove that if p is a prime with a primitive root 2 then S_p(2^p)=p and give a sufficient condition for an equality of kind S_p(2^p)=+or-p.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Exact Exponent of Remainder Term of Gelfond's Digit Theorem in Binary Case
在二元情形下，给出了主Gelfond数定理余项的精确指数的一个简单公式。
A Generalization of the Digital Binomial Theorem
通过构造广义Sierpinski矩阵的单参数子群，证明了数字二项式定理的一个推广.此外，我们推导出新的公式的系数的Prouhet-Thue-Morse多项式和描述的组关系所满足的生成矩阵定义在这些Sierpinski矩阵。
Two algorithms for evaluation of the Newman digit sum, and a new proof of Coquet's theorem
本文给出了区间[0，x）中偶数与奇数和的3的倍数之差的两个简单算法，并给出了Coquet的精确估计的一个初等证明.
Sárközy's theorem for shifted primes with restricted digits
该研究针对带受限数位的移位素数，通过构造关联指数和的局部逼近函数证明其具有van der Corput性质，进而得出正上Banach密度的自然数集A中存在满足a₁+p-1=a₂的相关元素及素数p的结论。
Effective Erdős-Wintner theorems for digital expansions
在1972年德朗格观察类比的经典Erd \H奥斯-温特纳定理，$q$ -添加剂功能$f(n)$有一个分布函数，当且仅当两个系列$\sum f(d q^j)$，$\sum f(d q^j)^2$收敛。本文的目的是提供定量版本的这个定理以及推广到其他类型的数字扩展。除了$q$ -ary和康托的情况下，我们专注于Zeckendorf扩展是基于斐波那契序列，在那里我们提供了一个充分和必要条件存在的分布函数，即两个系列$\sum f(F_j)$，$\sum f(F_j)^2$收敛（以前只有一个充分条件是已知的）。
Rational digit systems over finite fields and Christol's Theorem
设$P, Q\in \mathbb{F}_q[X]\setminus\{0\}$是有限域$\mathbb{F}_q$上的两个互质多项式，其中$\operatorname{deg}{P} > \operatorname{deg}{Q}$ .我们用\[w=\sum_{i=0}^k\frac{s_i}{Q}{\left(\frac{P}{Q}\right)}^i\]表示每个多项式$w$在$\mathbb{F}_q$上，使用有理基$P/Q$和数字$s_i\in\mathbb{F}_q[X]$满足$\operatorname{deg}{s_i} < \operatorname{deg}{P}$。对于$\mathbb{F}_q$上的形式Laurent级数也定义了这种类型的数字展开式.我们证明了这些扩展的唯一性和自动性质。虽然可能的数字串的$ω$ -语言是不规则的，我们能够描述的代数元素的数字扩展。特别是，我们给出了一个版本的Christol的定理表明，一个正式的Laurent系列的数字扩展的数字串是自动的，当且仅当该系列是代数上$\mathbb{F}_q[X]$。最后，我们研究了形式Laurent级数的数位展开式与Mahler的$3/2$ -问题的有限域形式之间的关系。
Vinogradov's theorem for primes with restricted digits
本文在基 g 展开中不含某固定数字的整数集合上，证明了每个充分大的奇数都能表示为三个此类素数之和，从而将维诺格拉多夫三素数定理推广到受限数字的素数情形。
The Position-wise Prime Digit Distribution Theorem: A Formal Proof of Position-wise Digit Equidistribution in the Prime Numbers
该论文形式证明了素数的位置数字等分布定理，指出内部数字极限概率为1/10、首位数字为1/9，明确了两种机制并给出误差界。
Elementary Bounds on Digital Sums of Powers, Factorials, and LCMs
本文通过初等数论方法，给出了数字幂、倍数、阶乘和最小公倍数的数字和的下界，并证明了Stewart定理。
Lucas' theorem modulo $p^2$
本文刻画了Lucas定理在模$p^2$下成立的数字对条件，并利用帕斯卡三角形的对称性给出自然表达。
Convergent series of integers with missing digits
Kempner的一个经典定理指出缺少十进制数字的正整数的倒数之和收敛。这一结果被推广到更大的家庭的“失踪数字”集的正整数收敛调和级数。
The Zsiflaw--Legeis theorem for arbitrary bases
本文推广了素数指数和的结果，证明了任意基下素数数字反转的 Dirichlet 定理与 Siegel--Walfisz 定理的类似结论。
Sharp Hausdorff Dimension Bounds for Sets with Bounded and Growing Digits in $N$-expansions
本文研究了(0,1)区间内无理数集合的Hausdorff维数，针对数字有界或趋向无穷的情况，给出了精确的维数界，并改进了Jarník型结果，证明了数字趋向无穷的集合维数为1/2。
A Joint Central Limit Theorem for the Sum-of-Digits Function, and Asymptotic Divisibility of Catalan-like Sequences
本文证明了$s_q(A_jn)$的联合分布$1\le j \le d$的一个中心极限定理，其中$s_q$表示以$q$为基的数字和函数，$A_j$是与$q$互素的正整数.事实上，我们是在拟加性函数的框架内这样做的。作为应用，我们表明，大多数元素的“加泰罗尼亚”序列-我们的意思是整数序列定义的产品/因子-整除任何给定的正整数。
Simultaneous and multiplicative Diophantine approximation on missing-digit fractals
本文研究缺失数字分形上的丢番图逼近度量理论，建立了欣钦定理和加拉格尔定理的类比及非齐次推广。
Curious convergent series of integers with missing digits
Kempner的一个经典定理指出缺少十进制数字的正整数的倒数之和收敛。这个结果被推广到更大的家庭的“失踪数字”集的正整数与收敛和发散的调和级数。
Limit theorems for counting large continued fraction digits
我们建立了一个用于计数大连分数数字$(a_n)$的中心极限定理，即我们计数出现次数$\{a_n>b_n\}$，其中$(b_n)$是正整数序列。我们的结果改进了Philipp的一个类似的结果，Philipp还假设$b_n$趋于无穷大。此外，我们给出了著名的Borel-Bernstein定理的一个改进的事件，$n$的连分数的数字无限经常位于$d_n$和$d_n(1+1/c_n)$之间的给定序列$(c_n)$和$(d_n)$。对于这些集合，我们也得到了一个中心极限定理。作为一个有趣的副作用，我们明确地确定了高斯系统的第一个$ϕ$混合系数。
Central Limit Theorem for probability measures defined by sum-of-digits function in base 2
本文证明了由数位和函数定义的整数集的渐近密度所定义的概率测度的一个中心极限定理。对于任何整数a，我们可以将Z上的一个称为$μ$ a的测度联系起来，使得对于任何d，$μ$ a（d）是整数n的集合的渐近密度，使得s\_2（n + a）-- s\_2（n）= d其中s\_2（n）是n的二进制展开式中“1”的位数。我们将这个概率测度表示为矩阵的乘积。然后我们通过平衡伯努利过程取整数序列（a\_X（n））n $\in$ N。我们证明了，对于几乎每一个序列，并通过典型的方差重整化后，我们有一个中心极限定理计算所有的时刻，并证明他们收敛到正常的法律N（0，1）的时刻。
Some Notes on Digit Strings in the Primes
令$S$为$l$十进制数字的字符串。我们给出了一个明确的上界的一些素数$p$的十进制表示包含字符串$S$。我们还表明，作为格林-陶定理的一个推论，有任意长的等差数列的素数，其十进制表示包含$S$。
Limit Theorems for $θ$-expansions and the Failure of the Strong Law
本文研究θ展开式中数字和的极限行为，证明了强定律失效并扩展了菲利普定理。
Erdős-Wintner theorem for linear recurrent bases
本文研究了线性递推基的数制系统中，通过双级数收敛性条件建立极限分布的存在性，并探讨了其在不同数制系统中的扩展。
Multi-Base Representations of Integers: Asymptotic Enumeration and Central Limit Theorems
在整数的多进制表示中（与二进制或十进制表示相反），基数（或基数）被替换为单个基数的幂的乘积。所得到的数字系统具有快速算术所需的属性。它通常是冗余的，这意味着每个整数可以有多个不同的数字扩展，因此自然会出现表示数的问题。本文给出了正整数$n$的多基表示个数的一般渐近公式。此外，我们证明了中心极限定理的数字和，汉明重量（非零数字的数量，这是一个衡量效率）和出现的一个固定的数字在一个随机表示。
The Prime Digit Distribution Conjecture: A Formal Proof of Average Digit Equidistribution in the Prime Numbers
研究素数数字分布，结合素数定理等方法证明素数中数字出现概率渐近为\(\frac{1}{10}\)，建立内部数字定量等分布，阐明与其他相关问题区别，得出素数数字汇总后渐近等分布的结论。
Metric Diophantine approximation on fractals
该研究探讨了缺失数字集中的无理数与多项式分母有理数的逼近问题，并试图证明一个针对大基数缺失数字集的Khintchine型收敛定理。
Benford Behavior of Zeckendorf Decompositions
Zeckendorf的一个美丽的定理指出，每个整数都可以唯一地写成非连续斐波那契数数之和$\{ F_i \}_{i = 1}^{\infty}$。一个集合$S \subset \mathbb{Z}$被称为满足本福德定律，如果$S$中的元素的密度与前导数字$d$是$\log_{10}{(1+\frac{1}{d})}$ ;换句话说，更小的前导数字更有可能出现。我们证明了，作为$n\to\infty$，对于$[0, F_{n+1})$中随机选择的整数$m$，其Zeckendorf分解中Fibonacci被加数的前导位的分布几乎必然收敛于Benford定律。我们的结果持有更普遍的，而不是看的分布领先的数字之一，获得类似的定理，如何经常值的密度达到。
On $k$-regularity of sequences of valuations and last nonzero digits
设$b \geq 2$是具有素因子$p_1, \ldots, p_s$的整数基。本文研究了“$b$ -adic赋值”序列和值$f(n) = (f_1(n), \ldots, f_s(n))$的$b$ -adic展开式中的最后一个非零数字，其中每个$f_i$是一个$p_i$ -adic解析函数.本文给出了这类序列的$k$ -正则性的一个完整分类，推广了Shu和Yao关于$b$素数的一个结果.作为应用，我们加强了Murru和Sanna关于第一类Lucas序列的$b$ -adic赋值的一个定理.此外，我们推导出一种方法，以确定这些序列的哪些条款可以表示为某些三元二次型。
An Erdős-Wintner theorem for second-order linear recurrent bases
针对二阶线性递推基的贪心G-进制数位可加实值函数，本文证明了其极限分布存在的充要准则，解决了最大数位仅在两步乘积中显现的难点，推导了极限特征函数的乘积表示。
Primes with a missing digit: distribution in arithmetic progressions and an application in sieve theory
本文利用圆法证明了缺失一位数字的素数的Bombieri-Vinogradov型定理，并结合半线性筛，给出了形如p=1+m^2+n^2的此类素数数量的正确数量级上下界。
Duke's Theorem and Continued Fractions
对于均匀选择的随机$α\in [0,1]$，已知连分式展开的$n^{\rm th}$数位$[α]_n$收敛到高斯-库兹涅茨分布$\mathbb{P}([α]_n = k) \approx \log_2 (1 + 1/ k(k+2))$的概率为$n \to \infty$。本文证明了$\sqrt{d}$的连分数数（最终是周期的）也收敛于Gauss-Kuzmin分布，即具有有界类数$h(d)$的$d \to \infty$.证明使用的模曲面，$T^1(\text{SL}_2 \mathbb{Z}\backslash \mathbb{H})$的单位切丛中的测地线流的属性。
On Telhcirid's theorem on arithmetic progressions
本文研究反素数（素数的数字逆序）的分布，证明基数足够大时满足简单必要条件的等差数列中反素数有无穷多，还得到反素数的有效Siegel–Walfisz型结果，其容许模水平高于经典情形。
Blocs de chiffres de taille croissante dans les nombres premiers
在这篇文章中，我们证明了一个定理à la Mauduit et Rivat（素数定理，Moebius随机性原理）的功能，计数数字块的长度是一个增长的函数趋于无穷大。这些序列不是自动的。为了获得我们的结果，我们控制和类型I和II，并使用一个适应和改进版本的进位传播属性以及标准的方法从调和分析。
Szemerédi's Theorem Along Cantor Sets of Integers
该研究在整数Cantor集上扩展了Szemerédi定理，证明了正上Banach密度子集包含特定等差数列的结论。
Distribution of Nonzero Digits in a Greedy Sequence of Powers of Two
理解不同基的完全幂展开式中数字的分布是困难的。而不是考虑渐近数字分布，我们认为基地10位的限制序列的权力2。我们应用初等方法表明，这个序列的权力2可以构造为保留尾随数字，同时本地最大化的非零数字之间的零的数量。我们还提供了一个启发式的描述这些权力的尾随数字2。
Large Deviation Principle for arithmetic functions in continued fraction expansion
Khinchin证明了$(0,1)$中几乎所有无理数的勒贝格连分数位的算术平均值都发散到无穷大。因此，没有一个经典的极限定理，如弱和强大数定律或中心极限定理成立。然而，我们证明了存在一个大偏差率函数，估计指数概率的数字的算术平均远离无穷大。
Two Irrational Numbers That Give the Last Non-Zero Digits of $n!$ and $n^n$
如果我们构造一个小数，其中第n位是$n!$的最后一个非零位（同样，也是$n^n$的最后一个非零位），我们得到一个无理数
Partial Lucas-type congruences
本文证明了一个一般性结果，表明所有可表示为多元Laurent多项式幂的常数项的序列均满足部分Lucas同余，推广了Chamberland和Dilcher关于特定二项和序列模素数同余的研究。
Ternary Digits of Powers of Two
本文研究 2 的幂的三进制数字及 log_3(2) 的三进制展开中字符串的均匀分布问题，并通过计算到 10^6 的证据支持相应的正规性猜想。
Two Problems on Narayana Numbers And Repeated Digit Numbers
本文研究Narayana数与重复数字数之间的乘积关系，完整刻画了可表示为Narayana数与重复数字数乘积的重复数字数，以及两个重复数字数乘积为Narayana数的情形。
Number systems and the Chinese Remainder Theorem
一个众所周知的一般化的位置计数系统的情况下，基地是剩余类的$x$模一个给定的多项式$f(x)$的系数（例如）的整数，我们试图构建有限的扩展所有剩余类模$f(x)$，使用适当选择的数字集。我们给出了两个这样的多项式数系的直积或积再次具有相同形式的精确条件。主要工具是孙子剩余定理的一般形式。我们给应用程序的同时数系统的整数。
Primes from sums of two squares and missing digits
令$\mathcal{A}'$是从其十进制扩展中缺少任何三个固定数字的整数的集合。我们通过证明一个渐近公式来计算素数的形式$p = m^2 + \ell^2$，与$\ell \in \mathcal{A}'$在一个薄序列中产生素数。这个证明借鉴了Friedlander-Iwaniec关于$p = x^2+y^4$形式的素数的工作中的思想，以及Maynard关于带限制数字的素数的工作中的思想。
Missing digits, and good approximations
本文介绍梅纳德在解析数论中的两项突破：证明存在无穷多个缺失任意给定数字的素数，以及与库库洛普洛斯合作解决达芬-谢弗猜想。
Non-Minimality of the Width-$w$ Non-adjacent Form in Conjunction with Trace One $τ$-adic Digit Expansions and Koblitz Curves in Characteristic Two
本文讨论了以迹$\pm 1$为基的虚二次代数整数和最小范数代表数集的冗余数展开式。对于$w\geq 2$它表明，宽度- $w$非相邻形式是不是一个最佳的扩展，这意味着它不最小化的（汉明）重量之间的所有可能的扩展具有相同的数字集。证明的一个主要部分使用丢番图分析的工具，即图中的线性型理论和Baker-Davenport归约方法。
A density version of Cobham's theorem
科巴姆定理断言，如果一个序列关于两个乘法独立的基是自动的，那么它最终是周期的。我们证明了一个更强的密度版本的结果：如果两个序列，这是自动的两个乘法独立的基础上重合的一组密度1，那么他们也重合的一组密度1的周期序列。我们将结果应用于Deshouillers和Ruzsa关于$n!$在基$12$中的最小非零位的问题。
Computer vision and converse theorems
本文研究一维和二维卷积神经网络区分椭圆曲线导数区间内算术数据与随机矩阵数据的能力，发现二维CNN能更有效区分导数族与随机矩阵数据，并能预测椭圆曲线的解析秩。
Collisions of digit sums in bases 2 and 3
证明了一个关于二进制和三进制数和函数的猜想：存在无穷多个正整数$n$使得$n$的二进制数和等于$n$的三进制数和.
The first digit frequencies of primes and Riemann zeta zeros tend to uniformity following a size-dependent generalized Benford's law
素数在自然数中的分布似乎除了偶然性外没有其他规律，然而它的全局分布呈现出相当显著的光滑性。随机性和规律性之间的这种相互作用促使各个年龄段的科学家在这种分布中寻找局部和全局模式，最终可以揭示素数的最终性质。在这项工作中，我们表明，一个推广的著名的第一位数本福德定律，它解决了一个给定的领先数字d在数据集中的出现率，描述了惊人的精度领先数字的统计分布在素数序列。此外，这种模式的倒数版本也发生在非平凡的黎曼zeta零点序列中。我们证明，素数定理是，在最后的分析，负责这些模式。还导出了有关素数分布的一些新关系，包括对计数函数pi（n）的一种新的逼近。此外，还导出了与广义本福特定律的统计一致性有关的一些关系式。最后讨论了一些应用。
Borel--Bernstein and Hirst-type Theorems for Nearest-Integer Complex Continued Fractions over Euclidean Imaginary Quadratic Fields
本文研究了五类欧几里得虚二次域上的最接近整数复连分数映射，证明了两个度量结果，扩展了Borel-Bernstein定理和Hirst型定理，应用于稀疏模式、收缩目标和几乎必然的Levy-和Khinchine型定律。
Additive Bases from Primitive Dyck Words: Regular Underapproximations, Motzkin Coding, and Digit Lifting
研究由规范二进制展开为原始戴克单词的整数构成的加法表示，通过配对连续位揭示关系，证明区间数字提升定理和算法，结合工具对正偶数分类，得出848是最终阈值且界限渐近最优。
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