Hardness Results on Curve/Point Set Matching with Fréchet Distance
设P是R^d中长度为n的多边形曲线，S是大小为k的点集。我们考虑在S上寻找一条多边形曲线Q，使得S中的所有点都是可访问的，并且到$P$的Fréchet距离小于给定的距离.我们表明，这个问题是NP-完全的，无论是否从S点被允许访问一次以上。然而，我们也表明，如果问题的实例满足一定的限制，该问题是多项式时间可解的，我们简要概述了一个算法，计算Q。
2012-11-09 cs.CG
Fast Frechet Distance Between Curves With Long Edges
计算两条多边形曲线之间的Fréchet距离大约需要二次方时间。在本文中，我们表明，对于一类特殊的曲线的Fréchet距离计算变得更容易。令$P$和$Q$是$\mathbb{R}^d$中的两条多边形曲线，其顶点分别为$n$和$m$。对于两条曲线的所有边都比它们之间的Fréchet距离长的情况，我们证明了四个结果：（1）用于决定两条曲线之间的Fréchet距离的线性时间算法，（2）在$O((n+m)\log (n+m))$时间中计算Fréchet距离的算法，（3）线性时间$\sqrt{d}$近似算法，以及（4）支持$O(m\log^2 n)$时间决策查询的数据结构，其中$m$是查询曲线的顶点数，$n$是预处理曲线的顶点数。
2019-08-26 cs.CG
Jaywalking your Dog - Computing the Fréchet Distance with Shortcuts
两条多边形曲线的相似性可以用Fréchet距离来度量。我们引入了一个更强大的Fréchet距离的概念，其中一个是允许捷径的顶点之间的曲线之一。这是处理噪声的自然方法，特别是批量离群值。我们计算一个（3+ \eps）-近似的最小Fréchet距离在所有可能的这样的捷径，在近线性时间，如果曲线是c-包装和捷径的数量是小的或无界的。为了方便新的算法，我们开发了几个新的工具：（A）一个数据结构，用于预处理曲线（不一定是c-包装），支持（1+ \eps）-近似Fréchet距离查询之间的子曲线（原始曲线）和线段。(B)一种近似线性时间算法，计算曲线顶点的置换，使得该置换的任何2k-1个顶点的前缀与任何具有k个顶点的多边形曲线相比形成原始曲线的最佳近似（直到常数因子），对于任何k > 0。(C)一种用于预处理曲线的数据结构，其支持子曲线与查询多边形曲线之间的近似Fréchet距离查询。查询时间二次依赖于查询曲线的复杂度，并且仅（粗略地）依赖于原始曲线的复杂度。据我们所知，这些是第一个有效支持这类查询的数据结构。
2013-06-18 cs.CG
Map-Matching Queries under Fréchet Distance on Low-Density Spanners
本文研究低密度生成子图上的Fréchet距离地图匹配查询问题，提出高效预处理数据结构并解决报告最优路径的开放问题。
2024-07-27 cs.CG
Visualizing Higher Order Structures, Overlap Regions, and Clustering in the Hilbert Geometry
Thomas Jefferson High School for Science and Technology（托马斯·杰斐逊科学与技术高中）；University of Maryland, College Park（马里兰大学帕克分校）；Université de Lorraine, CNRS, Inria, LORIA（洛林大学、法国国家科学研究中心、法国信息与自动化研究所、洛林研究与应用计算实验室）；Montgomery Blair High School（蒙哥马利·布莱尔高中）；Haverford College（哈弗福德学院）
本文提出了一种可视化高阶Voronoi图和Delaunay镶嵌的工具，结合聚类和重叠区域探索，证明了k阶Voronoi单元不总是星形，并建立了算法复杂度界。
2026-03-27 cs.CG
Solving Fréchet Distance Problems by Algebraic Geometric Methods
本文通过代数几何方法研究了 Fréchet 距离下的折线问题，证明了范围空间 VC 维数近乎最优的上界，并为曲线简化、范围搜索、最近邻搜索和距离预言机提供了精确解。
2023-10-22 cs.CG
On Voronoi diagrams in the Funk Conical Geometry
University of Maryland, College Park（马里兰大学帕克分校）
本文研究了Funk锥形几何中Voronoi图的性质，提出了一种高效的算法生成方法，并探讨了3维锥中三个站点的circumcenter存在条件。
2026-02-21 cs.CG
On Computing the $k$-Shortcut Fréchet Distance
Fréchet距离是多边形曲线相异性的常用度量。它被定义为一个最小-最大公式，考虑所有的方向保持连续双射的两条曲线。由于其对噪声的敏感性，Driemel和Har-Peled在2012年引入了快捷Fréchet距离，其中允许沿着其中一条曲线采取快捷方式，类似于序列的编辑距离。我们分析了这个问题的参数化版本，其中的捷径的数量是由一个参数$k$。相应的判定问题可以表述如下：给定至多$n$顶点的两条多边形曲线$T$和$B$，参数$k$和距离阈值$δ$，是否可以沿着$B$引入$k$捷径，使得所得曲线和曲线$T$的Fréchet距离至多为$δ$？我们研究这个问题的多边形曲线在平面上。我们提供了一个复杂性分析，这个问题有以下结果：（i）假设指数时间假设（ETH），不存在算法的运行时间由$n^{o(k)}$限制;（ii）存在一个决策算法的运行时间在$O(kn^{2k+2}\log n)$。相反，我们还表明，有效的近似决策算法是可能的，即使当$k$是大的。对于固定的$\varepsilon$，我们在$O(k n^2 \log^2 n)$中提出了一个具有运行时间的$(3+\varepsilon)$近似判决器算法.此外，我们还可以证明，如果$k$是一个常数，并且对于某个常数$c$，两条曲线是$c$填充的，则近似决策器算法在近似线性时间内运行。
2022-02-23 cs.CG
Four Soviets Walk the Dog-Improved Bounds for Computing the Fréchet Distance
给定平面上的两条多边形曲线，有许多方法可以定义它们之间的相似性。一个常用的测量方法是Fréchet距离。自1992年Alt和Godau提出以来，已有许多变体和扩展被研究。尽管如此，即使在20多年后，Alt和Godau用于计算Fréchet距离的原始$O(n^2 \log n)$算法仍然是最先进的（这里，$n$表示每条曲线上的边数）。这导致Helmut Alt猜想相关的决策问题是3SUM-困难的。在最近的工作中，Agarwal等人展示了如何打破Fréchet距离离散版本的二次障碍，其中考虑点序列而不是多边形曲线。在他们工作的基础上，我们给出了一个在指针机器上计算两条多边形曲线在时间上的Fréchet距离的随机算法$O(n^2 \sqrt{\log n}(\log\log n)^{3/2})$和在字RAM上计算两条多边形曲线在时间上的Fréchet距离的随机算法$O(n^2(\log\log n)^2)$.此外，我们证明了存在一个代数决策树的决策问题的深度$O(n^{2-\varepsilon})$，一些$\varepsilon > 0$。我们认为，这揭示了这个研究得很好的问题的一个有趣的新方面。最后，我们展示了如何获得第一次次二次算法计算弱Fréchet距离的字RAM。
2017-02-13 cs.CG cs.DS
Applied Similarity Problems Using Frechet Distance
在本文的第一部分中，我们考虑了一个Frechet距离问题的例子，其中沿着曲线的每一段的遍历速度被限制在一个指定的范围内。该设置比经典的Frechet距离设置更真实，特别是在GIS应用中。我们还研究了这个问题的设置中的多边形曲线内的一个简单的多边形。在本论文的第二部分，我们提出了一个数据结构，称为自由空间映射，使我们能够有效地解决几个变种的弗雷歇距离问题。我们的数据结构封装了自由空间图中所有可用的信息，但它能够有效地回答更一般类型的查询。由于自由空间映射具有与标准自由空间图相同的大小和构造时间，因此它可以被看作是标准自由空间图的一个强有力的替代。作为论文第二部分的部分结果，我们利用自由空间映射改进了计算部分Frechet距离的长期界，并得到了计算两条闭合曲线之间的Frechet距离的改进算法，以及所谓的最小/最大行走问题。我们还改进了地图匹配算法的情况下，地图是一个有向无环图。作为本文的最后部分，给定R^d中的点集S和多边形曲线P，我们研究了通过S寻找一条多边形曲线Q的问题，该曲线到P的弗雷歇距离最小。此外，如果该问题要求曲线Q访问S中的每一个点，我们证明它是NP完全的。
2013-07-25 cs.CG cs.DS
Fréchet Distance for Curves, Revisited
$\renewcommand{\Re}{{\rm I\!\hspace{-0.025em} R}} \newcommand{\eps}{\varepsilon} \newcommand{\SetX}{\mathsf{X}} \newcommand{\VorX}[1]{\mathcal{V} \pth{#1}} \newcommand{\Polygon}{\mathsf{P}} \newcommand{\Space}{\overline{\mathsf{m}}} \newcommand{\pth}[2][\!]{#1\left({#2}\right)}$我们重新讨论了在$L_1$、$L_2$和$L_\infty$范数下计算多边形曲线之间的Fréchet距离的问题，重点是离散Fréchet距离，其中只考虑顶点之间的距离。我们开发了两个自然类的曲线的有效算法。特别地，给定两条各自具有$n$顶点的多边形曲线，如果其中一条曲线是\emph{$κ$-bounded}，则可以在三维中在大致$O(nκ^3\log n/\eps^3)$时间内计算它们的离散Fréchet距离的$\eps$ -近似。以前，只有$κ$近似算法是已知的。如果这两条曲线都是所谓的\emph{\backbone~curves}，在分子生物学中被广泛用于蛋白质骨架的建模，我们可以在二维中近似线性时间的$\eps$ -近似它们的弗…
2015-04-28 cs.CG
Similarity of Polygonal Curves in the Presence of Outliers
Carleton University（卡尔顿大学）；Westfälische Wilhelms-Universität Münster（明斯特大学）
Fréchet距离是一种研究得很好的常用度量，用于捕获多边形曲线的相似性。不幸的是，它对异常值的存在表现出很高的敏感性。由于离群值的存在是实践中经常发生的现象，因此需要吸收离群值的Fréchet距离的鲁棒变体。我们在这里研究这样一个变体。在这个修改的变体中，我们的目标是最小化需要忽略的两条多边形曲线的子曲线的长度（MinEx问题），或者最大化保留的子曲线的长度（MaxIn问题），以实现给定的Fréchet距离。一个问题的精确解意味着另一个问题的精确解。然而，我们表明，这些问题是不可解的自由基在$\mathbb{Q}$和所涉及的多项式方程的程度是无界的一般。这激发了对近似解的搜索。我们提出了一种算法，它近似，对于一个给定的输入参数$δ$，最优解的\MinEx \和\MaxIn \问题的添加剂近似误差$δ$倍的输入曲线的长度。结果运行时间的上限为$\mathcal{O} \left(\frac{n^3}δ \log \left(\frac{n}δ \right)\right)$，其中$n$是输入多边形曲线的复杂度。
2013-04-23 cs.CG cs.CV cs.GR
Can we Compute the Similarity Between Surfaces?
由参数化曲线或曲面表示的形状的相似性的合适度量是Fréchet距离。虽然已知有效的算法用于计算多边形曲线的Fréchet距离，但三角化曲面的相同问题是NP难的。此外，它是否是可计算的仍然是开放的。在这里，使用离散近似，我们表明它是{ \em上半可计算的}，即，有一个不停机的图灵机，它产生一个收敛到结果的有理数的单调递减序列。因此，判定问题，即两个给定曲面的Fréchet距离是否低于某个指定值，是递归可逼近的。此外，我们表明，一个宽松的版本的问题，计算{ \em弱Fréchet距离}可以解决在多项式时间。为此，我们给出了一个可计算的表征弱Fréchet距离的几何数据结构称为{ \em自由空间图}。
2007-03-02 cs.CC cs.CG
Locally Correct Frechet Matchings
Frechet距离是比较两条曲线的度量，它基于这些曲线之间的单调匹配。我们把导致弗雷歇距离的匹配称为弗雷歇匹配。通常有许多不同的弗雷歇匹配，并不是所有这些都能很好地捕捉曲线之间的相似性。我们建议限制设置的Frechet匹配的“自然”匹配，并为此引入本地正确的Frechet匹配。我们证明了至少存在一个这样的匹配两个多边形曲线，并给出了一个O（N^3 log N）的算法来计算它，其中N是在两条曲线的边的总数。我们还提出了一个O（N^2）的算法来计算一个局部正确的离散Frechet匹配。
2012-06-27 cs.CG
Farthest-Polygon Voronoi Diagrams
给定一个具有一般位置的k个不相交连通多边形站点的总复杂度为n的站点族，考虑这些站点的最远站点的沃罗诺伊图，其中到站点的距离是到站点上最近点的距离.我们证明了该图的复杂度为O（n），并给出了计算该图的O（nlog^3n）时间算法.我们还证明了该图的一些结构性质.特别地，Voronoi区域可以由k-1个连通分量组成，但是如果一个分量是有界的，则它等于整个区域。
2010-11-30 cs.CG
Random projections for curves in high dimensions
现代时间序列分析需要能够处理固有的高维数据集;例如气候学中的应用，其中必须考虑来自众多传感器的测量结果，或大型商店的库存跟踪，其中维度由跟踪项目的数量定义。减轻由数据的高维性引起的计算问题的标准方法是通过应用某种保留周围空间的结构属性的降维技术。两个时间序列之间的不相似性通常由“离散”距离概念来衡量，例如动态时间扭曲或离散弗雷歇距离。由于所有这些距离函数都是直接在时间序列的点上计算的，因此它们对不同的采样率或间隙敏感。连续Fréchet距离提供了一种流行的替代方案，其目的是通过考虑多边形曲线上的所有点来缓解这一问题，该多边形曲线通过在序列中的任何两个连续点之间进行线性插值而获得。研究了随机投影通过有效降维保持多边形曲线连续Fréchet距离的能力。特别是，我们表明，可以减少维数为$O(ε^{-2} \log N)$，其中$N$是输入点的总数，同时保持任何两个确定的多边形曲线之间的连续Fréchet距离的一个因素内的$1\pm ε$。最后，我们的应用程序集群。
2023-02-14 cs.CG
Approximate Nearest Neighbor for Polygonal Curves under Fréchet Distance
本研究提出了$d$维空间中多边形曲线在Fréchet距离下的$κ$-近似最近邻数据结构，给出了查询、空间及预处理时间复杂度，并在二维、三维场景下实现了复杂度优化。
2023-05-02 cs.CG cs.DS
The Fréchet Distance Unleashed: Approximating a Dog with a Frog
University of Illinois（伊利诺伊大学）；University of Texas at Dallas（德克萨斯大学达拉斯分校）
本文提出了一种基于迪杰斯特拉/普里姆算法的弗雷歇距离近似方法，通过局部最优的变形实现高效计算，能更自然地处理噪声，提升实际应用价值。
2025-12-31 cs.CG
How to Walk Your Dog in the Mountains with No Magic Leash
我们描述了一个$O(\log n )$近似算法计算同伦的\Frechet距离之间的两个多边形曲线的边界上的三角拓扑磁盘。在此之前的工作，算法是已知的只有曲线上的欧几里德平面与多边形障碍。在我们的分析中的一个关键技术成分是一个$O(\log n)$ -近似算法计算的最小高度的同伦之间的两条曲线。没有算法是以前已知的近似这个参数。令人惊讶的是，甚至不知道计算同伦\Frechet距离或同伦的最小高度是否在NP中。
2015-09-01 cs.CG
Solving Proximity Problems for Polygonal Shapes via Polynomials
University of Bonn（波恩大学）；HKUST（香港科技大学）
该研究针对含孔洞的平面多边形区域等的范围空间，推导了弗雷歇、豪斯多夫等距离下的VC维上界，还得到了相关邻近问题的精确解，为相关应用提供了理论支撑。
2026-08-21 cs.CG
Approximating $(k,\ell)$-Median Clustering for Polygonal Curves
2015年，Driemel、Krivošija和Sohler引入了$(k,\ell)$ -中值问题，用于在Fréchet距离下聚类多边形曲线。给定一组输入曲线，该问题要求找到至多$\ell$顶点的$k$中值曲线，每个顶点最小化所有输入曲线上到其最近中值曲线的Fréchet距离之和。其算法的一个主要缺点是输入曲线被限制在实直线上。在本文中，我们提出了一种随机双准则近似算法，适用于多边形曲线在$\mathbb{R}^d$和实现近似因子$(1+ε)$的聚类成本。该算法在曲线数量方面具有最坏情况的运行时间线性，在每条曲线的最大顶点数量方面具有多项式，即它们的复杂性，并且在$d$、$\ell$、$ε$和$δ$中具有指数，即，失败的概率。我们通过一个捷径引理来实现这一结果，该引理保证了多边形曲线的存在，该多边形曲线具有与复杂性$\ell$的最佳中值曲线相似的成本，但复杂性至多为$2\ell-2$，并且其顶点可以有效地计算。我们将这个引理与Kumar等人的超集采样技术相结合，得出我们的聚类结果。在此过程中，我们描述和分析了Ackermann等人的算法的推广，这可能是独立的利益。
2020-11-03 cs.CG cs.DS
The Discrete Fréchet Gap
我们引入离散Fréchet间隙及其变体作为多边形曲线之间相似性的替代度量。我们相信，对于某些应用，新的度量（及其变体）可能比离散的Fréchet距离（及其变体）更好地反映我们直观的相似性概念，因为后者对彼此相对接近的点对（匹配）是无关紧要的。参考青蛙的类比，其中离散弗雷歇距离经常被描述，离散弗雷歇间隙是青蛙遍历它们的点序列所需的皮带的最长和最短位置之间的最小差。我们提出了一个优化方案，这是适合于任何单调函数定义的距离对，如间隙和比率函数。我们将此方案应用于离散Fréchet间隙的两个变体，即，单侧离散Fréchet间隙与捷径和弱离散Fréchet间隙，获得计算它们的$O(n^2 \log^2 n)$时间算法。
2015-06-16 cs.CG
Voronoi Graph -- Improved raycasting and integration schemes for high dimensional Voronoi diagrams
针对高维Voronoi图计算难题，本文提出更精确快速的改进顶点搜索法与深度优先图遍历算法，可完整计算高维Voronoi图，计算时间优于或持平qHull等经典算法，还拓展了光线投射算法用于Voronoi胞体的蒙特卡洛积分近似。
2024-05-16 cs.CG
Coresets for $(k,l)$-Clustering under the Fréchet Distance
聚类是划分一组给定的几何对象的任务。当对象是欧几里得空间中的点时，这是彻底研究的。对于一般度量空间中的点也有几种方法。在这篇论文中，我们考虑聚类多边形曲线，即，由线段组成的曲线，在Fréchet距离下。我们通过最小化目标函数来获得聚类，该目标函数产生一组中心，该中心诱导输入的分区。我们考虑的目标函数是所谓的$(k,l)$ - \textsc{center}，其中我们要找到最小化任何输入曲线和最近的中心曲线之间的最大距离的$k$中心曲线，以及所谓的$k$ - \textsc{median}，其中我们要找到最小化输入曲线和最近的中心曲线之间的距离之和的$k$中心曲线。给定一组$n$多边形曲线，我们感兴趣的是将这组曲线简化为$ε$ -coreset，即，具有非常相似的聚类行为的曲线的显著较小的集合。我们开发了一种构造方法，这样的$ε$ -coresets的$(k,l)$ - \textsc{center}，产生$ε$ -coresets的大小的一个多项式的$\frac{1}ε$，在时间线性的$n$和一个多项式的$\frac{1}ε$，线段。此外，我们开发了一种构造技术的$(k,l)$ - \textsc{center}，产生$ε$ -coresets的大小指数的$m$与基础$\frac{1}ε$，在时间次二次的$n$和指数的$m$与基础$\frac{1}ε$，一般的多边形曲线。最后，我们…
2019-11-06 cs.CG
Tight Bounds for Approximate Near Neighbor Searching for Time Series under the Fréchet Distance
我们研究了连续Fréchet距离下的$c$ -近似近邻问题：给定一组具有$m$顶点、半径$δ> 0$和参数$k \leq m$的$n$多边形曲线，我们希望将这些曲线预处理成一个数据结构，给定一个具有$k$顶点的查询曲线$q$，或者返回一个具有至多$c\cdot δ$到$q$的Fréchet距离的输入曲线，或返回不存在Fréchet距离最大为$δ$到$q$的输入曲线。我们专注于输入和查询是一维多边形曲线（也称为时间序列）的情况，并对这种情况进行了全面的分析。我们获得了新的上界，该上界提供了逼近因子、预处理时间和查询时间之间的不同权衡。我们的数据结构在几个方面改进了现有技术。我们表明，对于任何$0 < \varepsilon \leq 1$的逼近因子$(1+\varepsilon)$可以实现在相同的渐近时间范围内作为以前最好的结果为$(2+\varepsilon)$。此外，我们表明，$(2+\varepsilon)$的近似因子可以通过使用预处理时间和空间$O(nm)$，这是线性的输入大小，和查询时间在$O(\frac{1}{\varepsilon})^{k+2}$，其中以前最好的结果使用预处理时间在$n \cdot O(\frac{m}{\varepsilon k})^k$和查询时间在$O(1)^k$。我们补充我们的上界与匹配的条件下界的基础上的正交向量假设。有趣的是，我们的一些下界已…
2021-11-03 cs.CC cs.CG cs.DS
Coresets for $(k, \ell)$-Median Clustering under the Fréchet Distance
提出了一种在Fréchet距离下计算$ε$ -coresets的算法，用于$\mathbb{R}^d$中多边形曲线的$(k, \ell)$-median聚类.这种类型的聚类是欧几里德$k$ -中值聚类的一种适应：我们在$\mathbb{R}^d$中给出一组$n$多边形曲线，每个曲线的复杂度（顶点数）最多为$m$，并且希望计算$k$中值曲线，使得从给定曲线到其最近中值曲线的距离之和最小。此外，我们限制的中位数曲线的复杂性，最多$\ell$每个，以抑制过度拟合，一个特定的问题，连续的数据。我们的算法在$n$中具有线性的运行时间，在$m$中具有次四次的运行时间，在$ε^{-1}$中具有二次的运行时间。它以高概率返回$ε$ -在$ε^{-1}$中大小为平方的核心集，在$n$和$m$中大小为对数的核心集。我们通过将Langberg和Feldman的改进的$ε$ -coreset框架应用于任意度量空间上的广义$k$ -median问题来实现这一结果。随后我们将这个结果与Driemel等人最近关于度量球在Fréchet距离下的VC维数的结果相结合。此外，我们的框架产生$ε$ -coresets的任何广义$k$ -median问题，其中的范围空间所导致的开放度量球的基础空间有界VC维，这是独立的兴趣。最后，我们表明，我们的$ε$ -coresets可以用来改善现有的近似算法的运行时间$(1,\el…
2021-11-19 cs.CG
Computing the Fréchet distance with shortcuts is NP-hard
我们研究了Fréchet距离的捷径，Fréchet距离的一个自然变体，它允许我们从任何一条曲线上的任何一点走捷径。经典的Fréchet距离是一个瓶颈距离度量，因此对离群值非常敏感。快捷Fréchet距离允许我们跨越离群值，从而在处理真实世界数据时产生更有意义的结果。Driemel和Har-Peled最近描述了用于限制情况的近似算法，其中快捷方式必须在输入顶点处开始和结束。我们表明，在一般情况下，计算快捷Fréchet距离的问题是NP-困难的。这是平面中两条多边形曲线之间Fréchet距离的变体的第一个硬度结果。我们还提出了两个算法的决策问题：3-近似算法的一般情况下，顶点限制的情况下，一个精确的算法。时间复杂度为O（n^3 log n）
2013-12-04 cs.CG
Intermittent Map Matching with the Discrete Fréchet Distance
在本文中，我们专注于地图匹配问题的目标是找到一条路径，通过平面图，通过顶点的路径紧密匹配一个给定的多边形曲线。地图匹配问题通常也用匹配路径边缘的Fréchet距离来处理。在这里，我们正式定义的离散地图匹配问题的基础上离散Fréchet距离。然后，我们看看一些变化的问题，允许顶点在图中是唯一的或重用的复杂性，以及是否有一个约束的路径的长度或顶点的数量从图中使用的路径。我们证明了这些问题是NP-完全的，然后总结了一些悬而未决的问题的文件。
2016-05-17 cs.CG
Fréchet Distance in Subquadratic Time
本文针对两条多边形曲线Fréchet距离计算长期存在的二次时间障碍，提出首个在m = Ω(n^ε)条件下以o(mn)期望时间运行的算法，突破了近三十年的计算下界。
2024-10-18 cs.CG cs.DS
k-Median clustering under discrete Fréchet and Hausdorff distances
给出了离散Fréchet距离下多边形轨迹的$k$中值聚类的第一个近似线性时间$(1+\eps)$近似算法，以及Hausdorff距离下有限点集的$k$中值聚类的第一个多项式时间$(1+\eps)$近似算法，条件是聚类中心、环境维数和$k$都有一个常数的界.主要的技术是一个通用的框架来解决聚类问题的聚类中心被限制来自一个\emph{simpler}度量空间。我们精确地描述了条件上的更简单的度量空间的集群中心，允许更快的$(1+\eps)$ -近似的$k$ -中位数问题。我们还证明了Hausdorff距离下的$k$ -中值问题是\textsc{NP-Hard} .
2020-04-01 cs.CG
Progressive Simplification of Polygonal Curves
多边形曲线在不同细节层次上的简化是许多应用中的一个重要问题。现有的几何优化算法只能最大限度地减少简化曲线的复杂性为一个单一的细节层次。我们提出了一个$O(n^3m)$的时间算法，需要一个多边形曲线的n个顶点，并产生一组一致的简化m尺度，同时最大限度地减少累积简化的复杂性。该算法与Hausdorff、Fréchet和基于区域的距离等距离度量兼容，并能够简化$O(n^5)$时间内的连续缩放。为了加快这种算法在实践中，我们提出了新的技术来构建和表示所谓的快捷图。这些技术对轨迹数据的实验评估显示，使用快捷图进行渐进和非渐进曲线简化在运行时间和内存使用方面都有显着改善。
2018-06-07 cs.CG
Fréchet Distance Revisited and Extended
给定R^d中的两个单纯复形，以及每个复形中的开始和结束顶点，我们展示了如何计算这些顶点之间的曲线（在每个复形中），使得这些曲线之间的Fréchet距离最小化。由于多边形曲线是一个复形，这推广了曲线之间弱Fréchet距离的常规概念。我们还推广的算法来处理k个单纯复形的输入。使用这种新算法，我们可以解决一系列新的问题，从计算给定曲线集合的平均曲线，到各种运动规划问题。此外，我们还证明了对于均值曲线问题，当k个输入曲线是c-填充的时，对于固定的k和k，可以在近线性时间内（1+ k）-逼近均值曲线。此外，我们提出了一个算法来计算两条曲线之间的强Fréchet距离，这是简单的比以前的算法，并避免使用参数搜索。
2012-02-25 cs.CG
Computing the Fréchet Distance with a Retractable Leash
所有已知的曲线间Fréchet距离的算法都分为两个步骤：首先，它们为决策版本构造一个有效的预言机;其次，它们使用这个预言机从一组有限的临界值中找到最优值。我们提出了一种新的方法，避免了决策版本的弯路。这给出了在多面体距离函数下$R^d$中多边形曲线之间Fréchet距离的第一个二次时间算法（例如，$L_1$和$L_\infty$）。我们还得到了一个$(1+\varepsilon)$ -近似的Fréchet距离下的欧几里德度量，在二次时间为任何固定的$\varepsilon > 0$。对于确切的欧几里德的情况下，我们的框架目前产生一个算法的运行时间$O(n^2 \log^2 n)$。然而，我们推测，它可能最终导致一个更快的精确算法。
2016-06-04 cs.CG
The $k$-Fréchet distance
我们引入了一个新的距离度量比较多边形链：$k$ -Fréchet距离。顾名思义，它与研究得很好的Fréchet距离密切相关，但检测仅分段相似的曲线之间的相似性。参数$k$表示我们将输入曲线划分成的子曲线的数量。$k$ -Fréchet距离提供了（弱）Fréchet距离和Hausdorff距离之间的良好过渡。然而，我们发现，决定这个距离的措施原来是NP-完全的，这是有趣的，因为（弱）Fréchet和Hausdorff距离是可计算的多项式时间。然而，我们给出了几种可能性来处理$k$距离的困难：除了一般情况下的指数时间算法之外，我们给出了$k=2$的多项式时间算法，即，我们要求将我们的输入曲线每个细分为两个子曲线。我们还提出了一个近似算法，输出的子曲线的数量最多的两倍的最佳大小。最后，我们给出了一个FPT算法使用参数$k$（允许的子曲线的数量）和$z$（一条曲线相交于另一条曲线上的一个点的$\varepsilon$ -邻域的段的数量）。
2019-03-06 cs.CG
Revisiting the Fréchet distance between piecewise smooth curves
本文提出了一种概念更简单且可扩展至$\mathbb{R}^d$的分段光滑曲线Fréchet距离决策算法，并给出了$c$-packed曲线的近似算法。
2024-01-07 cs.CG
Uncertain Curve Simplification
研究了不确定性条件下的多边形曲线简化问题，其中每个不确定点用一个包含顶点真实位置的区域来表示，而不是用一系列精确点来表示.我们考虑的区域是圆盘、线段、凸多边形和离散点集。我们感兴趣的是找到不确定点的最短子序列，使得无论每个不确定点的真实位置是什么，得到的多边形曲线都是原始多边形曲线在Hausdorff或Fréchet距离下的有效简化。对于这两个距离的措施，我们提出了多项式时间算法这个问题。
2021-03-16 cs.CG
FRESH: Fréchet Similarity with Hashing
本文研究了连续Fréchet距离下曲线的$r$ -范围搜索问题：给定$n$多边形曲线的数据集$S$和一个阈值$r>0$，构造一个数据结构，对于任何查询曲线$q$，该数据结构有效地返回$S$中距离$q$至多为$r$的所有条目.我们提出了新鲜，近似和随机的方法$r$范围搜索，利用局部敏感的哈希方案检测候选人附近的邻居的查询曲线，并在随后的修剪步骤的基础上级联的曲线简化。我们的实验比较\fresh精确和确定性的解决方案，我们表明，高性能可以达到适当放松精度和召回。
2019-06-05 cs.CG cs.DS
Faster Approximate Covering of Subcurves under the Fréchet Distance
子轨迹聚类是轨迹聚类问题的一个重要变体，其中所收集的轨迹数据内的轨迹模式的起点和终点事先是未知的。我们研究这个问题的形式为一个给定的多边形曲线的集合覆盖问题：找到最小数量的代表曲线$k$，使输入曲线上的任何一点都包含在一个子曲线，具有弗雷歇距离最多给定的$Δ$的代表曲线。我们专注于代表性曲线是线段的情况下，并从几何集合覆盖领域的经典技术来处理这个NP难问题：我们使用了一个变体的乘法权重更新方法，该方法首先由Brönniman和Goodrich提出，用于具有小VC维的集合覆盖实例。我们得到一个双准则近似算法，计算一组$O(k\log(k))$线段，覆盖给定的多边形曲线的$n$顶点下弗雷歇距离最多$O(Δ)$。我们表明，该算法运行在$\widetilde{O}(k^2 n + k n^3)$时间的期望和使用$ \widetilde{O}(k n + n^3)$空间。对于$c$封装的二维输入曲线，我们通过$\widetilde{O}(k^2 c^2 n)$约束预期运行时间，通过$ \widetilde{O}(kn + c^2 n)$约束空间。在$\mathbb{R}^d$中，对$n$的依赖性是二次的。此外，我们提出了一个变种的算法，使用隐式的权重更新的候选集，从而实现近线性的运行时间在$n$没有任何假设的输入曲线，同时保持相同的近似边界。这是以牺牲对相对弧长的小（多对数）依赖性为代价的。
2022-04-21 cs.CG
Approximating $(k,\ell)$-center clustering for curves
欧几里德$k$中心问题是计算机科学中一个被广泛研究的经典问题.给定欧几里德空间中的$n$点的集合$\mathcal{G}$，问题是确定$k$中心（不一定是$\mathcal{G}$的一部分）的集合$\mathcal{C}$，使得$\mathcal{G}$中的点与其在$\mathcal{C}$中的最近邻点之间的最大距离最小化。本文研究了Fréchet距离下多边形曲线的$(k,\ell)$ -中心问题，即给定$\mathbb{R}^d$中的$n$多边形曲线的集合$\mathcal{G}$，每个$m$，确定$\mathbb{R}^d$中的$k$多边形曲线的集合$\mathcal{C}$，每个$\ell$，使得$\mathcal{G}$中的曲线到$\mathcal{C}$中最近曲线的最大Fréchet距离最小.在本文中，我们大大扩展和改进已知的逼近边界的曲线在$2$和更高的维度。我们表明，如果$\ell$是输入的一部分，则没有多项式时间近似方案，除非$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$。我们的结构产生不同的边界的一维和二维曲线和离散和连续的Fréchet距离。在二维曲线上的离散Fréchet距离的情况下，我们显示出接近$2.598$的因子内的近似的硬度。当$k=1$和$\mathsf{NP}$硬度扩展到$\ell=\infty$，即，计算Fréchet距离下的最小包围球的问题。…
2018-07-20 cs.CG cs.IR
Probabilistic embeddings of the Fréchet distance
Fréchet距离是一种流行的曲线距离度量，它自然适用于基本的计算任务，例如聚类，最近邻搜索和相应度量空间中的球形范围搜索。然而，其固有的复杂性在实践中提出了相当大的计算挑战。为了解决这个问题，我们研究失真的概率嵌入，结果从投影曲线到一个随机选择的线。这样的嵌入可以与例如位置敏感散列结合使用。我们表明，在最坏的情况下，在合理的假设下，离散Fréchet距离的两个多边形曲线的复杂性$t$在$\mathbb{R}^d$，其中$d\in\lbrace 2,3,4,5\rbrace$，降低了一个因素的线性$t$与恒定的概率。我们显示上界和下界的失真。我们还评估了我们的研究结果经验的基准数据集。初步的实验结果与我们的下限形成鲜明对比。它们表明，高度扭曲的投影在实践中很少发生，并且仅用于强条件输入曲线。关键词：Fréchet距离，度量嵌入，随机投影
2018-08-06 cs.CG
Approximating the packedness of polygonal curves
在2012年，Driemel等人\cite{DBLP:journals/dcg/DriemelHW12}引入了$c$填充曲线的概念，将其作为真实的输入模型。在$c$为常数的情况下，给出了计算两条$c$ -packed多边形曲线间Fréchet距离的近似线性时间$(1+\varepsilon)$ -近似算法.从那时起，许多论文都使用了这个模型。在本文中，我们考虑的问题，计算最小的$c$，其中一个给定的多边形曲线在$\mathbb{R}^d$是$c$ -包装。我们提出了两种近似算法。第一个算法是$2$近似算法，并在$O(dn^2 \log n)$时间内运行。在$d=2$的情况下，我们开发了一个更快的算法，返回一个$(6+\varepsilon)$近似和运行在$O((n/\varepsilon^3)^{4/3} polylog (n/\varepsilon)))$的时间。我们还实现了第一个算法，并计算了16组真实世界轨迹的近似包值。实验表明，概念的$c$ -packedness是一个有用的现实输入模型，许多曲线和轨迹。
2020-09-17 cs.CG
Visiting All Sites with Your Dog
给定一条多边形曲线P，一个点集S，ε> 0，研究了从S到曲线P的Frechet距离小于或等于ε的多边形曲线Q的求取问题.在这个问题中，Q必须访问S中的每一个点，并且我们可以重用点集上的点来构造Q.首先，我们证明了这个问题是NP完全的。然后，我们给出了一个多项式时间算法的一个特殊情况下，该问题，当P是一个凸多边形。
2012-11-19 cs.CG
On Flipping the Fréchet distance
经典的和广泛研究的两条曲线之间的Fréchet距离被定义为一个infmax，其中下确界是在曲线的所有遍历，最大值是在两个代理的所有并发位置。在这篇文章中，我们研究了一个“翻转”Fréchet测量定义的一个超级最小值-上确界是在所有遍历的曲线，最小值是在所有并发的位置的两个代理。这种测量产生了两条曲线（或一般域）之间的“社会距离”概念，其中代理人在穿越曲线的同时试图保持尽可能远的距离。我们首先研究了一维和二维两条多边形曲线之间的翻转Fréchet测度，给出了条件下界和匹配算法。然后，我们考虑多边形，它表示的最小距离，两个代理人可以保持，而限制在同一个多边形的边界上或旅行。我们调查在这种情况下的问题的几个变种，其中一些我们提供线性时间算法。最后，我们考虑这个措施的图。我们绘制我们提出的翻转Fréchet措施和现有的相关工作之间的联系在计算几何，希望我们的新措施可能会产生类似于那些执行的Fréchet距离的调查，并进一步有趣的问题出现。
2022-09-21 cs.CG
The VC Dimension of Metric Balls under Fréchet and Hausdorff Distances
Vapnik-Chervonenkis维数为集合系统提供了复杂性的概念。如果VC维很小，那么知道这一点可以大大简化基本的计算任务，如分类，范围计数和密度估计，通过使用采样边界。我们分析集系统的地面集$X$是一组多边形曲线在$\mathbb{R}^d$和集$\mathcal{R}$是度量球定义的曲线相似性度量，如Fréchet距离和Hausdorff距离，以及它们的离散对应。我们推导出VC维上的上界和下界，这意味着在曲线的数量很大的设置中有用的采样界，但单个曲线的复杂性很小。我们的上界在定义范围的曲线的复杂性上是近二次的或近线性的，并且在定义基集的曲线的复杂性上是对数的。
2019-11-15 cs.CG
Finding a Curve in a Point Set
令$P$是$\mathbb{R}^D$中长度为$n$的多边形曲线，并且$S$是大小为$k$的点集。曲线/点集匹配问题包括在$S$上找到一条多边形曲线$Q$，使得它与$P$的Fréchet距离小于给定的$\varepsilon$。在本文中，我们考虑这个问题，增加了自由变换输入曲线$P$通过平移，旋转，或应用任意仿射变换。我们提出了精确和近似算法这个问题的几个变化。
2014-05-05 cs.CG cs.DS
$(5+ε)$-Approximation of Fréchet Distance in Strongly Subquadratic Time
University of Illinois Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）
针对\(\mathbb{R}^d\)中两条多边形曲线的连续和离散弗雷歇距离，提出随机化\((5 + \epsilon)\)近似算法，通过直接验证可达性改进近似，结合双尺度搜索等提升运行效率，改进了现有强次二次常数因子近似算法。
2026-07-17 cs.CG
Why walking the dog takes time: Frechet distance has no strongly subquadratic algorithms unless SETH fails
Frechet距离是一个研究得很好的，非常流行的两条曲线相似性的度量。自从Alt和Godau在1991年把这种测度引入到计算几何中以来，已经研究了许多变体和扩展。他们原来的算法计算两个多边形曲线的弗雷歇距离与n顶点有一个运行时间为O（n^2 log n）。20多年后，大多数变体的最新算法仍然需要超过O（n^2 / log n）的时间，但没有匹配的下限是已知的，即使在合理的复杂度理论假设下也是如此。为了得到一个有条件的下界，在本文中，我们假设强指数时间假设，或者更准确地说，对于任何delta > 0，CNF-SAT都没有O*（（2-delta）^N）算法。在这个假设下，我们证明了Frechet距离不能在强次二次时间内计算，即，时间复杂度为O（n^{2-delta}）。这意味着找到更快的弗雷歇距离算法与找到更快的CNF-SAT算法一样困难，并且可以认为不太可能存在强次二次算法。我们的结果适用于连续和离散的Frechet距离。我们在不同的方向上推广了主要结果。基于同样的假设，我们（1）证明了不存在强次二次1.001-近似，（2）在两条曲线的顶点数不平衡的情况下给出了严格的下界，（3）检验了现实的输入假设（c-填充曲线）。
2014-07-31 cs.CG
Walking Your Frog Fast in 4 LoC
针对离散 Fréchet 距离递归算法不适合现代硬件的问题，提出无递归、线性内存开销的 Fast Fréchet Distance 算法，仅4行代码即可实现，并在 CPU 和 GPGPU 上验证其高效性能。
2024-04-08 cs.CG
Fréchet Distance in the Imbalanced Case
University of Bonn（波恩大学）
研究证明了在不平衡情况下，1D离散弗雷歇距离无法在特定时间内近似，同时提出了适用于任意维度和L_p空间的近似算法。
2026-02-10 cs.CG
Transforming Dogs on the Line: On the Fréchet Distance Under Translation or Scaling in 1D
针对一维曲线，提出平移和缩放下 Fréchet 距离的算法，运行时间为 O(n^{8/3} log^3 n)，匹配离散情况并改进先前 O(n^4) 界限。
2025-01-22 cs.CG
Faster Fréchet Distance under Transformations
本文提出更快的算法计算变换下的 Fréchet 距离：平移情形时间复杂度 O~(n^{7+1/3})，推广到 k 自由度有理参数化变换类，时间复杂度 O~(n^{3k+4/3})，改进先前结果。
2025-01-22 cs.CG
Higher-Order Color Voronoi Diagrams and the Colorful Clarkson-Shor Framework
本文研究平面上带颜色站点的高阶颜色Voronoi图，推导出最小和最大k阶颜色图顶点数的精确上界及复杂度界，并将Clarkson-Shor框架扩展到带颜色对象以支撑这些组合结果。
2025-04-09 cs.CG
Dimension Reduction for Curves: Simplified and Generalized
University of Cologne, Germany（科隆大学，德国）；TU Dortmund, Germany（多特蒙德技术大学，德国）
重新审视随机投影用于高维多边形曲线降维，基于稀疏遗忘子空间嵌入给出简化证明，该技术具通用性，适用于多种距离度量，还将此框架用于分段线性曲面降维。
2026-07-07 cs.CG cs.DS cs.LG
Coresets for $k$-median clustering under Fréchet and Hausdorff distances
当聚类中心被限制为低复杂度时，我们给出了计算多边形曲线（在离散和连续的Fréchet距离下）和点集（在Hausdorff距离下）的$(1+\varepsilon)$ -近似$k$ -中值聚类的核心集的算法。我们是第一个这样的结果，其中coreset的大小与要聚类的输入曲线/点集的数量无关（尽管它仍然取决于每个输入对象的最大复杂度）。具体来说，对于任何$δ> 0$，核心集的大小都是$Θ\left(\frac{k^3lm^δd}{\varepsilon^2}\log\left( \frac{kl}{\varepsilon}\right)\right)$，其中$d$是环境维度，$m$是输入曲线/点集中的最大点数，而$l$是聚类中心允许的最大点数。我们正式描述了一个一般条件的限制空间的集群中心-这有助于我们推广和应用的重要性采样框架，这是由Langberg和Schulman用于计算coresets的$k$ -中值聚类的$d$ -维点的赋范空间在$\mathbb{R}^d$，聚类曲线和点集使用的Fréchet和Hausdorff度量的问题。粗略地说，该条件对簇中心的有限空间可以击中的度量球的不同组合的数量设置了上限。我们还推导出下限的coreset的大小，给定的限制，coreset必须是一个子集的输入对象。
2021-04-25 cs.CG
