The strong renewal theorem with infinite mean via local large deviations
建立了渐近稳定的更新过程满足强更新定理的充要条件。这个结果对（0，1）中的所有α都有效，从而完成了Garsia和Lamperti在1963年的论文[6]中证明的关于（1/2，1）中α的结果。本文由arXiv：1612.07635取代。
2017-01-09 math.PR
On distributional and asymptotic results for exponential functional of renewal -- reward processes describing risk models
受日本双重债务问题的启发，抵押人必须支付剩余的贷款，即使他们的房子被摧毁的灾难性事件，我们的贷款人的现金流模型，由一个指数函数的更新奖励过程。我们提出了一个保险附加到贷款偿还和分析的首中时，这代表了完全偿还的概率分布的渐近行为。我们证明了有限时间的贷款全额偿还的概率以指数速度收敛到无限时间。在一些具体的场景中，我们计算了无限时间概率的精确形式和相应的保费。
2020-09-23 math.PR
Large Deviations in Discrete-Time Renewal Theory
本文研究离散时间更新模型中 Banach 值累积奖励的大偏差，利用凸性、超可加性及条件化，在聚合物钉扎模型框架下建立精确大偏差原理。
2021-03-08 math.PR
On a multivariate renewal-reward process involving time delays and discounting: Applications to IBNR process and infinite server queues
本文考虑了一个特殊的更新奖励过程与多变量折扣奖励（输入）的到达时期的调整，通过添加一些随机延迟。在精算学中，这种累积的报酬可以看作是多变量的已发生但未报告的折扣索赔（IBNR），也可以看作是排队论中的一些重要量，如具有相关批到达的G/G/无穷排队中的顾客数。我们研究这个过程的长期行为以及它的时刻。渐近表达式和我们感兴趣的量的界限，以及收敛结果的分布后，这个过程的重整化，研究时，到达间隔时间和时间延迟是轻尾。接下来，假设指数分布的延迟，我们推导出一些明确的和数值上可行的表达式的限制联合时刻。在这种情况下，对于具有更新到达过程的无限服务台排队系统，我们得到了关于工作负荷的期望以及队列量与工作负荷的协方差的极限结果。最后给出了一些理论上的应用，MSC分类：60 G50，60 K30，62 P05，60 K25
2018-03-02 math.PR
Large deviations for the empirical measure of heavy tailed Markov renewal processes
建立了有限图上更新马尔可夫过程的经验测度与流测度的联合律的大偏差原理。我们不假设任何约束的到达时间，允许重尾分布。特别地，速率泛函一般是退化的（它具有非平凡的零点集），而不是严格凸的。这些特征显示了一种行为，它与人们用启发式的Donsker-Varadhan分析所猜测的行为有很大的不同。
2014-02-15 math.PR
Local large deviations and the strong renewal theorem
我们建立了两个不同的，但相关的结果，随机游动吸引区域的稳定律的指数$α$。第一个结果是一个局部大偏差上界，对$α\in (0,1) \cup (1,2)$是有效的，它改进了经典的Gnedenko和Stone局部极限定理.第二个结果，有效的$α\in (0,1)$，是推导的充要条件的随机游动，以满足强更新定理（SRT）。这解决了一个长期存在的问题，这个问题可以追溯到1962年Garsia和Lamperti的论文[Comm. Math. Helv.]更新过程（即非负增量的随机游动），以及Williamson [Pacific J. Math.]一般的随机游动。本文取代单独的预印本arXiv：1507.07502和arXiv：1507.06790
2019-07-02 math.PR
Strong renewal theorems and local large deviations for multivariate random walks and renewals
我们研究了$\mathbb{Z}^d$上的随机游动$\mathbf{S}_n$（$d\geq 1$），在具有指标$\boldsymbolα=(α_1,\ldots,α_d) \in (0,2]^d$的算子稳定分布的吸引域中：特别地，我们允许缩放沿着不同的坐标是不同的。我们证明了一个强更新定理，$i.e.$的格林函数$G(\mathbf{0},\mathbf{x})$作为$\|\mathbf{x}\|\to +\infty$的一个尖锐的渐近，沿着“最喜欢的方向或缩放”：（i）如果$\sum_{i=1}^d α_i^{-1} < 2$（让人想起Garsia-Lamperti的条件时，$d=1$ [Comm. Math. Helv. $\mathbf{37}$，1962]）;（ii）如果某个$local$条件成立（让人想起Doney的条件[Probab.理论关系字段$\mathbf{107}$，1997]（当$d=1$时）。我们还为格林函数$G(\mathbf{0},\mathbf{x})$提供了统一的边界，当$\mathbf{x}$远离该最喜欢的方向或缩放时，可以锐化估计。这些结果显着改善现有的文献，这是主要关注的情况下$α_i\equiv α$，在最喜欢的缩放，甚至撇开了情况下$α\in[1,2)$与非零均值。我们的大多数估计依赖于新的一般（多变量）局部大偏差结果，这些结果在文献中缺…
2019-04-17 math.PR
Large deviations for the empirical measure and empirical flow of Markov renewal processes with a countable state space
本文提出了状态空间为可数的马氏更新过程（半马氏过程）的经验测度和经验流的Donsker-Varadhan型紧性条件，证明了联合大偏差原理，推广了[Ann.Inst.H.庞加莱概率中央集权主义者51，867-900（2015）]和[Stoch. 125，2786-2819（2015）]，以及在[Adv. Appl. Probab. 48，648-671（2016）]。特别地，当流空间被赋予有界弱 * 拓扑或强$L^1$拓扑时，我们的结果成立。即使对于连续时间马尔可夫链，我们的紧性条件也比以前的文章中提出的条件弱。在更强的条件下，我们得到了经验流的边际速率函数的显式表达式。
2022-10-26 math.PR
Strong renewal theorems with infinite mean beyond local large deviations
设$F$是指数为$α\in(0,1/2]$的稳定律吸引区域中直线上的分布函数。通过推广Doney [Probab. Theory Related Fields 107（1997）451-465]。这是通过在$F$上引入条件来完成的，这些条件通常排除了$\mathbb{P}\{S_n\in(x,x+h]\}=O(n)\overline{F}(x)/x$类型的局部大偏差边界，因此明显弱于Doney（1997）中的有界性条件。并给出了结果在梯高过程和无穷可分分布中的应用。
2015-05-28 math.PR
Asymptotic deviation bounds for cumulative processes
本文借助大偏差原理推导累积过程的渐近偏差界，放宽了累积随机变量与更新过程的依赖限制，拓展了已有研究，且可应用于带抑制的Hawkes过程。
2023-03-23 math.PR
Large Deviations in Renewal Theory and Renewal Models of Statistical Mechanics
我们提出并建立了与经典离散时间更新过程相关联的一般多元更新奖励过程的大偏差原理。更新奖励过程描述了随着时间的累积奖励，假设在更新过程下更新的事件每次发生时获得广义多元奖励。我们认为这两个标准模型和约束模型，构造条件的事件，其中一个更新发生在预定的时间。约束更新模型对时间坐标有不同的解释，它包含了几个重要的统计力学模型，如聚合物钉扎模型、DNA变性的Poland-Scheraga模型、蛋白质折叠的Wako-Saito-Muñoz-Eaton模型和应变外延的Tokar-Dreysé模型。我们攻击的问题的大偏差的约束更新模型的基础上的凸性和超可加性的参数。然后，我们将结果转移到标准的更新过程诉诸条件。在约束更新模型的背景下，我们还提出了一个明确的应用一般理论的确定性奖励，增长速度不超过两个连续发生的更新事件之间的时间。这种类型的奖励将统计力学的广泛变量编入法典。
2019-04-10 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Large deviations for fractional Poisson processes
证明了两种形式的分数Poisson过程的大偏差原理。首先我们考虑了更新过程的主模型，并给出了常保费率保险模型i.i.d.的破产概率的大偏差估计。轻尾索赔规模和分数泊松索赔数过程。我们得出结论的替代版本，其中所有的随机变量加权泊松分布。关键词：Mittag-Leffler函数;更新过程;随机时间序列
2012-10-01 math.PR
Strong memoryless times and rare events in Markov renewal point processes
设W是平稳有限状态马尔可夫更新点过程的（0，t）中的点的个数。我们推导出了W分布与复合泊松分布之间的全变差距离的界。对于任何非负随机变量ε，我们构造一个"强无记忆时间“\hat ε，使得ε-t是指数分布的，条件是{ \hat ε \leq t，ε>t}，对于每个t。这用于将马尔可夫更新点过程嵌入到另一个这样的过程中，该过程的状态空间包含表示原始过程中的内存丢失的频繁观察状态。然后，我们将W写为嵌入更新奖励过程的累积奖励，并使用Erhardsson对此量的复合泊松近似误差界。对于一个更新过程，该界以一种简单的方式依赖于更新间隔时间分布的前两个矩，以及从更新间隔时间分布相对于指数分布的Radon-Nikodym导数获得的两个常数。对于一个泊松过程，边界是0。
2004-10-06 math.PR
A Renewal version of the Sanov theorem
研究了过程$X_t$的局部时间的大偏差，其中$t \in [S_{i-1},S_i[$和$(x_j)$的$X_t=x_i$是独立同分布的。波兰空间上的随机变量，$S_j$是更新过程的第$j$个到达时间，取决于$(x_j)$。在更新过程的到达时间上不假设矩条件。
2014-10-09 math.PR
Quenched large deviations in renewal theory
本文研究随机环境下取值于 Banach 空间的更新-报酬过程，推导出淬灭大偏差原理并用校正子变分公式确定速率函数，通过复合 Poisson 过程等三个例子验证理论。
2023-09-14 math-ph math.MP math.PR
Scaling limits of a heavy tailed Markov renewal process
在本文中，我们考虑重尾马尔可夫更新过程，我们证明了，适当的重整化，他们收敛于法律的$\ga$稳定再生集。然后，我们将这些结果应用到带润湿模型，这是一个随机游动$S$约束以上的墙壁和奖励或惩罚时，它击中带$[0,\infty) \times [0,a]$，其中$a$是一个给定的正数。我们建立的收敛结果可以描述这个过程的临界尺度限制。
2011-06-22 math.PR
On Vervaat and Vervaat-error type processes for partial sums and renewals
我们研究由独立同分布的部分和之和所产生的随机过程的渐近行为。随机变量及其更新我们的结论是，这些过程不能弱收敛到任何非退化随机元的空间$D[0,1]$。另一方面，我们证明了他们的适当规范化的积分Vervaat型随机过程弱收敛到一个平方维纳过程。此外，我们还处理这些过程，所谓的Vervaat误差型过程的偏差的渐近行为。
2004-01-06 math.PR
Local theorems for arithmetic compound renewal processes, when Cramer's condition holds
我们继续研究复合更新过程（c. r. p.），其中Cramer条件的时刻成立（参见[1]-[10]，c. r. p.的研究开始的地方）。本文研究了算术c. r. p. Z（n）。在这样的过程中，随机向量=（τ，τ）具有算术分布，其中τ > 0定义跳跃之间的距离，τ定义跳跃的值。对于这一过程，在x $\in$ Z的Cramer偏差区域内，得到了概率P（Z（n）= x）的局部极限定理的精细渐近性.在[6]-[10]中，对于非格点c. r. p.，已经解决了类似的问题，当向量τ =（τ，τ）具有非格点分布时。
2018-11-15 math.PR
Local limit theorems and renewal theory with no moments
我们研究身份识别。将非负变量的$τ_k$与索引$0$相加：这意味着$\mathbf{P}(τ_1=n) = φ(n) n^{-1}$，$φ(\cdot)$缓慢变化，因此所有$\varepsilon>0$的$\mathbf{E}(τ_1^\varepsilon)=\infty$。我们证明了一个局部极限和局部（向上）大偏差定理，当$n$至少是$τ_k$的典型长度时，给出了$\mathbf{P}(τ_k=n)$的渐近性。Nagaev [21]最近的更新定理是一个直接的结果：$\mathbf{P}(n\inτ) \sim \mathbf{P}(τ_1=n)/\mathbf{P}(τ_1 > n)^2$作为$n\to\infty$。相反，如果我们只假设$\mathbf{P}(n\inτ)$的规则变化和$U_n:= \sum_{k=0}^n \mathbf{P}(k\inτ)$的缓慢变化，我们得到类似的等价性，但$\mathbf{P}(τ_1=n)$被其在短时间间隔内的平均值所取代。我们给出了两个独立更新的第一个交集的分布的局部渐近性的一个应用。我们进一步得到向下的中等和大的偏差估计，即当$n$远小于$τ_k$的典型长度时，$\mathbf{P}(τ_k \leq n)$的渐近性。
2016-11-04 math.PR
Quenched large deviation principle for words in a letter sequence
当我们切开一个身份证。根据独立的更新过程将字母序列转换为单词，我们获得了I.I. D。单词的顺序。在用于词的经验过程的\emph{annealed}大偏差原理（LDP）中，速率函数是观察到的词的规律相对于词的特定相对熵。词语的指称规律。在本文中，我们考虑\emph{quenched} LDP，即，我们以典型的字母序列为条件。我们专注于更新过程有一个\emph{algebraic}尾巴的情况。速率函数原来是两项之和，一项是退火速率函数，另一项与观察到的字母w. r. t定律的特定相对熵成比例。字母的参考法则，前者是通过连接单词并随机化起源位置而获得的。比例常数等于更新过程的尾指数。早期的工作由伯克纳考虑的情况下，更新过程有一个指数的尾巴，在这种情况下，率函数原来是首项上的第二项消失，并在其他地方是无限的。先前版本（arXiv：0807.2611v2）出现在Probab中。理论关系Fields 148，no. 3/4（2010），403- 456.同时，证明了当平均字长为无穷大时，原速率函数表示的证明是错误的。我们添加了一个勘误表，在其中我们修复了证明中的缺陷。一路上，我们得到新的表示率函数，是有趣的，在自己的权利。证明中的一个关键因素是观察到，如果在退火大偏差原则的速率函数是有限的，在一个稳定的字的过程，然后在这个过程中的长字的尾部的字母是典型的。
2022-10-03 math.PR
Asymptotic results for certain first-passage times and areas of renewal processes
考虑过程$\{x-N(t):t\geq 0\}$，其中$x\in\mathbb{R}_+$和$\{N(t):t\geq 0\}$是保持时间为轻尾分布的更新过程.我们对$(τ(x),A(x))$的联合分布感兴趣，其中$τ(x)$是$\{x-N(t):t\geq 0\}$达到零或负值的首次通过时间，而$A(x):=\int_0^{τ(x)}(x-N(t))dt$是过程$\{x-N(t):t\geq 0\}$扫过的相应首次通过（正）面积。我们注意到，我们可以定义序列$\{(τ(n),A(n)):n\geq 1\}$通过参考的概念，积分随机游动。我们的目的是证明渐近结果作为$x\to\infty$的大（和中等）偏差的方式。
2022-02-22 math.PR
Renewal processes of Mittag-Leffler and Wright type
在简述更新理论的基本原理之后，我们讨论了经典的泊松过程，并给出了另外两个过程，即Mittag-Leffler型更新过程和Wright型更新过程，我们之所以这样命名是因为在相应的等待时间的定义中出现了Mittag-Leffler型和Wright型的特殊函数。我们将这三个过程进行了比较，并进一步考虑了相应的具有报酬的更新过程及其长时间行为。
2007-01-29 math-ph math.MP math.PR
Large-time asymptotic of heavy tailed renewal processes
研究了具有重尾等待时间分布的更新-奖励过程的大时间渐近性。众所周知，分布的重尾产生极慢的动态，导致奇异的大偏差函数。当奇异性发生时，大偏差函数的底部变平，表现出更新-奖励过程的异常波动。在这篇文章中，我们的目标是研究这些奇点如何随着时间的增加而出现。利用一个经典的结果与规则变化的尾巴随机变量的总和，我们开发了一个扩展的方法来证明有限时间矩母函数的一个上界的Pareto等待时间分布（幂律）的整数指数。我们进行数值模拟，使用帕累托（与实值指数），逆瑞利和对数正态等待时间分布，并证明类似的结果预计在这些等待时间分布。
2021-06-28 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Large deviation principles for words drawn from correlated letter sequences
当一个i.i.d.\根据i.i.d.将字母序列切割成单词。更新时间，i.i.d.获得单词序列。在词汇的经验过程的\emph{annealed} LDP（大偏差原理）中，速率函数是观察到的词汇规律相对于r.t. t的特定相对熵。词语的指称规律。在Birkner、Greven和den Hollander \cite{BGdH10}中，\emph{quenched} LDP（=以典型的字母序列为条件）是针对更新时间具有\emph{algebraic}尾部的情况导出的。速率函数原来是两项之和，一项是退火速率函数，另一项与观察到的字母w. r. t定律的特定相对熵成比例。字母的参考法则，通过连接单词和随机化原点的位置获得。比例常数等于更新过程的尾指数。本文的目的是扩大两个LDP的字母序列，不是独立同分布。结果表明，两个LDP的结转时，字母序列满足混合条件称为\emph{summable variation}。速率函数也由特定的相对熵w.r.t.给出。字的参照法，分别是字母。但由于这些参考定律都不是独立同分布的，需要几个近似参数来获得扩展。
2013-11-21 math.PR
Statistical fluctuations under resetting: rigorous results
本文研究一般非泊松重置下随机过程加性泛函的正常与大涨落，借助更新—回报过程的极限定理与大偏差理论给出严格结果，并应用于重置布朗运动。
2022-11-13 cond-mat.stat-mech math.PR
A fractional generalization of the Poisson processes
这是我们的目的，通过分数微积分提供一个推广的纯泊松过程和复合泊松过程，这是已知的更新理论中发挥了重要作用，没有和奖励，分别。我们首先回顾基本的更新理论，包括它的基本概念，如事件之间的等待时间，生存概率，计数函数。如果等待时间是指数分布的，我们有一个泊松过程，这是马尔可夫。然而，其他等待时间分布在应用中也是相关的，特别是具有由其密度的幂律衰减引起的厚尾的分布。在这方面，我们分析了一个非马尔可夫更新过程的等待时间分布所描述的Mittag-Leffler函数。这种分布，包含指数作为特殊情况下，所示出的无限稀疏过程中的一个通用的更新过程所管辖的权力渐近等待时间发挥了重要作用。然后，我们考虑的更新理论与奖励，这意味着一个随机游动服从一个更新过程。
2007-01-16 math-ph math.MP math.PR
Second--order renewal asymptotics in the finite--variance regularly varying regime
Karshi State University（卡尔希国立大学）；Tashkent University of Information Technologies（塔什干信息技术大学）
针对有限方差正则变化间隔分布的更新过程，建立二阶渐近展开式，揭示双尺度结构，分析 $\alpha=2$ 时的结构转变，为 $2\leq\alpha<3$ 提供统一描述并指出扩展方向。
2026-08-10 math.PR
The time-dependent expected reward and deviation matrix of a finite QBD process
推导与连续时间马尔可夫链相关的不定常期望报酬函数涉及到其瞬态偏差矩阵的计算。在本文中，我们专注于一个有限的拟生灭（QBD）过程的特殊情况下，出于希望计算的期望收益损失的MAP/PH/1/C队列。我们在这方面使用两种不同的方法。第一个是基于矩阵差分方程的有限系统的解决方案，它提供了一个表达式的块的预期回报向量，偏差矩阵，和平均首次通过时间矩阵。第二种方法基于马尔可夫链的扰动理论中的一些结果，给出了计算有限QBD过程的全偏差矩阵的递归方法。我们比较了这两种方法使用一些数值例子。
2017-02-09 math.PR
Moderate deviations of many--server queues, idempotent processes and quasipotentials
本文研究了多服务器队列在重负荷下的大偏差原理，引入了准势能和idempotent过程，推导了系统中客户数的长期分布，并给出了再生素过程高阶矩的界。
2025-12-16 math.PR
Two-parameter Sample Path Large Deviations for Infinite Server Queues
令$Q_λ(t,y) $为在到达率等于$λ>0$的无限服务器系统中，在时间$t$处存在的具有剩余服务时间的$y$单位的人数。在非格更新到达过程存在的情况下，假设服务时间服从连续分布，在$[0,T]\times\lbrack0,\infty)$上一致收敛拓扑下，得到了$Q_λ(\cdot) /λ$的大偏差原理.我们说明我们的结果，通过获得最有可能的路径，表示为一个表面，在人寿保险投资组合中破产，我们也获得了最有可能的表面溢出的损失队列的设置。
2012-07-21 math.PR
Tail asymptotics and precise large deviations for some Poisson cluster processes
本文研究了再生Poisson聚类过程和Hawkes过程的尾渐进行为，利用正则变化性假设和Karamata定理推导出精确的大偏差结果。
2025-04-24 math.PR
Large deviation principles and fluctuation theorems for currents in semi-Markov processes
在这个简短的说明中，我们考虑满足方向-时间独立条件的半马尔可夫过程（马尔可夫更新过程）。我们导出了经验电流和经验电流沿周期的大偏差原理和涨落定理。我们的推导是基于最近在\cite{MZ}中证明的经验测度和流的联合LDP。
2017-09-17 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Sample path large deviations for multiclass feedforward queueing networks in critical loading
我们考虑多类前馈排队网络与先进先出和优先服务纪律的节点，和类相关的节点之间的确定性路由。网络的随机行为是由累积到达和服务时间过程构成的，假设它们满足适当的样本路径大偏差原则。建立了临界负载下等待时间、空闲时间、队列长度、离开和sojourn-time过程的大偏差的对数渐近性。这将Puhalskii关于带反馈的单类排队网络的类似结果转移到多类前馈排队网络，并补充了Peterson的扩散近似结果。一个例子与更新间隔到达和服务时间过程产生的反射布朗运动的速率函数。该模型直接捕捉静止的情况。
2007-02-09 math.PR
Blackwell-type Theorems for Weighted Renewal Functions
对于满足其“平均行为”的广泛假设的数字序列${a_n}$和具有独立同分布的随机游走$S_n=ξ_1 +...+ξ_n$本文讨论了具有正均值$μ$的$ξ_j$跳跃，建立了[ \sum_{n\ge 1} a_n \pr（S_n \in [x，x+ \D））\quad为\quad × \to \infty，]和的渐近行为，其中$\D>0$是固定的.我们的结果的新颖之处不仅在于在更广泛的条件下的权重${a_n}$，但也在既不是跳跃$ξ_j$和权重$a_j$需要是积极的。证明的关键工具是积分局部极限定理和大偏差界.对于跳分布$F$，我们考虑了四种条件：（a）$F$的二阶矩是有限的，（b）$F$属于稳定律的吸引域，（c）$F$的尾属于所谓的局部正则变化函数类，（d）$F$满足矩Cramér条件.关于权重，在情况（a）-（c）中，我们假设${a_n}$是所谓的$ψ$ -局部平均常数序列，$ψ(n)$是确保$(S_n - μn)/ψ(n)$的分布收敛到相应稳定律的比例因子。在情况（d）中，我们考虑$a_n=b_n e^{qn},$形式的权重序列，其中${b_n}$具有关于$ψ(n)=\sqrt{n}.$的情况（a）-（c）中的序列${a_n}$假设的性质
2012-08-28 math.PR
Ruin Probabilities for Risk Processes with Non-Stationary Arrivals and Subexponential Claims
在本文中，我们得到了有限和无限时域破产概率渐近索赔的次指数尾的非平稳到达过程满足大偏差原理。因此，到达过程可能是依赖的、非平稳的和不可更新的。给出了三个非平稳非更新点过程的例子：Hawkes过程、具有散粒噪声强度的Cox过程和自校正点过程。我们还展示了这三个例子的一些总索赔结果。
2014-10-14 math.PR q-fin.RM
Large deviations asymptotics for unbounded additive functionals of diffusion processes
本文研究了一维 Langevin 扩散过程无界可加泛函的大偏差渐近，通过交替更新循环分解和重尾大偏差现象揭示了次线性速度的临界条件。
2023-10-20 math.PR
Strategy-Driven Limit Theorems Associated Bandit Problems
基于对bandit问题渐近性态的研究，我们得到了几个策略驱动的极限定理，包括大数定律、大偏差原理和中心极限定理.与经典的极限定理不同，我们发展了抽样策略驱动的极限定理，它能产生最大或最小的平均报酬。大数定律确定了在各种策略下可以达到的所有可能的极限。大偏差原理提供了从极限域的偏差的最大衰减概率。为了描述平均值附近的波动，我们在最优策略下得到了策略驱动的中心极限定理。这些定理中的极限是明确确定的，并且在很大程度上取决于事件的结构或积分函数和策略。这展示了学习结构的密钥签名。我们的结果可以用来估计最大（最小）报酬，并确定避免Parrondo悖论的条件，在双臂强盗问题。它也为统计推断确定提供更高平均奖励的手臂奠定了理论基础。
2022-05-18 math.PR
