A non-nested unstructured mesh perspective on highly parallel multilevel smoothed Schwarz preconditioner for linear parametric PDEs
针对非结构网格下多级Schwarz预处理器因网格非嵌套难以并行的问题，提出含并行粗化与非嵌套插值的高并行非嵌套预处理器，在千核处理器上验证了良好收敛性与并行效率，可广泛用于线性参数PDE求解。
2024-12-12 cs.NA math.NA
A spectral element method for meshes with skinny elements
MIT（麻省理工学院）；Cornell University（康奈尔大学）
本文提出一种稳定的谱元方法，可处理含瘦元素的网格，并支持高次多项式，适用于需要各向异性网格的偏微分方程求解。
2018-03-29 cs.NA math.AP math.NA
NeuFENet: Neural Finite Element Solutions with Theoretical Bounds for Parametric PDEs
Iowa State University（爱荷华州立大学）；New York University（纽约大学）
我们考虑一个基于网格的方法来训练一个神经网络，以产生参数偏微分方程（PDE）的解决方案的现场预测。这种方法对比了当前的“神经PDE求解器”的方法，采用基于搭配的方法来逐点预测PDE的解决方案。这种方法的优点是自然地执行不同的边界条件，以及容易调用发达的PDE理论-包括数值稳定性和收敛性分析-以获得我们提出的神经网络在离散域的能力界限。我们探索我们的网格为基础的战略，称为NeuFENet，使用加权Galerkin损失函数的基础上的有限元法（FEM）的参数椭圆PDE。加权伽辽金损失（FEM损失）类似于能量泛函，其产生改进的解，满足先验网格收敛，并且可以模拟Dirichlet和Neumann边界条件。我们从理论上证明，并说明与实验，收敛结果类似网格收敛分析部署在有限元解偏微分方程。这些结果表明，基于网格的神经网络方法作为一个有前途的方法来解决参数偏微分方程的理论界。
2021-10-13 cs.LG cs.NA math.NA
Stable Mesh-Free Variational Radial Basis Function Approximation for Elliptic PDEs and Obstacle Problems
University of Waterloo（滑铁卢大学）
本文研究了变分形式下椭圆型及障碍型边界值问题的径向基函数逼近，通过截断奇异值分解提高计算稳定性与精度，实验表明在基函数数量、过采样比和截断阈值等参数下，RBF变分求解器在精度和效率上表现优异。
2026-04-21 cs.NA math.NA
Phase transition approach to detecting singularities of PDEs
University of Minnesota（明尼苏达大学）
提出一种将偏微分方程奇点出现视为相变的网格细化算法，通过三种方式计算爆破速率，并用无粘Burgers方程和超临界Schrödinger方程示例说明。
2009-06-13 cs.NA math.AP math.NA
Medusa: A C++ Library for solving PDEs using Strong Form Mesh-Free methods
美杜莎，一个新的图书馆实施强形式无网格方法，进行了说明。我们确定并提出了许多这样的方法在文献中报道，如节点定位，模板选择和模板重量计算的共同部分和模式。每个部分存在许多不同的算法，并且可能的组合为解决方案程序的改进提供了过多的可能性，这些改进远远没有完全理解。因此，在无网格社区中仍然有许多未回答的问题，导致该领域的研究正在进行中。Medusa将核心无网格元素实现为独立的块，这为用户提供了极大的灵活性，可以尝试他们正在开发的方法，并轻松将其与其他现有方法进行比较。本文介绍了所选择的抽象和它们的使用，说明了哲学和设计方面，提供了一些执行时间基准，并演示了应用程序库的情况下，从线性弹性和流体流动在不规则的2D和3D域。
2019-12-31 cs.MS cs.NA math.NA
An Uncertainty-aware, Mesh-free Numerical Method for Kolmogorov PDEs
本文结合基于 Feynman-Kac 公式的 Monte Carlo 采样与 GPR，提出可评估不确定性的无网格 Kolmogorov PDE 数值解法，并通过方差下界和三类 PDE 测试验证其精度与鲁棒性。
2024-05-09 cs.CE cs.NA math.NA
Exponential node clustering at singularities for rational approximation, quadrature, and PDEs
如果极点是指数聚集的，则具有奇点的函数的有理逼近可以以根指数速率收敛。我们首先回顾这种影响在极小极大，最小二乘，AAA近似的间隔和复杂的域，共形映射，拉普拉斯，亥姆霍兹和双调和方程的数值解的“闪电”方法。涉及广泛和广泛的数值实验。然后，我们提出了进一步的实验表明，在所有这些应用程序中，它是有利的，使用指数聚类的对数尺度上的密度是不均匀的，但线性逐渐减少到零附近的奇点。我们给出了一个理论解释的锥形效应的基础上的Hermite轮廓积分和位势论，表明锥形的两倍的收敛速率。最后，我们表明，相关的数学适用于指数（非锥形）和双指数（锥形）求积公式之间的关系。在这里，它是高斯-高桥-森轮廓积分发挥作用。
2020-07-23 cs.NA math.NA
High Accuracy Techniques Based Adaptive Finite Element Methods for Elliptic PDEs
针对传统自适应有限元方法效率低的问题，本文结合超收敛恢复、质心Voronoi Delaunay三角剖分网格优化等高精度技术，提出可7步内终止的高效自适应方法，数值验证了其有效性与鲁棒性。
2025-03-21 cs.NA math.NA
An advanced meshless approach for the high-dimensional multi-term time-space-fractional PDEs on convex domains
提出了一种求解凸区域上高维多项时空分数阶偏微分方程的改进微分求积方法。首先，引入一族高阶差分格式来离散时间分数阶导数，并对所考虑的问题给出一个半离散格式。我们严格证明了它的无条件稳定性和误差估计。在此基础上，我们推导了一类以径向基函数（RBFs）为检验函数的DQ公式。利用这些DQ公式在空间离散化，一个完全离散的DQ格式，然后提出。我们的方法提供了一个灵活的和高精度的替代方案来解决凸区域上的高维多项TSFPES和它的实际性能示出了在公开文献中的其他方法相比。数值结果证实了理论分析和我们提出的方法的能力。
2021-01-27 cs.NA math.NA
A posteriori error analysis of the virtual element method for second-order quasilinear elliptic PDEs
本文针对二维二阶拟线性椭圆型偏微分方程提出了一种 $C^0$-协调虚拟元方法，推导了完全可计算的基于残差的后验误差估计子并证明了其显式上下界，且通过数值实验验证了其驱动自适应网格细化算法的有效性。
2024-09-26 cs.NA math.NA
Parallel domain discretization algorithm for RBF-FD and other meshless numerical methods for solving PDEs
本文提出了一种新的与维数无关的并行节点定位算法，该算法能够生成密度可变的节点，适用于无网格数值分析。一个非常有效的顺序算法的基础上泊松磁盘采样并行化共享内存的计算机上使用，如现代工作站与多核处理器。该并行算法使用全局空间索引方法，其数据分为两个级别，这允许一个高效的多线程实现。自举的增加使算法能够使用任何数量的并行线程，同时保持其顺序变体的通用性。我们证明了算法的性能在六个复杂的2-和3-维域，这是非矩形形状或具有不同的节点间距或两者兼而有之。我们执行的算法的运行时分析，以证明它的能力，以达到高的加速比，无论域，并显示如何以及它的规模与16个处理器内核的实验硬件。我们还分析了算法的域形状，质量的点的位置，和各种并行化开销的影响。
2022-02-03 cs.DC cs.NA math.NA
A posteriori error estimates for the finite element discretization of second-order PDEs set in unbounded domains
针对无界域二阶PDE的有限元离散，提出一种改进的通量均衡后验误差估计器，同时控制建模与离散误差，并验证其有效性、鲁棒性及自适应驱动能力。
2025-03-28 cs.NA math.AP math.NA
Analysis of adaptive two-grid finite element algorithms for linear and nonlinear problems
提出了求解线性和非线性偏微分方程的自适应二重网格有限元算法。这些算法的主要思想是利用$k$级自适应网格上的解来求解$(k+1)$级自适应网格上的解，而$(k+1)$级自适应网格是通过对$k$级自适应网格进行自适应单元剖分而构造的。这些算法将非对称正定（非SPD）PDE（分别为，非线性偏微分方程）转化为对称正定（SPD）偏微分方程（分别，线性PDE）。所提出的算法具有以下优点：不需要求解非对称或非线性系统;很小;很容易实现;插值误差很小。其次，本文构造了残差型{ \em a posteriori}误差估计量，并证明了其可靠性和有效性。证明有效性的关键因素是建立振荡项的上界，其可能不是高阶项（h. o.t.）由于数值解的低规则性。此外，还证明了当网格剖分时算法的收敛性。最后，提供数值实验来验证ATG有限元算法的精度和效率，与常规自适应有限元算法和两网格有限元算法[27]进行比较。
2020-09-18 cs.NA math.NA
Physics-Informed Graph-Mesh Networks for PDEs: A hybrid approach for complex problems
MICS, CentraleSupélec, Université Paris Saclay（巴黎萨克雷大学中央高等电力学院MICS实验室）；Transvalor S.A.（特兰斯瓦尔公司）
针对物理信息神经网络在复杂几何、泛化及自动微分方面的局限，提出融合图神经网络与有限元数值核的混合PDE求解框架，并通过理论分析、消融实验及二三维复杂几何测试验证其泛化能力。
2024-09-25 cs.LG cs.NA math.NA
A New Ensemble HDG Method for Parameterized Convection Diffusion PDEs
我们在文献[3]中设计了一种一阶时间步系综杂交间断Galerkin（HDG）方法，用于求解一组具有不同初始条件、体积力、边界条件和系数的参数化对流扩散偏微分方程。我们得到了$L^\infty(0,T;L^2(Ω))$中的整体解在单纯形网格上的最优收敛速度;如果多项式次数$k\ge 1$和偏微分方程的系数与时间无关，经过逐元后处理，我们得到了$L^2(0,T;L^2(Ω))$中的整体解的超收敛速度.在这项工作中，我们提出了一个新的二阶时间步进集成HDG方法重新审视的问题。我们得到了一个超收敛率的系综解决方案在$L^\infty(0,T;L^2(Ω))$没有一个元素的元素后处理的所有多项式次数$k\ge 0$。此外，我们的网格可以是任何多面体，不需要是单纯形;和偏微分方程的系数可以依赖于时间。最后，我们提出了数值实验来证实我们的理论结果。
2019-10-23 cs.NA math.NA
UGM2N: An Unsupervised and Generalizable Mesh Movement Network via M-Uniform Loss
Laboratory of Digitizing Software for Frontier Equipment, National University of Defense Technology（数字化前沿装备软件实验室，国防科技大学）；National Key Laboratory of Parallel and Distributed Computing, National University of Defense Technology（并行与分布式计算国家重点实验室，国防科技大学）
针对传统网格运动方法复杂度高、泛化性差的问题，提出无监督可泛化网格运动网络UGM2N，通过局部几何特征学习与M-Uniform损失实现高效自适应，在多场景下性能优于现有方法。
2025-10-29 cs.AI cs.NA math.NA
Registration-based model reduction of parameterized PDEs with spatio-parameter adaptivity
提出一种针对参数化对流主导问题的自动化非线性模型降阶与网格自适应框架，结合基于度量的网格自适应、通用配准映射和超降阶最小二乘Petrov-Galerkin模型，实现快速可靠的求解。
2023-08-03 cs.NA math.NA
Analysis and Performance Evaluation of Adjoint-Guided Adaptive Mesh Refinement for Linear Hyperbolic PDEs Using Clawpack
University of Washington（华盛顿大学）
本文研究了利用共轭法指导的自适应网格细化方法，用于更精确地识别和细化影响目标区域的波，并通过线性声学方程的示例和计算性能分析，与AMRClaw软件中已有的方法进行比较。
2018-10-01 cs.NA math.NA
Alikhanov-XfPINNs: Adaptive Physics-Informed Learning for Nonlinear Fractional PDEs on Nonuniform Meshes
IIT (BHU)（印度理工学院（贝拿勒斯印度教大学））；University of Wuppertal（伍珀塔尔大学）
本文提出Alikhanov-XfPINNs方法，结合高阶时间离散化与深度学习，解决分数阶PDEs的初始奇异性和非均匀网格上的计算效率问题，通过自适应激活函数提升训练效率，实现正反问题的数据驱动求解。
2026-05-02 cs.NA math.NA
Kernel-based collocation methods for heat transport on evolving surfaces
本研究针对演化表面上的对流-扩散偏微分方程求解问题，提出两类基于核的无网格配点算法，分别适配参数方程定义和点云形式的演化表面，经验证可正确求解高曲率、不连续初值条件下的相关问题。
2019-06-04 cs.NA math.NA
A high-order fast direct solver for surface PDEs
介绍了一种基于Poincaré-Steklov方法的曲面上变系数椭圆型偏微分方程的快速直接求解器。该方法以一个非结构化的，高阶四边形网格的表面和离散表面微分算子的每个元素使用高阶谱配置方案作为输入。元素解算子和与表面相切的狄利克雷-诺依曼映射被预先计算并以成对的方式合并，以产生解算子的层次结构，该解算子可以应用于具有$N$元素的网格的$\mathcal{O}(N \log N)$操作中。所得到的快速直接求解器可以用于加速高阶隐式时间步进格式，因为预先计算的算子可以重复用于表面上的快速椭圆求解。在一台标准笔记本电脑上，对具有超过100万个自由度的12阶曲面网格进行预计算需要17秒，而后续求解只需0.25秒。我们将该方法应用到一系列的光滑表面和尖锐的角落和边缘的表面上的问题，包括静态Laplace-Beltrami问题，切向向量场的Hodge分解，和一些时间依赖的非线性反应扩散系统。
2022-09-30 cs.NA math.NA
Nitsche-XFEM for optimal control problems governed by elliptic PDEs with interfaces
School of Mathematics, Sichuan University（四川大学数学学院）
本文提出基于Hansbo的Nitsche-XFEM方法，用于求解具有界面的椭圆PDE最优控制问题，推导了状态、共轭状态和控制的最优误差估计，并验证了非均质界面条件的适用性。
2018-05-10 cs.NA math.NA math.OC
High order well-balanced Arbitrary-Lagrangian-Eulerian ADER discontinuous Galerkin schemes on general polygonal moving meshes
本文提出一种适用于一般多边形动网格的高阶保平衡任意拉格朗日-欧拉ADER间断伽辽金格式，通过拉格朗日运动与网格优化、时空控制体积分及后验子单元有限体积限制，实现质量守恒、满足几何守恒律并在激波处保持鲁棒性。
2025-08-16 cs.NA math.NA
Sinc Kolmogorov-Arnold network and its application for solving PDEs with singularities
Skolkovo Institute of Science and Technology（斯克洛夫科学与技术研究所）；Southern University of Science and Technology（南方科技大学）；International Center for Mathematics（国际数学中心）；National Center for Applied Mathematics Shenzhen (NCAMS)（深圳应用数学中心）
本文提出在 Kolmogorov-Arnold 网络中使用 Sinc 插值作为可学习激活函数，以有效逼近光滑函数和含奇异性的函数，并在物理信息神经网络求解偏微分方程中取得更好效果。
2026-05-27 cs.AI cs.LG cs.NA
Spectral analysis of high order continuous FEM for hyperbolic PDEs on triangular meshes: influence of approximation, stabilization, and time-stepping
本研究针对二维双曲型偏微分方程，系统探究不同多项式空间、稳定化技术与时间离散的连续有限元方案的谱特性，经理论与数值验证得出最优组合方案。
2022-06-13 cs.NA math.NA
Von Neumann Stability Analysis of DG-like and PNPM-like Schemes for PDEs that have Globally Curl-Preserving Evolution of Vector Fields
本文研究一类偏微分方程，其中偏微分方程系统的某些部分演化为一个向量场，其旋度保持为零或与指定的源项成比例地增长。这样的PDE分别被称为无卷曲或卷曲保留。在本文中，我们目录一类DG类计划，这样的偏微分方程。为了保持全局无卷曲或卷曲保持约束，向量场的分量以及它们的高阶矩必须在网格的边缘处并置。它们通过使用在网格的顶点处并置的势来更新。由此产生的方案：1）即使在非常长的积分时间之后也不会爆炸，2）不需要任何特殊的清洗处理，3）可以以大的显式时间步长操作，4）不需要椭圆系统的解，以及5）可以使用DG类方法扩展到更高阶。该方法依赖于一个特殊的卷曲保持重建，他们也依赖于多维上旋。Galerkin投影，所以至关重要的DG方法的设计，现在进行的网格的边缘，并产生一个弱形式更新，使用的潜力，在网格的顶点处获得的帮助下，一个多维黎曼解算子。一个冯诺依曼稳定性分析的卷曲保持的方法进行和限制CFL数这整个家庭的方法编目在这项工作中。稳定性分析证实，随着精度的增加，我们的新的无旋方法具有最高的相位精度，同时大大减少了耗散。我们还表明，PNPM类方法保留了DG类方法的优秀波传播特性，同时提供了更大的CFL数和更低的计算复杂性。
2021-08-22 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Mesh-Informed Neural Networks for Operator Learning in Finite Element Spaces
本研究提出网格感知神经网络MINNs，通过网格序列构建复杂度递增的离散函数空间嵌入隐藏层并实现天然剪枝，在多类算子实验中较传统与近期架构训练更快、成本更低、泛化性更好，适用于PDE降阶建模等场景。
2023-05-05 cs.NA math.NA
An adaptive octree finite element method for PDEs posed on surfaces
Institute of Numerical Mathematics, Russian Academy of Sciences（俄罗斯科学院计算数学研究所）；Department of Mathematics, University of Houston（休斯顿大学数学系）
本文提出了一种用于表面上的偏微分方程的有限元方法，利用八叉树网格进行局部细化或粗化，以适应误差指标和曲率估计值，无需对表面进行参数化，通过隐式水平集函数给出表面，并通过改进的 marching cubes 方法实现高阶精度，证明了在 H^1 和 L^2 表面范数下的最优收敛性。
2014-08-18 cs.NA math.NA
Recurrent Neural Networks as Optimal Mesh Refinement Strategies
我们表明，一个最佳的有限元网格细化算法的原型椭圆偏微分方程可以学习的递归神经网络与一个固定数量的可训练参数独立于所需的精度和输入大小，即，网格元素的数量。此外，对于一类具有深度神经网络很好近似的解的一般偏微分方程，我们证明了可以通过循环神经网络学习最佳网格细化策略。这包括尚未知道最佳自适应策略的问题。
2020-08-07 cs.NA math.NA
Isogeometric Analysis for Surface PDEs with Extended Loop Subdivision
Hunan Normal University（湖南师范大学）；Hangzhou Dianzi University（杭州电子科技大学）；Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）
本文提出了一种基于扩展Loop细分方法的曲面PDEs等几何分析方法，利用四次盒样条基函数精确表示几何并构建解空间，通过数值实验验证了该方法在精度、收敛性和计算成本方面的优越性，证明其在L²范数下具有二阶精度。
2019-05-08 cs.NA math.NA
RBF-Generated Finite Difference Method Coupled with Quadratic Programming for Solving PDEs on Surfaces with Derivative Boundary Conditions
School of Information Science and Technology, ShanghaiTech University（上海科技大学信息科学与技术学院）；Institute of Mathematical Sciences, ShanghaiTech University（上海科技大学数学科学学院）；School of Mathematics, University of Minnesota（明尼苏达大学数学学院）
本文提出一种结合RBF生成有限差分法与二次规划的方法，用于求解具有导数边界条件的曲面上PDEs，通过构造受限最近邻Stencil和约束二次规划提高数值稳定性，避免使用ghost点并无需准均匀节点分布。
2026-03-30 cs.NA math.NA
DMIS: Dynamic Mesh-based Importance Sampling for Training Physics-Informed Neural Networks
本文提出动态网格重要性采样方法 DMIS，通过构建动态三角网格高效估计样本权重，用于改善物理信息神经网络训练中的低效与收敛不稳定问题，在多个基准上同时提升收敛速度和精度。
2024-01-18 cs.NA math.NA
High-order Arbitrary-Lagrangian-Eulerian schemes on crazy moving Voronoi meshes
双曲型偏微分方程（PDE）涵盖了从人类科学、心脏科学到天体物理学的许多有趣的现象：这必然要求处理许多空间和时间尺度，以便同时描述更大尺度的宏观结构、多尺度湍流特征以及零尺度激波。此外，求解双曲型偏微分方程的数值方法必须可靠地处理不同的波族：光滑稀疏、激波和接触型的不连续性。为了实现这些目标，一种有效的方法是将基于时空的高阶格式与拉格朗日方法相结合，这种格式即使在粗网格上也能非常精确地处理光滑特征，拉格朗日方法通过随流体流动移动网格，在激波和接触上产生高分辨率和最小耗散的结果。然而，确保高质量的移动网格是一个巨大的挑战，需要开发创新和非常规的技术。这里提出的计划属于家庭的拉格朗日欧拉（ALE）方法，具有独特的额外的自由度，通过连通性的变化不断变化的网格元素的形状。我们的目的是在这里显示，通过简单和非常突出的例子，高阶ALE计划的能力，和我们的新技术，基于高阶时空处理拓扑结构的变化。
2022-09-03 cs.NA math.NA
FreeFem++, a tool to solve PDEs numerically
LAMFA CNRS UMR 7352；Université de Picardie Jules Verne（亚眠皮卡第朱尔斯·瓦朗谢纳大学）
本文介绍开源平台FreeFem++，它基于有限元方法数值求解偏微分方程，具备自动网格生成、后验网格自适应、通用椭圆求解器及高级语言支持，适用于教学和基础研究。
2012-05-07 cs.NA math.AP math.NA
Multiscale methods with compactly supported radial basis functions for Galerkin approximation of elliptic PDEs
School of Mathematics and Statistics, University of New South Wales（新南威尔士大学数学与统计学院）
研究使用紧支撑径向基函数的多尺度伽辽金方法求解有界域上的椭圆PDE，分析了收敛性和条件数，并处理了Dirichlet边界条件及边界重叠支持问题。
2012-11-07 cs.NA math.NA
Bi-level regularization via iterative mesh refinement for aeroacoustics
本研究揭示了有限元离散PDE的自适应网格细化与双层正则化算法的联系，通过基于数据噪声的网格细化实现正则化与收敛，并在航空声学Helmholtz方程中证明其优于经典Landweber算法。
2024-10-31 cs.NA math.NA math.OC
Moving Mesh simulation of contact sets in two dimensional models of elastic-electrostatic deflection problems
University of Notre Dame（圣母大学）；Memorial University of Newfoundland（纽芬兰纪念大学）；University of Kansas（堪萨斯大学）
本文研究了二维弹性-静电偏转模型中接触集的依赖性，开发了数值和分析方法，并通过移动网格方程动态调整网格点以提高计算精度，同时利用奇异性扰动分析建立几何理论预测可能的接触集。
2018-05-01 cs.NA math.AP math.NA
Explicit Monotone Stable Super-Time-Stepping Methods for Finite Time Singularities
本文提出用显式RKL和RKG超时间步进方法解析非线性抛物型偏微分方程有限时间奇点的标度行为，证明其数值单调性，并在保持精度同时显著缩短运行时间。
2025-09-23 cs.NA math.NA
A combined multiscale finite element method based on the LOD technique for the multiscale elliptic problems with singularities
本文利用局部正交分解（LOD）技术构造了一种组合多尺度有限元法（MsFEM），用于求解计算域中某些特殊区域可能存在奇异性的多尺度问题。例如，在模拟采出井驱动的高度非均质多孔介质中的稳定渗流时，奇点就位于井附近区域。该方法的基本思想是在问题区域的细网格上直接采用传统的有限元法，在问题区域的粗网格上采用基于LOD的MsFEM。其关键是如何在粗、细网格交界面附近为单元的基函数定义局部修正因子，这需要进行细致的处理。该方法综合了传统有限元法和基于LOD的MsFEM法的优点，与标准有限元法相比，该方法使用的自由度少得多，对奇异性问题的计算精度可能高于基于LOD的MsFEM法。误差分析是针对高度变化的系数进行的，而没有对尺度分离或周期性进行任何假设。通过对周期性和随机高振荡系数的数值算例，以及L型区域上的多尺度问题，高对比度通道和奇点的多尺度问题的数值计算，验证了该方法的有效性和准确性.
2022-02-26 cs.NA math.NA
Optimal complexity of adaptive FEM for second-order linear elliptic PDEs driven by non-residual estimators, Part I: Symmetric PDEs
TU Wien（维也纳工业大学）；University of Twente（特温特大学）
研究对称二阶线性椭圆型偏微分方程的自适应有限元方法，在特定假设下证明算法能无条件全R线性收敛，对足够小参数保证最优复杂度，重点分析如基于平均的非残差估计器。
2026-07-17 cs.NA math.NA
RBF approximation of three dimensional PDEs using Tensor Krylov subspace methods
在本文中，我们提出了不同的算法解决张量线性离散不适定的问题所产生的应用程序的无网格方法求解偏微分方程在三维空间中使用多二次径向基函数。截断奇异值分解（TSVD）是求解病态系统最常用的有效方法，但对于大规模矩阵，用TSVD求解线性系的运算量很大。在目前的工作中，我们提出了算法的基础上使用著名的爱因斯坦产品的两个张量定义张量全球Arnoldi和张量Gloub Kahan双对角化算法。使用所谓的Tikhonov正则化技术，我们将能够在几次迭代中提供可计算的近似正则化解。
2021-03-03 cs.NA math.NA
Quasi-optimal $hp$-finite element refinements towards singularities via deep neural network prediction
Jagiellonian University（雅盖隆大学）；AGH University of Science and Technology（AGH科技大学）；Pontificia Universidad Católica de Valparaíso（瓦尔帕莱索天主教大学）
我们展示了如何构建深度神经网络（DNN）专家来预测给定计算问题的准最优$hp$ -细化。其主要思想是在执行自适应$hp$ -有限元法（$hp$ -FEM）算法期间训练DNN专家，并在以后使用它来预测进一步的$hp$细化。对于训练，我们使用两个网格范例自适应$hp$ -FEM算法。它采用细网格为粗网格单元提供最佳的$hp$细化。我们的目标是构建DNN专家来识别粗网格元素的准最优$hp$细化。在训练阶段，我们使用直接求解器来获得细网格的解决方案，以指导粗网格单元的最佳细化。训练结束后，我们关闭自适应$hp$ -FEM算法，并继续进行DNN专家训练后提出的准最优优化。我们测试我们的方法对三维Fichera和二维L形域的问题。我们验证了收敛的数值精度相对于网格步长。我们表明，指数收敛提供的自适应$hp$ -FEM可以保留，如果我们继续细化与适当训练的DNN专家。因此，在本文中，我们表明，从自适应$hp$ -FEM，它是可能的训练DNN专家的奇异点的位置，并继续选择准最佳的$hp$细化，保持指数收敛的方法。
2022-09-13 cs.AI cs.NA math.NA
Energy-Equidistributed Moving Sampling Physics-informed Neural Networks for Solving Conservative Partial Differential Equations
本文提出能量等分布移动采样物理信息神经网络（EEMS-PINNs），通过能量密度驱动的自适应网格优化求解多维保守偏微分方程，在长时间模拟中保持解精度和能量守恒。
2025-08-27 cs.NA math.NA
On complex algebraic singularities of some genuinely nonlinear PDEs
本文研究一大类真正非线性 PDE 解的复代数奇性，分析无粘 Burgers 方程并提出相关猜想，借助映射 F 的不动点算法与数值试验支持解的唯一性。
2024-03-01 cs.NA math.AP math.CV
Adaptive feature capture method for solving partial differential equations with near singular solutions
Sichuan University（四川大学）；The Chinese University of Hong Kong, Shenzhen（香港中文大学（深圳））；Shenzhen International Center for Industrial and Applied Mathematics（深圳工业与应用数学中心）；Shenzhen Research Institute of Big Data（深圳大数据研究院）
针对具有近奇异解的偏微分方程求解难题，提出自适应特征捕获方法（AFCM），它受自适应移动网格技术启发，能在高梯度区域自适应调整，扩展了随机特征方法处理此类方程的能力，数值实验验证其在精度和效率上优于传统有限元方法。
2026-07-13 cs.NA math.NA
Energy preserving moving mesh methods applied to the BBM equation
Norwegian University of Science and Technology（挪威科技大学）
本文提出了一种基于分区 unity 方法的能量守恒数值方法，并将其扩展到移动网格方法中，用于精确保持BBM方程的哈密顿量近似。
2017-10-03 cs.NA math.NA
Friedrichs Learning: Weak Solutions of Partial Differential Equations via Deep Learning
Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学）；University of Florida（佛罗里达大学）；University of Maryland（马里兰大学）
本文提出了一种新的深度学习方法--Friedrichs学习，它可以通过极大极小化公式来学习偏微分方程的弱解，将偏微分方程问题转化为极大极小化最优化问题来识别弱解。“弗里德里希学习”这个名字是为了突出我们的学习策略和弗里德里希关于偏微分方程对称系统的理论之间的密切关系。弱公式中的弱解和测试函数以无网格方式参数化为深度神经网络，其交替更新以分别逼近弱解和最优检验函数的最优解网络。大量的数值结果表明，我们的无网格方法可以提供合理的好的解决方案，以广泛的范围内的定义在规则和不规则的区域在各种尺寸，经典的数值方法，如有限差分法和有限元法可能是繁琐或难以应用的偏微分方程。
2022-12-31 cs.LG cs.NA math.NA
Analysis of a high order Trace Finite Element Method for PDEs on level set surfaces
RWTH Aachen University（亚琛工业大学）；Georg-August-Universität Göttingen（哥廷根大学）
本文提出一种高阶有限元方法，用于在隐式描述为水平集函数零水平的平稳光滑表面上的偏微分方程离散化。方法基于迹有限元技术，利用体积网格的等参数映射提高离散精度，并分析了该方法的误差界和稳定性。
2017-04-13 cs.NA math.NA
A fully adaptive multilevel stochastic collocation strategy for solving elliptic PDEs with random data
我们提出并分析了一个完全自适应的策略，解决椭圆型偏微分方程的随机数据在这项工作中。一个层次序列的自适应网格细化的空间近似相结合的自适应各向异性稀疏的Scorpak网格在随机空间中的方式，以尽量减少计算成本。我们的策略的新颖之处在于，空间近似的层次结构是样本相关的，因此每个配置点的计算工作量可以单独优化。我们概述了一个严格的分析的自适应多级算法的收敛性和计算复杂性，我们提供了最佳的选择，在每个级别的误差容限。两个数值例子证明了差错控制的可靠性和显着降低的复杂性时，出现相比，单级算法和多级算法，采用自适应性只在空间离散化或配置过程。
2019-12-04 cs.NA math.NA
From Mesh to Neural Nets: A Multi-Method Evaluation of Physics-Informed Neural Networks and Galerkin Finite Element Method for Solving Nonlinear Convection-Reaction-Diffusion Equations
本研究通过求解四个一维非线性对流-反应-扩散问题，对比了物理信息神经网络（PINN）与Galerkin有限元法（GFEM）的性能，发现PINN在准确性和效率上总体更优且更稳健。
2024-10-29 cs.NA math.NA physics.comp-ph
DGM: A deep learning algorithm for solving partial differential equations
University of Illinois at Urbana Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；Boston University（波士顿大学）
本文提出了一种深度学习算法DGM，用于求解高维偏微分方程，通过神经网络近似解并训练其满足微分算子、初始条件和边界条件，能够在高维空间中有效解决自由边界问题。
2018-09-05 cs.NA math.NA q-fin.CP
A robust first order meshfree method for time-dependent nonlinear conservation laws
提出一种鲁棒的一阶无网格方法，通过构造点云上的一阶相容求和分部微分算子并结合数值通量公式，求解非线性守恒律，数值实验表明该方法在PDE求解中达到一阶收敛。
2024-11-05 cs.NA math.NA
An Embedding Technique for the Solution of Reaction-Diffusion Equations on Algebraic Surfaces with Isolated Singularities
University of Cambridge（剑桥大学）；University of Oxford（牛津大学）；Simon Fraser University（西蒙菲莎大学）
提出一种无参数化的嵌入技术，通过代数几何解奇异化构造高维光滑曲线族，并应用最近点方法数值求解反应扩散方程，实现奇点处PDE的近似求解。
2012-11-22 cs.NA math.AG math.DG
