Anomaly in Symplectic Integrator
Hiroto Kobayashi
得到了一维谐振子系统的一阶和二阶辛积分的有效Liouville算子。仅当时间步长小于2时才定义运算符。对于大的时间步长，坐标和动量的绝对值单调增加。
Effective Liouville operators of the first- and the second-order symplectic integrators are obtained for the one-dimensional harmonic-oscillator system. The operators are defined only when the time step is less than two. Absolute values of the coordinate and the momentum monotonically increase for large time steps.
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By introducing an integration factor to the differential one-form of contact dynamics, equations of motion are derived variationally, and contact Poisson bracket and contact Lagrangian are formulated. Discrete symplectic integrator, named hybrid leap-frog method, is found to be a numerical solver of equations of motion for contact dissipative systems.
We construct a symplectic, globally defined, minimal-coordinate, equivariant integrator on products of 2-spheres. Examples of corresponding Hamiltonian systems, called spin systems, include the reduced free rigid body, the motion of point vortices on a sphere, and the classical Heisenberg spin chain, a spatial discretisation of the Landau-Lifschitz equation. The existence of such an integrator is remarkable, as the sphere is neither a vector space, nor a cotangent bundle, has no global coordinate chart, and its symplectic form is not even exact. Moreover, the formulation of the integrator is v…
The physics of symplectic integrators: perihelion advances and symplectic corrector algorithms
辛积分器根据修正的哈密顿量来演化动力系统，修正的哈密顿量的误差项也是定义良好的哈密顿量。该算法的误差是每个误差哈密顿量对精确解的扰动之和。当辛积分应用于开普勒问题时，这些误差项会导致轨道进动。在这项工作中，通过开发一个通用的方法计算近日点推进通过拉普拉斯-龙格-伦茨矢量，即使是不可分的哈密顿，我表明，在辛积分的进动误差可以计算分析。发现在每一阶，每一对误差哈密顿量使轨道在每一个周期后以完全相同的量反向进动。因此，对于这些成对误差项具有相等系数的辛校正器或过程积分器，将在每个周期之后精确地消除其进动误差。因此，辛积分器的物理性质决定了积分长时间周期运动的最佳算法。
Exact evolution of time-reversible symplectic integrators and their phase error for the harmonic oscillator
任何因式分解的时间可逆辛积分的演化，当应用到谐振子，可以精确地解决在一个封闭的形式。由此产生的修改后的哈密顿证明了李级数展开的收敛性。它们也比不可逆算法的修改的Hamilton更少失真。修正角频率的解析形式可用于评估任何时间可逆算法的相位误差。
We propose a family of reliable symplectic integrators adapted to the Discrete Non-Linear Schrödinger equation; based on an idea of Yoshida (H. Yoshida, Construction of higher order symplectic integrators, Physics Letters A, 150, 5,6,7, (1990), pp. 262.) we can construct high order numerical schemes, that result to be explicit methods and thus very fast. The performances of the integrators are discussed, studied as functions of the integration time step and compared with some non symplectic methods.
A Fundamental Theorem on the Structure of Symplectic Integrators
我表明，辛积分的基本结构是由一个定理，国家{ \it精确}，如何辛积分与积极的系数不能纠正超过二阶。所有以前已知的结果现在都可以从这个定理定量地导出。该定理提供了明确的二阶误差系数的因式分解系数的界限。通过饱和这些界限，可以推导出四阶算法解析任意数量的运营商。
The Complete Characterization of Fourth-Order Symplectic Integrators with Extended-Linear Coefficients
当分解系数线性相关但具有一致的非线性比例因子时，直到四阶的辛积分器的结构可以完全和解析地理解。这些{ \it extended-linear}辛积分器的解析形式大大简化了它们的一般性质的证明，并且允许容易地构造具有任意数目的算子的前向和非前向四阶算法。大多数四阶前向积分器现在可以从这个扩展的线性公式中解析推导出来，而不需要使用符号代数。
How to regularize a symplectic-energy-momentum integrator
针对辛-能量-动量（SEM）积分中的幽灵轨迹不可逆问题，提出一种保持SEM性质的正则化方法，使其时间可逆，并给出算法实现与摆的仿真结果。
The kinetic term of the $N$-body Hamiltonian system defined on the surface of the sphere is non-separable. As a result, standard explicit symplectic integrators are inapplicable. We exploit an underlying hierarchy in the structure of the kinetic term to construct an explicit time-reversible symplectic scheme of second order. We use iterative applications of the method to construct a fourth order scheme and demonstrate its efficiency.
In this article we introduce a low order implicit symplectic integrator designed to follow the Hamiltonian flow as close as possible. This integrator is obtained by the method of Liouvillian forms and does not require particular hypotheses on the Hamiltonian. The numerical scheme introduced in this paper is a modification of the symplectic mid-point rule, it is symmetric and it is obtained by an isotopy of the deformation of the exact Hamiltonian flow to the straight line passing by two consecutive points of the discretized flow. This isotopy generates an alternative vector field on the flow l…
Forward Symplectic Integrators and the Long Time Phase Error in Periodic Motions
我们表明，当时间可逆辛算法用于解决周期运动，一个周期后的能量误差一般是两个订单高于算法。通过使用可校正的算法，我们表明，相位误差也可以消除两个订单比积分器。使用四阶前向时间步长积分器可以导致相位误差的六阶精度和周期能量的八阶精度。我们详细研究了一维谐振子和二维Kepler问题，并比较了最近几种四阶算法的有效性。
Symplectic Groupoids for Poisson Integrators
本文利用局部辛李群胚和类 Hamilton-Jacobi 方程的递归解构造一般 Poisson 结构的 Poisson 积分器，并强调 Magnus 公式在积分器后向分析中的作用。
Symplectic integrators for spin systems
本文提出了一种基于标准中点法则的辛积分器，用于经典自旋系统，每个自旋都是三维空间中的单位向量。与分裂方法不同，该积分器适用于所有哈密顿量，并且是O(3)等价的。它是一个非 canonical 相空间辛映射的生成函数罕见例子，能够产生自由刚体简化运动的可积离散化。
Higher Order Variational Integrators: a polynomial approach
本文提出一种新的变分积分器，即辛Galerkin方案，用于高阶准确地模拟机械系统，同时保持其结构特性，并应用于最优控制问题。
Numerical solutions of Hamiltonian PDEs: a multi-symplectic integrator in light-cone coordinates
本文提出一种多辛积分器，用于求解哈密顿场论的偏微分方程，该方法在长周期内精确守恒应力能张量，且实现简单，适用于一维非线性波方程及高维情况。
Collective Lie-Poisson integrators on $\mathbf{R}^{3}$
本文提出了一种用于R³上一般哈密顿系统的李-泊松积分器，利用辛实现和辛龙格-库塔方案，并得到球面S²上的简单辛积分器。
Butcher series for Hamiltonian Poisson integrators through symplectic groupoids
本研究在辛群胚框架下提出新预李代数与Butcher树预李形式体系，用于逼近Hamilton-Jacobi解，兼具几何层面理解哈密顿微分同胚群与计算层面定义新型泊松积分器的双重价值。
New insights on numerical error in symplectic integration
本文提出一种新辛积分器家族，通过调整参数控制额外项，减少能量积分误差，并探讨其几何解释。
Shadow Hamiltonians of structure-preserving integrators for Nambu mechanics
本文研究Nambu力学保结构积分器的影子Hamiltonian存在性问题，提出一般计算步骤并给出存在性实例，揭示基本恒等式在计算中的关键作用及影子Hamiltonian的不定形式。
Explicit symplectic integrators with adaptive time steps in curved spacetimes
针对弯曲时空时间变换显式辛积分器难以实现自适应时间步长的问题，团队基于Preto & Saha的步长控制技术开发出自适应版本，其计算成本低、实现简单，能提升模拟效率，可用于研究黑洞混沌动力学等场景。
Variational integrators and time-dependent lagrangian systems
针对含时拉格朗日系统，提出一种构造变分积分器的方法，所得算法具有辛性、保持对称李群对应的动量映射并描述能量变化。
An explicit integrator uniform in the true anomaly and exactly preserving all integrals of motion in the three-dimensional Kepler problem
本文提出一种显式积分器，能够在三维开普勒问题中精确保持所有运动积分，从而保持轨道轨迹的精确形状和方向，避免伪预cession，具有高精度和长期稳定性。
Multisymplectic structure of nonintegrable Henon-Heiles system
本文为不可积 Henon-Heiles 系统、Kepler 问题及 Toda 型系统构造第二不变辛形式，并提出可同时保持两种辛形式的多辛积分器。
Stochastic Discrete Hamiltonian Variational Integrators
本文提出了一种随机哈密顿系统的结构保持数值方法，通过构造随机离散哈密顿量来近似II型随机生成函数，统一了多种已有积分器并提出新的结构保持数值方案，所得积分器具有辛性、保持李群对称的守恒量，并包含随机辛龙格-库塔方法作为特例。
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