求解KdV-equation的方法

What kinds of KdV-type equations are allowed by an uneven bottom

In this study, we give a survey of derivations of KdV-type equations with an uneven bottom for several cases when small (perturbation) parameters $α, β, δ$ are of different orders. Six different cases of such ordering are discussed. Surprisingly, for all these cases the Boussinesq equations can be made compatible only for the particular piecewise linear bottom profiles, and the correction function has a universal form. For such bottom relief, several new KdV-type wave equations are derived. These equations generalize the KdV, the extended KdV (KdV2), the fifth-order KdV (KdV5) and the Gardner …

On nonlinear superposition of shock waves for the KdV-Burgers equation

Superposition of explicit (analytic) monotone non-increasing shock waves for the KdV-Burgers equation is studied, modelled numerically and graphically presented. Initial profile chosen as a sum of two such shock waves gradually transforms into a single shock wave of a somewhat complex yet predictable structure. This transformation is demonstrated in detail.

微扰KdV方程中的非弹性孤子和反孤子

Inelastically generated solitons and anti-solitons in the perturbed KdV equation

在共同扰动的作用下，KdV方程的多孤子解被转化为一个弹性分量和一个一阶非弹性分量之和。的弹性组件是一个扰动系列，在结构上相同的扰动单孤子解决方案。它保留了孤子散射的图像。非弹性分量由表示KdV孤子与非弹性产生的孤子-反孤子波之间耦合的扰动项产生。它逐渐演化为孤子和反孤子，它们沿着KdV孤子的特征线演化。这在两个孤子的情况下证明。

描述等离子体中电声波传播的时间分数阶KdV方程

Time-Fractional KdV Equation Describing the Propagation of Electron-Acoustic Waves in plasma

本文用约化微扰法导出了小振幅有限振幅电声波的Korteweg-de Vries（KdV）方程。时间分数阶KdV方程的拉格朗日量以与正则KdV方程的拉格朗日量类似的形式使用。这个拉格朗日函数的变化导致欧拉-拉格朗日方程，导致时间分数KdV方程。利用分数阶导数的Riemann-Liouvulle定义描述分数阶KdV方程中的时间分数阶算子。用He给出的变分迭代法求解了时间分数阶KdV方程。对初始条件为A0*sech（cx）^2的解进行了计算。本研究的结果可能适用于某些等离子体环境，如地球的磁尾区。

用时间分数阶KdV方程研究非磁化无碰撞弱相对论等离子体中的离子声波

Ion-Acoustic Waves in Unmagnitized Collisionless Weakly Relativistic Plasma using Time-Fractional KdV Equation

本文用约化微扰法导出了无磁碰撞弱相对论热等离子体中小振幅静电离子声波的Korteweg-de Vries（KdV）方程。时间分数阶KdV方程的拉格朗日量以与正则KdV方程的拉格朗日量类似的形式使用。这个拉格朗日函数的变化导致欧拉-拉格朗日方程，导致时间分数KdV方程。利用分数阶导数的Riemann-Liouvulle定义描述分数阶KdV方程中的时间分数阶算子。用He给出的变分迭代法求解了时间分数阶KdV方程。对初始条件为A0*sech（cx）^2的解进行了计算。本文的研究结果可应用于电离层等离子体环境。

dark KdV方程的扩展：非齐次分类、费米子系统的玻色化与超对称dark系统

Extensions of dark KdV equations: nonhomogeneous classifications, bosonizations of fermionic systems and supersymmetric dark systems

本文以KdV方程为例，将dark方程扩展至非齐次、非线性耦合和分级线性情形，完成了非齐次线性耦合系统的分类，并通过玻色化方法和高维系统分解生成多种dark系统，最终扩展至超对称dark KdV系统并给出完全分类。

Generalized KdV-type equations versus Boussinesq's equations for uneven bottom -- numerical study

The paper's main goal is to compare the motion of solitary surface waves resulting from two similar but slightly different approaches. In the first approach, the numerical evolution of soliton surface waves moving over the uneven bottom is obtained using single wave equations. In the second approach, the numerical evolution of the same initial conditions is obtained by the solution of a coupled set of the Boussinesq equations for the same Euler equations system. We discuss four physically relevant cases of relationships between small parameters $α,β,δ$. For the flat bottom, these cases imply t…

具有孤子解和扭波解的负阶KdV方程

Negative order KdV equation with both solitons and kink wave solutions

在这篇文章中，我们报告了一个有趣的可积方程，它既有孤子又有扭结解。我们研究的可积方程是$(\frac{-u_{xx}}{u})_{t}=2uu_{x}$，它实际上来自于负KdV族，通过规范变换可以转化为Camassa-Holm方程。导出了该方程的拉克斯对以保证其可积性，并进一步证明了该方程存在经典孤子、周期孤子和扭结解。

Inverted solutions of KdV-type and Gardner equations

In most of the studies concerning nonlinear wave equations of Korteweg-de Vries type, the authors focus on waves of elevation. Such waves have general form ~$u_{\text{u}}(x,t)=A f(x-vt)$, where ~$A>0$. In this communication we show that if ~$u_{\text{up}}(x,t)=A f(x-vt)$ is the solution of a given nonlinear equation, then $u_{\text{down}}(x,t)=-A f(x-vt)$, that is, an inverted wave is the solution of the same equation, but with changed sign of the parameter ~$α$. This property is common for KdV, extended KdV, fifth-order KdV, Gardner equations, and generalizations for cases with an uneven bott…

关于一族非线性色散广义KdV方程

On a hierarchy of nonlinearly dispersive generalized KdV equations

我们提出了一个层次的非线性色散广义Korteweg-德弗里斯（KdV）发展方程的基础上修改的拉格朗日密度的诱导作用功能的KdV方程极值。结果表明，最近的两个非线性演化方程描述波在某些广义连续介质中的传播与固有的材料长度尺度的建议的层次的成员。与KdV一样，所提出的方程族也具有Hamilton结构。然而，与KdV不同，这些方程的解可以是紧凑的（即，它们在某个开放间隔之外消失），此外，达到峰值。隐式的解决方案，这些峰值，紧凑的行波（“peakompactons”）。

极光区等离子体时间分数阶KdV方程的变分方法

Time-Fractional KdV Equation for the plasma in auroral zone using Variational Methods

本文用约化微扰法导出了小振幅静电波的Korteweg-de Vries（KdV）方程。时间分数阶KdV方程的拉格朗日量以与正则KdV方程的拉格朗日量类似的形式使用。这个拉格朗日函数的变化导致欧拉-拉格朗日方程，导致时间分数KdV方程。利用分数阶导数的Riemann-Liouvulle定义描述分数阶KdV方程中的时间分数阶算子。用He给出的变分迭代法求解了时间分数阶KdV方程。对初始条件为A0*sech（cx）^2的解进行了计算。数值研究已经取得了使用等离子体参数接近这些值对应的昼侧极光区。讨论了时间分数参数对静电孤立子结构的影响。

关于log-KdV方程中高斯孤立波的轨道稳定性

On the orbital stability of Gaussian solitary waves in the log-KdV equation

我们考虑对数Korteweg-de Vries（log-KdV）方程，该方程模拟了具有赫兹相互作用力的非谐链中的孤波。利用正则化广义KdV方程在$H^1(\mathbb{R})$中具有守恒$L^2$范数和能量的整体解的逼近序列，构造了log-KdV方程在$H^1(\mathbb{R})$子集中的弱整体解.这种构造产生条件轨道稳定性的高斯孤波的log-KdV方程，提供的唯一性和连续的依赖性构造的解决方案持有。进一步，我们研究了高斯孤立波下的线性化log-KdV方程，证明了线性化算子除了双零本征值外，还有一个由纯虚本征值组成的纯离散谱.然而，本征函数不像高斯函数那样衰减，而是具有代数衰减。然而，使用数值逼近，我们表明，高斯初始数据不扩散，并保持其空间高斯衰减的线性化log-KdV方程的时间演化。

时间分数阶KdV方程的变分形式与求解

Time-Fractional KdV Equation: Formulation and Solution using Variational Methods

在这项工作中，半逆方法已被用来推导的拉格朗日的Korteweg-de Vries（KdV）方程。然后，将KdV方程的拉格朗日量的时间算子转化为分数阶左Riemann-Liouville分数阶微分算子。该拉格朗日量的泛函的变分巧妙地导致欧拉-拉格朗日方程。通过Agrawal的方法，可以很容易地从Euler-Lagrange方程导出时间分数阶KdV方程。值得注意的是，在所得到的KdV方程中的时间分数项在Riesz分数阶导数中以直接的方式获得。作为第二步，导出的时间分数KdV方程求解使用他的变分迭代法。计算采用的初始条件取决于KdV方程的非线性系数和色散系数。我们注意到，更显着的效果和更深入的了解所产生的孤波的形成和性质，另外考虑分数阶导数旁边的非线性和色散项。

On the linearized log-KdV equation

The logarithmic KdV (log-KdV) equation admits global solutions in an energy space and exhibits Gaussian solitary waves. Orbital stability of Gaussian solitary waves is known to be an open problem. We address properties of solutions to the linearized log-KdV equation at the Gaussian solitary waves. By using the decomposition of solutions in the energy space in terms of Hermite functions, we show that the time evolution is related to a Jacobi difference operator with a limit circle at infinity. This exact reduction allows us to characterize both spectral and linear orbital stability of solitary …