Geometric Pricing: How Low Dimensionality Helps in Approximability
考虑下面的玩具问题。平面上有$m$矩形和$n$点。每个矩形$R$都是一个有预算的消费者$B_R$，如果她有足够的预算，她有兴趣购买R中最便宜的物品（点）。我们的工作是定价的项目，以最大限度地提高收入。这个问题也可以在更高的维度上定义。我们称这个问题为几何定价问题。在本文中，我们研究一类新的问题所产生的几何方面的定价问题。它直观地捕捉了在市场营销研究、医疗经济学等领域被广泛研究的典型现实假设，还有助于对其他著名的定价问题进行分类，如高速公路定价问题和平面图和二分图上的图顶点定价问题。此外，这个问题原来有密切的联系，以其他自然的几何问题，如几何版本的唯一覆盖和最大可行子系统问题。我们发现，在这个定价问题中产生的低维确实导致改进的近似比，提出次线性近似算法的两个中心版本的问题：单位需求均匀预算最小购买和一心一意的定价问题。我们的算法是通过结合算法定价和几何技术。这些结果表明，考虑几何方面可能是获得此类定价问题改进的近似算法的一个有前途的研究方向。据我们所知，这是几何学和算法定价领域交叉的少数问题之一。因此，它的研究可能会导致新的算法技术，可以使这两个领域受益。
2012-07-24 cs.CG cs.DS cs.GT
On the tractability and approximability of non-submodular cardinality-based $s$-$t$ cut problems in hypergraphs
本文研究超图中非子模基于基数的 $s$-$t$ 割问题，利用与赋值约束满足问题的联系证明了几乎所有非子模惩罚均使问题 NP 难，并设计了最优的子模投影近似策略。
2024-09-24 cs.CC cs.DM cs.DS
Improved Approximation for Node-Disjoint Paths in Planar Graphs
我们研究了经典的节点不相交路径（NDP）问题：给定一个$n$ -顶点图$G$和一个由称为需求对的$G$的顶点对组成的集合$M=\{(s_1,t_1),\ldots,(s_k,t_k)\}$，找到连接需求对的节点不相交路径的最大基数集. NDP是最基本的路由问题之一，已经得到了广泛的研究。尽管如此，在我们对它的近似性的理解上仍然存在很大的差距：$O(\sqrt n)$的近似比的最佳上限是通过一个简单的贪心算法实现的，而目前最好的否定结果表明，在标准复杂性假设下，对于任何常数$δ$，该问题都没有比$Ω(\log^{1/2-δ}n)$更好的近似。即使对于平面图，也没有更好的近似算法，据我们所知，最好的负界是APX-硬度。也许最大的障碍，以获得更好的近似算法的NDP是，目前已知的近似算法，这类问题依赖于标准的多商品流松弛，其完整性差距是$Ω(\sqrt n)$的NDP，即使在平面图。本文突破了$O(\sqrt n)$对平面图中NDP问题的可逼近性的限制，得到了一个$\tilde O(n^{9/19})$ -逼近。我们引入了一个新的线性规划松弛的问题，和一些新的技术，我们希望这将有助于设计更强大的算法和相关问题。
2016-03-17 cs.DS
(In-)Approximability Results for Interval, Resource Restricted, and Low Rank Scheduling
我们考虑的限制分配问题的一组工作必须分配给一组机器的变种，对于每个工作的大小和一组合格的机器是给定的，和工作可能只分配给合格的机器的目标是最大完工时间最小化。对于具有间隔限制的变体，其中机器可以被安排在一条路径上，使得每个作业都有资格在一个子路径上，我们提出了第一个优于$2$ -近似和改进的不可近似性结果。特别地，我们给出了一个$(2-\frac{1}{24})$ -近似，并表明，没有比$9/8$ -近似是可能的，除非P=NP。此外，我们考虑限制分配与$R$资源限制和排名$D$无关的调度。在前一个问题中，如果机器能够满足其关于$R$（可再生）资源的资源需求，则它可以处理作业。在后者中，作业的大小取决于它被分配到的机器，并且相应的处理时间矩阵的秩至多为$D$。具有间隔限制的问题包括1资源变量，由2资源变量包含，并且关于近似，$R$资源变量本质上是秩$R+1$问题的特殊情况。我们表明，没有更好的$3/2$，$8/7$，和$3/2$ -近似是可能的（除非P=NP）的3资源，2资源，和秩3的变体，分别。区间情况下的近似结果和秩3变量的不可近似结果都是对先前工作中所述的开放挑战的解决方案。最后，我们还考虑了反向目标，即最大化任何机器接收的最小负载，并获得类似的结果。
2022-03-11 cs.DS
Independent Set, Induced Matching, and Pricing: Connections and Tight (Subexponential Time) Approximation Hardnesses
我们提出了一系列几乎解决的不可逼近性结果的三个基本问题。在我们的系列中的第一个是最大独立集问题的次指数时间不可近似性，这是在参数化复杂性领域研究的一个问题。第二个问题是有界度二部图的最大诱导匹配问题的逼近困难。在我们的系列中的最后一个是严格的硬度近似的k-超图定价问题，一个基本的问题，从算法博弈论的领域。特别地，假设指数时间假设，我们的两个主要结果是：-对于任何大于某个常数的r，任何求解最大独立集问题的r-近似算法必须至少运行2^{n^{1-ε}/r^{1+ε}}时间。这几乎与2^{n/r}的上限相匹配（Cygan等人，2008年）。它还改进了参数化复杂性域中的一些困难结果（例如，Escoffier等人，2012和Chitnis等人，2013）-对于任何大于某个常数的k，k-超图定价问题不存在多项式时间min（k^{1-ε}，n^{1/2-ε}）-近似算法，其中n是输入图中的顶点数。这几乎匹配min（O（k），\tilde O（\sqrt{n}））的上界（Balcan and Blum，2007 and an algorithm in this paper）。我们注意到一个有趣的事实，与多项式时间算法的n^{1/2-ε}困难性相反，k-超图定价问题允许在准多项式时间中对任何δ>0进行n^δ逼近。这使得这个问题在一个罕见的近似类，其中近似阈值可以显着提高，允许算法运行在准多项式时间。
2013-08-18 cs.CC cs.DS
Improved LP-based Approximation Algorithms for Facility Location with Hard Capacities
容量限制设施选址（CFL），一个长期存在的经典问题，有趣的逼近和文献可以追溯到90年代，被认为是。根据[Williamson和Shmoys，2011]中提出的开放性问题和[An等人，FOCS~2014]，我们提出了一种基于LP的近似算法，保证$(10+\sqrt{67})/2 \approx 9.0927$，这是对An等人在2014年提出的基于LP的$288$比率的显著改进。我们对这一部分的贡献是一个简单而优雅的舍入算法，为最惠国松弛和CFL问题带来了清晰的见解。对于具有基数设施成本的CFL（CFL-CFC），我们提出了一种基于LP的$4$ -近似算法，该算法改进了Levi等人自2004年以来提出的数十年的比率5。在我们的工作之前，还不清楚基于LP的方法是否可以用于为CFL问题提供优于5的保证，即使是对于这个问题的受限版本，其中已经知道自然LP具有小的完整性间隙。我们的舍入算法提供了第一个肯定的答案的情况下，与cadinality设施成本。
2022-03-26 cs.DS
An improved approximation guarantee for Prize-Collecting TSP
本文针对奖品收集旅行商问题提出新近似算法，通过精细分解LP松弛解，将近似因子从1.915改进至1.774，显著缩小了与经典TSP的可近似性差距。
2023-04-12 cs.DM cs.DS
Improved Approximation for Longest Common Subsequence over Small Alphabets
研究了最长公共子序列（LCS）问题的可逼近性。求解LCS问题的最快算法在输入长度上的基本二次时间内运行，并且已知在强指数时间假设下，二次运行时间无法被击败。然而，除了在一些有限的情况下，LCS的近似计算没有这样的限制。近似算法也很缺乏。当两个给定的字符串在大小为$k$的字母表上时，返回由两个字符串中出现最频繁的符号形成的子序列实现LCS的$1/k$近似。这是一个开放的问题，是否可以在真正的次二次时间（$O(n^{2-δ})$时间常数$δ>0$）实现更好的$1/k$近似。最近的一个结果[Rubinstein and Song SODA'2020]表明，只要输入字符串具有相同的长度，在真正的次二次时间中，在二进制字母表上对LCS的$1/2+ε$近似是可能的。在本文中，我们表明，如果一个$1/2+ε$近似（$ε>0$）是可实现的二进制LCS在真正的次二次时间时，输入字符串可以是不平等的，然后为每个常数$k$，有一个真正的次二次时间算法，实现了$1/k+δ$近似$k$ -ary字母表LCS的一些$δ>0$。二进制是最难的。我们还表明，对于每个常数$k$，如果给定$k$进制字母表上的两个长度为\emph{equal}的字符串，则可以在真正的次二次时间内获得某个常数$ε>0$的$1/k+ε$逼近，从而将Rubinstein和Song的结果扩展到所有常数大小的字母表。
2021-05-07 cs.CC cs.DS
Approximating Subdense Instances of Covering Problems
我们研究了图上各种覆盖问题的次稠密实例的可逼近性，这些次稠密实例被定义为最小或平均度为Omega（n/psi（n））的实例，对于某个函数psi（n）=omega（1）的实例大小。我们设计了新的近似算法以及新的多项式时间近似方案（PTASs）的这些问题，并建立了第一近似硬度的结果。有趣的是，在某些情况下，我们能够证明基本近似比的最优性，在通常的复杂性理论假设下。我们的顶点覆盖问题的结果依赖于一个改进的递归采样方法，可以独立的利益。
2010-11-09 cs.DM cs.DS
Approximation algorithms for stochastic and risk-averse optimization
提出了随机优化问题的改进近似算法。我们证明了多阶段的随机版本的覆盖整数规划（如集覆盖和顶点覆盖）承认基本上相同的近似算法作为他们的标准（非随机）同行，这改善了Swamy \& Shmoys的工作，显示了一个近似性，乘法依赖于阶段的数量。我们还提出了近似算法的设施位置和它的一些变种的$2$阶段的追索权模型，改善以前的近似保证。给出了标准多项式情景模型下的$2.2975$ -近似算法和一个具有期望的每情景$2.4957$ -近似保证的算法，该算法适用于更一般的黑盒分布模型.
2017-12-18 cs.DS
Improved approximation algorithm for Fault-Tolerant Facility Placement
我们考虑的容错设施布局问题（$FTFP$），这是一个推广的经典无容量限制的设施选址问题（$UFL$）。在$FTFP$问题中，我们有一组客户端$C$和一组设施$F$。每个设施$i \in F$都可以多次打开。对于每个设施$i$的开放，我们支付$f_i \geq 0$。我们的目标是将每个客户端$j \in C$与$r_j \geq 1$开放设施连接起来，以最大限度地降低开放设施和已建立连接的总成本。在最近的一系列论文中，$FTFP$基本上被简化为$FTFL$，然后又被简化为$UFL$，表明它可以近似为比率$1.575$。在本文中，我们表明，$FTFP$实际上可以更好地近似。我们认为近似比作为$r = min_{j \in C} r_j$（客户端的最低要求）的函数。随着$r$的增加，我们的算法$λ_r$的逼近比收敛到1。此外，对于$r > 1$，$λ_r$的值小于1.463（$UFL$的近似硬度）。我们还显示了一个下限为1.278的容错设施定位问题（$FTFL$）的任意$r$的近似性。已经为$r > 3$，我们得到的$FTFP$可以近似比1.275，表明在标准的复杂性理论假设下，$FTFP$是严格更好的近似比$FTFL$。
2014-02-11 cs.DS
Improved Pseudo-Polynomial-Time Approximation for Strip Packing
我们研究了带包装问题，一个经典的包装问题，推广了装箱和最大完工时间最小化。在这里，我们给出了一组轴平行的矩形在二维平面和目标是包装他们在一个固定宽度的垂直带，使所获得的包装的高度最小化。包装必须不重叠，矩形不能旋转。从划分问题的简化表明，在多项式时间内，对于条带填充，没有比3/2更好的近似是可能的（假设P $\neq$ NP）。Nadiradze和Wiese [SODA 16]通过提出伪多项式时间（PPT）中的$(\frac{7}{5}+ε)$ -近似算法克服了这一障碍。由于该问题是强NP-难的，不允许有精确的PPT算法。本文进一步研究了条形排样的PPT逼近问题，提出了一种$(\frac43+ε)$ -近似算法。我们的结果基于Nadiradze和Wiese的构造所留下的\emph{empty space}中的一些矩形的非平凡重新包装，并且在某种意义上将他们的方法推向了极限。我们的PPT算法可以适应的情况下，我们被允许旋转矩形$90^\circ$，实现相同的近似因子和打破多项式时间的近似障碍3/2的情况下，旋转。
2018-01-23 cs.CG cs.DS
Optimal LP Rounding and Linear-Time Approximation Algorithms for Clustering Edge-Colored Hypergraphs
本文研究边着色超图聚类的可近似性，基于线性规划提出紧的近似保证，并给出线性时间组合2-近似算法及与顶点覆盖等目标的联系。
2023-05-13 cs.DM cs.DS cs.SI
Submodular Hypergraph Partitioning: Metric Relaxations and Fast Algorithms via an Improved Cut-Matching Game
本文提出统一有向与无向超图划分的通用模型，引入多态拟阵割函数，通过负型度量松弛实现$O(\sqrt{\log n})$近似，并推广割匹配游戏得到近线性时间$O(\log n)$近似算法。
2023-07-26 cs.DM cs.DS
Improved Approximation Algorithms for Multiway Cut by Large Mixtures of New and Old Rounding Schemes
University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校）；University of Michigan（密歇根大学）；University of Chicago（芝加哥大学）；Blavatnik School of Computer Science, Tel Aviv University（特拉维夫大学布拉特尼克计算机科学学院）
本文提出了一种改进的多方式割问题近似算法，通过混合新旧舍入方案，将近似比从1.2965降低到1.2787，并在k≥4时取得了25年来最佳结果。
2026-03-30 cs.DS
Submodular approximation: sampling-based algorithms and lower bounds
我们介绍了几个推广的经典计算机科学的问题，通过取代较简单的目标函数与一般的次模函数。新的问题包括子模块负载均衡，它推广了负载均衡或最小完工时间调度，子模块稀疏割和子模块平衡割，它们推广了各自的图割问题，以及子模块函数最小化的基数下界。我们建立了一个多项式数量的查询函数值的预言这些问题的近似性的上限和下限。我们的算法的近似保证是sqrt（n/ln n）的顺序。我们表明，这是固有的困难的问题，通过证明匹配下界。对于单调次模函数的近似学习问题，我们给出了一个改进的下界。此外，我们还提出了一个近似学习具有特殊结构的次模函数的算法，其保证接近下界。虽然相当严格，这种结构的函数类包括我们和以前的工作中用于下界的函数。这表明，如果这个问题有明显更强的下界，它们依赖于更一般的子模函数。
2010-05-31 cs.DS
Spectral Dual Fitting for $k$-Means
University of Michigan（密歇根大学）；Stanford University（斯坦福大学）；Google Research（谷歌研究院）；IDSIA, USI-SUPSI（瑞士应用信息学研究所、瑞士意大利大学）；Université Paris-Cité（巴黎西岱大学）
提出用于k均值的谱对偶拟合算法，在欧几里得和一般度量下分别给出更好近似比，打破硬度障碍，且与此前方法不同，紧密考虑对偶支付并引入谱分析框架确定近似因子。
2026-07-17 cs.DS
Tight Approximation Algorithms for Bichromatic Graph Diameter and Related Problems
一些最基本和研究最充分的图形参数是直径（最大的最短路径距离）和半径（“中心”节点可以到达所有其他节点的最小距离）。自然和重要的$ST$ -变体考虑顶点集的两个子集$S$和$T$，并且让$ST$ -直径是$S$中的节点和$T$中的节点之间的最大距离，并且$ST$ -半径是$S$的节点到达$T$的所有节点的最小距离。双色变体是其中$S$和$T$划分顶点集的特殊情况。在本文中，我们提出了一个全面的研究的逼近$ST$和双色直径，半径和偏心率，和变种，在图的方向和重量和没有。我们给出了这些问题的第一个非平凡的近似算法，包括时间/精度权衡的上限和下限。我们发现，几乎所有我们得到的界限是紧的强指数时间假设（SETH），或相关的命中集假设。以$m$边的无向赋权图的双色直径为例，提出了一种$\tilde{O}(m^{3/2})$时间$5/3$ -近似算法，并证明了在SETH下，在保持近似因子和运行时间不变的情况下，无论是运行时间还是近似因子都不能得到显著的提高.
2019-04-25 cs.DS
Approximation algorithms for maximally balanced connected graph partition
给定一个简单连通图$G = (V, E)$，我们试图将图的顶点集$V$划分为$k$非空部分，使得每个部分所诱导的子图是连通的，并且以这些$k$部分的最大基数最小化的方式使划分最大化.我们把这个问题称为{ \em最小-最大平衡连通图划分}为$k$部分，并表示为{ \sc $k$ -BGP}。树上的这个问题的一般的顶点加权形式已经研究了大约四十年，它允许线性时间精确算法，顶点加权的{ \sc $2$ -BGP}和{ \sc $3$ -BGP}分别允许$5/4$ -近似和$3/2$ -近似;但当$k \ge 4$时，除了平凡的$k$ -近似之外，对于{PDMATHABMQPDMATHABMO-BGP}不存在可近似性结果。本文给出了基数{PDMATHABMQPDMATHABMS-BGP}的另一个$3/2$ -逼近，并将其推广为{$k$}的$k/2$ -逼近，对任意常数$k \ge 3$ .此外，对于{PDMATHABMQPDMATHABMY-BGP}，我们提出了一种改进的$24/13$ -近似.为了这些目的，我们设计了几个局部改进操作，这可能是有用的相关图划分问题。
2019-10-06 cs.DM cs.DS
An Improved Modular Addition Checksum Algorithm
本文提出一种改进的模加法校验和算法，通过在模约简前引入按模数位数的左移，以单一运行和实现优于Fletcher等双和方法的故障检测能力，并在加入奇偶校验位后接近良好CRC的性能。
2024-03-29 cs.DS cs.NI
Improved Quantum Multicollision-Finding Algorithm
本文改进了Hosoyamada等人在Asiacrypt 2017上提出的先前量子多碰撞发现算法的查询次数。假设$l$冲突是导致目标函数的相同输出的$l$不同输入的元组。在密码学中，重要的是研究需要多少查询才能找到$l$ -对于域大于范围的随机函数的冲突。该算法通过递归调用$(l-1)$-冲突查找算法，为随机函数查找$l$-冲突，实现了平均量子查询复杂度为$O(N^{(3^{l-1}-1) / (2 \cdot 3^{l-1})})$，其中$N$是目标函数的范围大小.新算法消除了原有递归算法的冗余，使得不同的递归调用可以分担一部分计算。新算法发现了一个$l$ -碰撞的随机函数的平均量子查询复杂度为$O(N^{(2^{l-1}-1) / (2^{l}-1)})$，这提高了以前的界限为所有$l\ge 3$（新的和以前的算法实现的最佳界限为$l=2$）。更一般地，新算法实现了对于随机函数$f\colon X\to Y$的平均量子查询复杂度为$O\left(c^{3/2}_N N^{\frac{2^{l-1}-1}{ 2^{l}-1}}\right)$，使得对于任何$1\le c_N \in o(N^{\frac{1}{2^l - 1}})$的$|X| \geq l \cdot |Y| / c_N$。在相同的查询复杂度下，它还发现了随机函数的多重律，这比多重冲突更难找到。
2019-01-28 cs.CC cs.CR cs.DS
Facility Location on High-dimensional Euclidean Spaces
本文针对高维欧几里得空间上的无容量设施选址（UFL）问题，提出了改进的双因子和单因子近似算法，首次证明了欧几里得度量与一般度量在近似性上的分离。
2025-01-30 cs.DS
A Subpolynomial Approximation Algorithm for Graph Crossing Number in Low-Degree Graphs
我们考虑经典的最小交叉数问题：给定一个$n$ -顶点图$G$，计算平面中$G$的绘图，同时最小化其边缘图像之间的交叉数。这是一个基本的和广泛研究的问题，其近似状态是广泛开放的。在所有目前已知的近似算法中，近似因子多项式地依赖于$Δ$ --$G$中的最大顶点次数。最佳电流近似算法实现了一个$O(n^{1/2-\varepsilon}\cdot \text{poly}(Δ\cdot\log n))$ -近似，对于一个小的固定常数$ε$，而最好的负结果是APX-硬度，在我们对这个基本问题的理解中留下了很大的差距。本文设计了一种求解最小交叉数的随机化$O\left(2^{O((\log n)^{7/8}\log\log n)}\cdot\text{poly}(Δ)\right )$ -近似算法。这是第一个近似算法的问题，实现了一个子多项式在$n$近似因子（虽然只有在图的最大顶点次数是子多项式在$n$）。为了实现这个近似因子，我们设计了一个新的算法，一个密切相关的问题，称为交叉数与旋转系统，其中，对于每个顶点$v\in V(G)$，循环排序，其中事件到$v$的边缘的图像必须进入图像中的$v$在绘图中是固定的输入的一部分。将这个结果与[Chuzhoy，Mahabadi，Tan '20]的最新约化结合起来，立即产生了最小交叉数的改进近似算法。我们介绍了几个新的技术工具，我们希望将有助于在未来获得…
2022-02-14 cs.DS
