Scaling Properties, Fractals, and the Renormalisation Group Approach to Percolation
D. Stauffer
复杂性与系统科学百科全书（Springer Verlag）不是抽象的。I.定义和介绍2。方法III.指数和指数IV。分形维数;初始无限簇V.简单重整化组VI.未来方向
For Encyclopedia of Complexity and Systems Science (Springer Verlag). No abstract. I. Definition and Introduction II. Methods III. Quantities and Exponents IV. Fractal Dimension; Incipient Infinite Cluster V. Simple Renormalisation Group VI. Future Directions
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Percolation fractal exponents without fractal geometry
经典上，逾渗临界指数与表征逾渗簇分形性质的幂律有关。在这里，它被发现，梯度渗流幂律是保守的，即使是极端的梯度值的无限集群的前沿不再分形。特别是指数7/4，这是最近被证明是所谓的“壳”或初始渗流集群的外部周长的尺寸的精确值保持其值在描述的宽度和长度的梯度渗流边界的梯度值无论。因此，在热力学极限中找不到它的起源。数值结果和精确的结果之间的比较，可以得到解析的极端值的梯度表明，存在一个唯一的幂律从1到无穷大的描述梯度渗流前沿，这一法律成为一个标度法在大系统的限制。
Fractal Dimension of 3-Blocks in 4d, 5d, and 6d Percolation Systems
利用蒙特卡罗模拟我们研究了3块质量$N_3$在4d，5d和6d渗流系统中的分布。因为在这些维度上创建大的3-块的概率非常小，所以我们使用“与赢家同行”的统计增强方法来模拟概率小到$10^{-30}$的配置。在早期的工作中，3块$d_3$的分形维数，在2d和3d被发现是$1.20\pm 0.1$和$1.15\pm 0.1$，分别与分形维数可能是相同的所有维度的可能性。我们发现3-块的分形维数在维数较高时迅速减小，并估计了$d_3=0.7\pm 0.2$（4d）和$0.5\pm 0.2$（5d）.在上临界尺寸的渗流，$d_c=6$，我们的模拟是一致的$d_3=0$与对数修正幂律标度。
Scale Invariance in Percolation Theory and Fractals
研究了渗流理论中相似变换在渗流概率复平面上的性质。结果表明，二维正方形格子上的渗流问题归结为Mandelbrot变换，导致复平面上渗流概率的分形行为。阻抗的层次链，减少到一个非线性映射的阻抗空间本身，进行了研究。这个过程的无限延拓导致一个不动点。它示出，所需的步骤，以达到该点的邻域的数量具有分形分布。
Fractal dimension and threshold properties in a spatially correlated percolation model
我们考虑了二维场地渗流模型中空间相关性的影响。通过推广Newman-Ziff Monte Carlo算法，使其包含空间相关性，得到了渗流团簇的渗流阈值和分形维数。对于大范围的空间相关性，渗流阈值与不相关的结果差别不大。相反，分形维数与几乎所有类型的相关性研究的不相关的结果有很大的不同。我们解释这些结果的框架中的远程相关渗流。
Percolation thresholds and fractal dimensions for square and cubic lattices with long-range correlated defects
我们研究了正方晶格和立方晶格上的长程幂律关联无序。特别是，我们提出了高精度的结果的渗流阈值和分形维数的最大集群的相关强度的函数。使用离散版本的傅立叶滤波方法产生的相关性。我们考虑两种不同的度量设置的相关性衰减的长度尺度，显示的逾渗阈值是高度敏感的系统细节。通过对比，我们验证了分形维数$d_{\rm f}$是一个普适量，不受度量选择的影响。我们还表明，对于弱关联，它的值与不相关的系统。在两个维度上，我们观察到分形维数随着相关强度的增加而明显增加，接近$d_{\rm f}\rightarrow 2$。这种变化的发生似乎不是由扩展的Harris标准确定的。
II. Territory covered by N random walkers on stochastic fractals. The percolation aggregate
考虑了在一个无序分形中从同一原点出发的N个无相互作用的随机游走者在时间t之前访问的不同站点的平均数$S_N(t)$。这个量$S_N(t)$是双重平均的结果：给定格上随机游走的平均值，然后是格的不同实现的平均值。我们表明，二维渗流集群在临界（和猜想其他随机分形），这些实现的生存概率的分布是非常广泛的欧几里得空间，但非常狭窄的化学或拓扑空间。这使我们能够适应欧几里得和确定性分形晶格的化学语言的形式主义，并在这里提出了一个渐近系列的$S_N(t)$类似于发现的非无序介质。主项等于半径为$L [\ln (N)/c]^{1/v}$的化学空间中"超球体“内的位置（体积）的数量，其中L是单个无规步行者的均方根化学位移，v和c确定$1-Γ_t(\ell)$（单个随机游走者在时间t之前访问距原点化学距离为$\ell$的给定位点的概率）对于大的$\ell/L$值衰减：$1-Γ_t(\ell)\sim \exp[-c(\ell/L)^v]$。通过对临界状态下二维渗流集团的数值模拟，估计了$S_N(t)$的前两个渐近项中的参数。相应的理论预测与模拟数据进行了比较，发现协议是非常好的。
Fractals Meet Fractals: Self-Avoiding Random Walks on Percolation Clusters
采用二维、三维和四维逾渗团簇骨架上的自回避行走（SAWs）模型，通过数值模拟研究了线性聚合物在无序介质中的标度行为.我们应用修剪丰富罗森布鲁斯链增长方法（PERM）。我们的数值计算结果产生的临界指数估计，管理的无序平均值的SAW的配置属性的标度律，并清楚地表明，当两个分形相遇时出现的多重分形谱。
Walking on fractals: diffusion and self-avoiding walks on percolation clusters
我们认为随机行走（RWs）和自回避行走（SAW）的无序晶格直接在逾渗阈值。应用数值模拟方法，研究了空间维d= 2，3，4的初始渗流集团模型的标度行为。我们的分析产生的普适指数的估计，管理的缩放律的配置属性的RW和SAW。
Fractal Structure of Equipotential Curves on a Continuum Percolation Model
通过数值求解广义拉普拉斯方程，研究二维连续渗流模型中的电势分布，发现准等势簇具有分形结构，并计算了等势曲线的分形维数及其随体积分数的变化。
Renormalization group theory of percolation on pseudo-fractal simplicial and cell complexes
单纯形复合体是一种广义网络结构，可以表征从大脑到高阶社交网络的复杂系统中存在的多体相互作用，因此越来越受到科学界的关注。单纯形复形由节点、链环、三角形等单形构成，胞元复形进一步扩展了这些广义网络结构，因为它们由正方形、五边形等规则多面体构成。伪分形单纯形和胞元复形是广义网络结构的一个主要例子，它们可以通过粘合$2$ -维$m$ -多边形而获得（$m=2$三角形、$m=4$正方形、$m=5$五边形等）根据一个简单的迭代规则。在这里，我们调查的伪分形单纯形和细胞复合物的拓扑结构和它们的动力学之间的相互作用，通过表征这些结构上定义的链接渗流的关键属性。通过使用重整化群，我们证明了伪分形单纯形和细胞复合物有一个连续的渗流阈值在$p_c=0$。当伪分形结构由相同大小的$m$的多边形形成时，转变的特征在于取决于形成伪分形单元复合体的多边形的边数$m$的序参数$P_{\infty}$的指数抑制，即，$P_{\infty}\propto p\exp(-α/p^{m-2})$。这里，这些结果也推广到随机伪分形细胞复合体形成的多边形的不同数量的边$m$。
Double percolation effects and fractal behavior in magnetic/superconducting hybrids
用迷宫畴结构的超导/铁磁双层膜研究了在分形网络上的超导成核过程，该网络可通过磁历史进行调节.当FM层中出现反转畴簇时，SC膜表现出依赖于两个独立过程的分解行为：初始反转畴的排列和扩展簇的分形几何。对于完全迷宫结构，上临界场的行为是分形网络上典型的受限超导性。
Profile and scaling of the fractal exponent of percolations in complex networks
我们提出了一种新的有限尺寸标度分析在复杂网络中观察到的渗流转变。在增长网络中，合作系统通常会经历一个具有倒Berezinskiii-Kosterlitz-无奇异性的无穷阶跃迁，数值模拟很难精确地确定跃迁点.由于有序相的近邻不是简单的无序相，而是临界相，因此传统的有限尺寸标度技术不起作用。在我们的有限尺寸标度中，序参量和分形指数的标度函数的形式在数值上决定了无限级跃迁和标准二级跃迁的跃迁点和临界指数。我们通过蒙特卡罗模拟证实了我们的标度假设的有效性，在一些网络模型中的键取代：装饰（2，2）-花和随机附着生长网络，其中发生无限级转变，和配置模型，其中发生二级转变。
Coulomb zero bias anomaly for fractal geometry and conductivity of granular systems near the percolation threshold
略低于逾渗阈值的颗粒系统是有限金属团簇的集合，其特征在于宽范围的尺寸、电阻和充电能量。电子通过高电阻的短绝缘“链接”从一个团簇跳到另一个团簇。在低温下，所有的集群库仑阻塞和直流电导率呈指数抑制。在最低T的领先的运输机制是可变范围cotunneling通过最大的（临界）集群，导致修改后的Efros-Shklovsky定律。在中等温度下，电导率的主要抑制源自库仑零偏置异常发生时，电子隧道相邻的大集群与大电阻之间。这类星系团基本上是扩展的天体，应当考虑到它们的内部动态。在这个制度中的T-依赖性的电导率是拉伸指数与非平凡的指数，表示通过指数的渗流理论。由于大集群的分形结构的异常强烈增强：它不仅出现在低维，但也在d=3的情况下。
Superconducting Quantum Interference in Fractal Percolation Films. Problem of 1/f Noise
当低频电流流过超导Sn-Ge复合薄膜时，在渗流阈值附近观察到直流电压与振荡磁场的关系。本文还研究了在这些薄膜的时间电压波动的实验实现。无论是对磁场的电压振荡的结构和电“噪声”的时间序列具有分形图案。借助分形分析程序，所观察到的波动既不是具有大量自由度的噪声，也不是定义良好的动态系统的实现。相反，由任意性质的磁场的弱波动引起的电压振荡模型给出了对所观察到的现象的最适当的描述。这种变换的成像函数具有分形性质，从而导致电压波动的幂律谱，即使是最简单类型的磁波动，包括单色的。因此，本文提出了一种新的普遍机制的“1/f噪声”的起源。它包括任何自然波动的被动变换与分形型变换函数。
Minimal spanning trees at the percolation threshold: a numerical calculation
在$d$到$d=5$的维数范围内，估计了渗流簇上最小生成树的分形维数.一个强大的分析技术开发的相关数据，如在这样的树。这应该是一个强大的方法，适用于分析广泛的随机生成的分形结构。使用这些技术分析的树使用Prim和Kruskal的算法的组合来寻找最小生成树。这种组合减少了内存的使用，并允许模拟更大的系统，否则是可能的。发现临界逾渗团簇上的MST的路径长度分形维数$d_{s}$与T.S.Jackson和N.Read [T.S.Jackson和N.Read，Phys.\修订版本\ E \textbf{81}，021131（2010）]。
Random walks on fractals and stretched exponential relaxation
拉伸指数弛豫（$\exp{-(t/τ)}^{β_K}$）是在各种各样的系统中观察到的，但迄今尚未得到解释。研究随机行走的渗流集群在弯曲的空间，其尺寸范围从2到7，我们表明，放松是准确的拉伸指数，并直接连接到这些集群的分形性质。因此，我们发现，在每一个维度的衰减指数$β_K$相关的著名指数的渗流理论在相应的平坦空间。我们认为，在许多复杂系统（聚合物，胶体，玻璃.）是由于它们的构型空间的分形特征。
On homogenized conductivity and fractal structure in a high contrast continuum percolation model
在上一篇文章（S。Matsutani和Y. Shimosako和Y. Wang，Physica A \bf{391}（2012）5802-5809），我们数值研究了二维连续渗流模型（CPM）的具有高对比度局部电导率（$γ_0$和$γ_1$，$0<γ_0 \ll γ_1$）的电势问题。作为数值计算结果，我们表明，在那里的等势曲线表现出分形结构的阈值$p_c$附近，并给出了一个近似的曲线表示之间的关系的均匀化电导率和体积分数$p$超过$[p_c,1]$。在这篇文章中，我们利用电导率的对偶性和准调和性质，重新研究了这些问题，以改进这些结果。我们表明，在$γ_0\to0$，CPM中的拟调和势问题是拟共形等价于一个随机狭缝问题，这导致我们的共形性和分形结构之间的观察阈值。在此基础上，我们将近似曲线的定义域$[p_c,1]$推广到$[0,1]$，并部分推广到三维情形.这些曲线很好地代表了电导率的数值结果。
The elastic and directed percolation backbone
我们认为，弹性骨干（EB）（工会的最短路径）的圆柱系统，最近研究的Sampaio Filho等人。120，175701（2018）]，实际上是二维定向渗流（DP）的骨架。我们模拟EB在相同的系统上考虑由这些作者，也研究了DP骨干直接使用的算法，允许骨干以完全周期性的方式产生。我们发现，无论是在本体中的EB和DP的骨干有一个分形维数$d_{b} = d_{B,\rm DP} = 1.681\,02(15)$在相同的临界点$p_{c,\rm{DP}} \approx 0.705\,485\,22$。我们还测量了EB系统的边缘和完整的DP集群的分形维数，并找到$d_e = d_{\rm DP} = 1.840 \, 54 (4)$。我们认为，这两个分形维数遵循DP指数为$d_{B,\rm DP} = 2-2β/ν_\parallel = 1.681 \, 07 2 (12) $和$d_{\rm DP} = 2-β/ν_\parallel = 1.840\, 536 (6)$。我们的分形维数不同于Sampaio Filho等人发现的值1.750（3），其值可以表示交叉效应。
Transport properties of directed percolation clusters at the upper critical dimension
我们研究了定向渗流团簇在上临界尺寸$d_{c} = 4+1$下的输运性质，在上临界尺寸下，临界涨落会导致对主导（平均场）标度行为的对数修正。利用场论和重整化群方法，我们计算了这些对数校正，包括各种观测量的下一个到主导校正，即连通性，即，两个给定点连通的概率、两点平均电阻和描述渗流簇的一些分形质量。此外，我们还研究了定向渗流团簇上电流分布的多重分形矩的对数修正。
Conductivity Exponent and Backbone Dimension in 2-d Percolation
我们提出了高统计模拟的2-D渗流集团在“母线”几何形状的临界点，为网站和键渗流。我们测量了它们的骨架尺寸和电导率。对于所有的测量集，我们发现大的修正缩放，其中大部分似乎并不被描述的单一权力。用单次幂项修正骨架质量的标度，我们将得到不同的分形维数的网站和债券渗流，而正确的结果是$D_b = 1.6432(8)$两者。对于电导率，键渗流的标度修正是强非单调的。指数$t' = t/ν$的测量值为0.9826（8），与Alexander-Orbach和其他公式不一致。
Fractal and Multifractal Scaling of Electrical Conduction in Random Resistor Networks
本文从统计物理的角度对网络中的电流流动进行了简要的回顾。我们简要地讨论了求解任意电阻网络电导的解析方法。然后，我们转向有关渗流的基本结果：即，一个大的随机电阻网络的电阻的分数是不同的导电性能。我们专注于如何这样的网络的电导消失的逾渗阈值接近从上面。我们还讨论了更微观的电流分布在一个大的网络的每个电阻。在逾渗阈值处，该分布是多重分形的，因为该分布的所有矩具有独立的标度性质。我们将讨论多重分形标度的含义及其对网络中电流流动的影响，特别是网络中最大的电流。最后，我们讨论电阻网络和随机游动之间的关系，并显示如何经典的随机游动的递归和瞬态现象简单地与相应的电网络的电导。
Absence of the non-percolating phase for percolation on the non-planar Hanoi network
我们研究了非平面Hanoi网络（HN-NP）上的键渗流，这在[Boettcher et al. Phys. Rev. E 80（2009）041115]中进行了研究。我们计算了HN-NP的子图的分形指数，给出了原图的分形指数的一个下界。这个下限导致的结论是，原始系统没有一个非膨胀阶段，只有有限大小的集群存在，p>0，或等价地，该系统表现出临界阶段，其中存在无限多个无限集群，或膨胀阶段，其中存在一个独特的巨大的组成部分。蒙特卡罗模拟支持我们的猜想。
Polymer adsorption on a fractal substrate: numerical study
本文研究了柔性高分子在具有临界吸引中心浓度p_c的二维规则无序晶格形成的逾渗团簇上的吸附。逾渗团的分形维数d_s^{p_c}=91/49。接枝到这样的分形基板的聚合物链的构象性质的研究通过修剪丰富的Rosenbluth方法（PERM）。我们发现估计的表面交叉指数控制的缩放的吸附能在附近的转变点，S_s^{p_c}=0.425 \pm 0.009，和吸附转变温度，T_A^{p_c}=2.64 \pm 0.02。正如预期的那样，当基底的分形维数小于普通欧几里得表面的分形维数时，吸附减少。分析了在吸附状态下获得高分子链的典型空间构象的普遍尺寸和形状特征。
Hopping Conductivity of a Nearly-1d Fractal: a Model for Conducting Polymers
我们建议将定向聚合物链的导电网络视为各向异性分形，其维数D=1+ε接近1。在Migdal和Kadanoff的实空间重整化群中研究了这种分形上的渗流。我们发现当ε趋于零时，阈值和所有临界指数都是ε的强非解析函数，例如，电导率的临界指数为ε^{-2} \exp（-1-1/ε）。建立了渗流阈值处有限样品电导率的分布函数。它示出的中心体的分布是由一个通用的标度函数，只有低电导率分布的尾部仍然是$ε$依赖。研究了聚合物网络中的变程跳跃电导率：发现在多跳区中，直流电导率和交流电导率都服从准一维Mott定律。目前的结果是一致的导电性差的聚合物的电性能。
Enclosed area distribution in percolation
在一个面积为Ω的系统中，其外壳包围面积大于A的二维渗流团簇的数目在临界点表现为C Ω/A，其中C = 1/（8 π sqrt（3））。在这里，我们表明，远离临界点，该因子乘以一个比例函数，该比例函数与简单指数exp（-A/A*）渐近成比例，其中A* 的比例为|p-pc| ^（-2 nu）.拟合优于Kunz和Souillard亚临界标度，其将预测渐近行为exp（-（A/A*）^（2/D），其中D = 91/48是分形维数。
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