A nearly optimal discrete query quantum algorithm for evaluating NAND formulas
Andris Ambainis
给出了求解平衡二进制NAND公式的时间复杂度为O（\sqrt{N}）的离散查询量子算法和求解任意二进制NAND公式的时间复杂度为O（N^{{1/2}+O（\frac{1}{\sqrt{\log N}}）}）的离散查询量子算法.
We present an O(\sqrt{N}) discrete query quantum algorithm for evaluating balanced binary NAND formulas and an O(N^{{1/2}+O(\frac{1}{\sqrt{\log N}})}) discrete query quantum algorithm for evaluating arbitrary binary NAND formulas.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Discrete-query quantum algorithm for NAND trees
最近，Farhi，Goldstone和Gutmann给出了一个计算NAND树的量子算法，该算法在Hamilton查询模型中运行时间为O（sqrt（N log N））。在本文中，我们指出，他们的算法可以转换为一个算法使用O（N^{1/2 + N}）的查询在传统的量子查询模型，对于任何固定的N> 0。
Java Application that Outputs Quantum Circuit for Some NAND Formula Evaluators
本文介绍了QuanFruit v1.1，一个免费的Java应用程序。（源代码包含在发行版中。最近，Farhi-Goldstone-Gutmann（FGG）写了一篇论文arXiv：quant-ph/0702144，提出了一种计算NAND公式的量子算法。QuanFruit为FFG算法输出一个量子线路。
Every NAND formula of size N can be evaluated in time N^{1/2+o(1)} on a quantum computer
对于每一个大小为N的NAND公式，都有一个有界误差N^{1/2+o（1）}时间量子算法，该算法基于一个杜撰的量子行走，在黑盒输入上评估这个公式。平衡的或“近似平衡的”NAND公式可以在O（sqrt{N}）查询中计算，这是最佳的。因此，量子查询复杂度的（2-o（1））次方是公式大小的下限，几乎解决了Laplante，Lee和Szegedy提出的一个开放问题。
NAND-Trees, Average Choice Complexity, and Effective Resistance
我们表明，在大多数$W$的平均选择复杂度的NAND树实例的量子查询复杂度是$O(W)$，其中平均选择复杂度是衡量赢得相关的两个玩家游戏的难度。这概括了由于Zhan等人[Zhan等人，ITCS 2012，249-265]。我们进一步表明，与NAND树相关联的两人游戏的获胜策略的球员可以赢得游戏与预期的$\widetilde{O}(N^{1/4}\sqrt{{\cal C}(x)})$量子查询对随机对手，其中${\cal C }(x)$是平均选择复杂度的实例。这改进了朴素策略的查询复杂性，朴素策略的查询复杂性消耗了$\widetilde{O}(\sqrt{N})$查询。结果依赖于与非树评价和$st$ -连接性问题之间的连接在某些图，并跨越程序的$st$ -连接性问题。我们的研究结果如下，从平均选择复杂性的有效电阻，这些图，这本身对应于跨度程序见证大小。
A quantum dot implementation of the quantum NAND algorithm
我们提出了一个物理实现的量子NAND树评估算法。我们的方法，基于连续时间量子行走，使用一个单一的电子在一个层次的隧道耦合量子点的波干涉。我们发现，查询复杂性的NAND树评估不遭受强烈的混乱和失相，也不是直接限制温度或限制维度的2-D结构。最后，我们提出了一个潜在的应用，该算法的高效确定的高阶关联函数的复杂量子系统。
Efficient discrete-time simulations of continuous-time quantum query algorithms
连续时间查询模型是离散查询模型的变体，其中查询可以在时间上连续地与已知操作（称为“驾驶操作”）交错。在这个模型中已经发现了一些有趣的算法，比如一个比任何经典算法都更有效地评估树的算法。随后的工作表明，在离散查询模型中也存在一个有效的查询树算法;然而，对于任意问题的连续时间查询算法，没有已知的有效转换。我们证明了，在连续时间查询模型中的任何量子算法，其总查询时间为T可以模拟的离散查询模型中的量子算法，使O[T log（T）/ log（log（T））]查询。这是独立于驾驶操作的第一个上界（即，即使驱动哈密尔顿算子的范数非常大，它也成立）。一个推论是，在离散时间查询模型中，针对问题的T个查询的任何下界立即延续到连续时间查询模型中的Ω[T log（log（T））/log（T）]的下界。
How to Compile Some NAND Formula Evaluators
我们说一个作用于一组量子位的幺正算子已经被编译，如果它被表示为SEO（基本操作的序列，如hocTs和单量子位操作）。搜索引擎优化的经常被表示为量子线路。Farhi-Goldstone-Gutmann的arXiv：quant-ph/0702144激发了最近一系列论文的灵感，这些论文提出了通过量子遍历树图来评估NAND公式的量子算法。这些算法使用两种类型的酉进化：预言机和非预言机。非Oracle演化独立于NAND公式输入，而Oracle演化依赖于此输入。在本文中，我们编译（即，给出了显式的SEO和它们相关的量子线路，用于其中一些NAND公式求值器中的oracle和非oracle演化算子。我们在这里只考虑平衡二元NAND树的情况。我们的编译方法是基于CSD（余弦正弦分解），线性代数的矩阵分解。CS分解在过去已经非常成功地用于精确地编译非结构化酉矩阵。
Span-program-based quantum algorithm for evaluating formulas
我们给出了一个量子算法，用于在扩展的门集合上评估公式，包括所有的两位和三位二进制门（例如，NAND，3-多数）。该算法是最佳的只读一次公式，每个门的输入在一定意义上平衡。主要的新工具是一个经典的线性代数计算模型之间的对应关系，“跨度程序”，和加权二分图。跨度程序的评估对应于相关联的图的特征值为零的特征向量。因此，量子计算机可以通过将谱估计应用于图来评估跨度程序。例如，评估平衡三元多数公式的经典复杂性是未知的，并且随机化α-β修剪的自然推广已知是次优的。相比之下，我们的算法推广了最佳量子AND-OR公式评估算法，是最佳的平衡三进制多数公式的评估。
Quantum algorithms for formula evaluation
我们调查最近的一系列算法评估由NAND门组成的布尔公式。
The quantum query complexity of certification
我们研究的量子查询复杂性找到一个证书的d-正规，k级平衡NAND公式。直到对数因子，我们证明了查询复杂度对于0-证书是Theta（d^{（k+1）/2}），对于1-证书是Theta（d^{k/2}）。特别地，这表明评估这样的公式的零错误量子查询复杂度是O（d^{（k+1）/2}）（再次忽略对数因子）。我们的下限依赖于量子对抗方法遵守直和定理的事实。
Super-Polynomial Quantum Speed-ups for Boolean Evaluation Trees with Hidden Structure
我们给出了一个计算一类布尔公式（如NAND树和3-多数树）的量子算法。由于允许的输入的结构，我们的算法可以使用$O(n^{2+\logω})$查询来评估深度$n$树，其中$ω$独立于$n$并且仅取决于树内的子公式的类型。我们还证明了一个经典的下限$n^{Ω(\log\log n)}$查询，从而显示出（小）超多项式的速度。
Faster quantum algorithm for evaluating game trees
我们给出了一个O（sqrt n log n）-查询量子算法计算大小为n的AND-OR公式。经过有效的预处理后，其运行时间成倍增加。与以前的方法不同，该算法是基于一个图，而不是一棵树上的量子行走。相反，该算法是基于一个混合的直和跨度程序组合，它产生树状图，和一个新的张量积跨度程序组合方法，它产生的顶点对应于最小的零证书的图。相比之下，通过一般的敌手界限，用于评估大小为n的只读一次AND-OR公式的量子查询复杂度至少为Omega（sqrt n），并且至多为O（sqrt{n} log n / log log n）。然而，该算法不一定是时间有效的;在输入查询之间应用的基本量子门的数量可能大得多。Ambainis等人给出了一个使用sqrt{n} 2^{O（sqrt{log n}）}查询的量子算法，其运行时间以多项式方式增加。
Making the cut: two methods for breaking down a quantum algorithm
针对嘈杂小规模量子硬件限制，提出并行化和插值两种拆解量子算法的方法，应用于$k$-阈值函数和NAND树问题，证明两者各有优势，为构建混合量子-经典算法提供多种途径。
Reflections for quantum query algorithms
我们表明，任何布尔函数都可以通过量子查询算法进行最优评估，该算法交替使用第二个反射，第二个反射是相干查询输入字符串的，并且是固定的，与输入无关的反射。最初是为了解决非结构化搜索问题而引入的，因此这种双反射结构是量子算法的通用特征。我们的证明是通过一般的对手界，一个半定规划（SDP），降低了量子查询复杂度的函数。通过计算跨度程序的量子算法，这个下限被认为是紧到一个亚对数因子。额外的因素来自于将连续时间查询算法转换为离散查询算法。我们给出了一个直接和简化的量子算法的基础上的双重SDP，有界错误的查询复杂度，匹配一般的对手界。因此，一般的对手下限是紧的;它实际上是量子查询复杂度的SDP。这意味着组合f（g，.，g）匹配f和g的查询复杂度的乘积，而没有用于减少误差的对数因子。它进一步表明，跨度程序是等价的量子查询算法。
Span programs and quantum query complexity: The general adversary bound is nearly tight for every boolean function
一般的敌手界限是一个半定规划（SDP），它降低了函数的量子查询复杂度。我们把这个下限到一个上限，给出了一个量子行走算法的基础上的双SDP，查询复杂度最多的一般对手界，对数因子。更详细地说，证明有两个步骤，每个步骤都基于“跨度程序”，即某种线性代数计算模型。首先，我们给出了一个SDP，它为任何布尔函数输出一个具有最佳“见证大小”的跨度程序。“最佳证人人数与一般对手的下限一致。其次，我们给出了一个量子算法，用于评估跨度程序，只有对数查询开销的证人大小。第一个结果是出于量子算法评估组成跨度方案。该算法被认为是最佳的评估一大类公式。允许的门包括所有的常数大小的功能，有一个最佳的跨度计划。到目前为止，好的跨度程序已经找到了一个特设的方式，和SDP自动化这一过程。令人惊讶的是，SDP的值等于一般对手界限。一个推论是一个最佳量子算法，用于评估任何有限布尔门集上的“平衡”公式。第二个结果将span程序的适用性扩展到公式评估问题之外。一个强大的通用性的结果跨度程序如下。一个好的量子查询算法意味着一个好的跨度程序，反之亦然。虽然几乎是紧的，但这种等价性是不平凡的。Span程序是开发更多量子算法的有前途的模型。
Span-program-based quantum algorithm for evaluating unbalanced formulas
公式评估问题是递归定义的。公式的求值是门的求值，门的输入本身是独立的公式。尽管有这种纯递归结构，但对于经典计算机来说，这个问题在组合上很困难。给出了计算任意有限布尔门集上公式的量子算法。只要输入到任意门的子公式的复杂度相差至多一个常数因子，该算法具有最优的查询复杂度。经过有效的预处理后，它几乎是时间最优的。该算法是使用跨度程序框架。它对应于公式中每个闸门的单个跨度程序的组成。因此，算法的结构反映了公式的递归结构。
Identification of a reversible quantum gate: assessing the resources
我们评估了在有限的一组替代方案中识别可逆量子门所需的资源，在我们的分析中包括确定性策略和概率策略。在概率策略中，我们考虑明确的门歧视，错误是不能容忍的，但不确定的结果是允许的，我们证明了并行策略是足够的，以明确地确定未知的门与最小数量的查询。该结果用于提供查询复杂度和最小辅助维度的上界和下界。此外，我们引入了广义t-设计的概念，它包括酉t-设计和群表示作为特殊情况。对于门形成一个广义的t-设计，我们给出了一个明确的表达正确的门识别的最大概率，我们证明了确定性策略的概率策略的性能之间没有差距。因此，评估的查询复杂性的完美的确定性歧视减少到更容易的问题，评估的查询复杂性的明确的歧视。最后，我们考虑歧视的策略，使用的辅助枝是禁止的，提供上限的额外查询的数量需要弥补缺乏纠缠的辅助枝。
The quantum query complexity of read-many formulas
The quantum query complexity of evaluating any read-once formula with n black-box input bits is Theta(sqrt(n)). However, the corresponding problem for read-many formulas (i.e., formulas in which the inputs have fanout) is not well understood. Although the optimal read-once formula evaluation algorithm can be applied to any formula, it can be suboptimal if the inputs have large fanout. We give an algorithm for evaluating any formula with n inputs, size S, and G gates using O(min{n, sqrt{S}, n^{1/2} G^{1/4}}) quantum queries. Furthermore, we show that this algorithm is optimal, since for any n,S…
Quantum Algorithm for Dynamic Programming Approach for DAGs. Applications for Zhegalkin Polynomial Evaluation and Some Problems on DAGs
在本文中，我们提出了一个量子算法的动态规划方法的有向无环图（DAG）的问题。该算法的运行时间是$O(\sqrt{\hat{n}m}\log \hat{n})$，最著名的确定性算法的运行时间是$O(n+m)$，其中$n$是顶点数，$\hat{n}$是至少有一条向外边的顶点数; $m$是边数。我们表明，我们可以解决的问题，使用或，与，NAND，MAX和MIN功能作为主要的过渡步骤。这种方法对于解决几个问题是有用的。其中之一是计算一个由Zegalkin多项式表示的布尔公式，这是一个具有共享输入和非常数深度计算的布尔电路。另外两个问题是加权DAG的单源最长路径搜索问题和非加权DAG的直径搜索问题。
Quantum Algorithms for Graph Connectivity and Formula Evaluation
我们给出了一个新的上界的量子查询复杂性决定$st$ -连通性的某些类的平面图，并显示界有时指数优于以前的结果。然后，我们表明布尔公式评估减少到决定连接只是这样一类图。将$st$ -连通性算法应用于布尔公式求值问题，匹配了$N$变量上的公式求值的量子查询复杂度的$O(\sqrt{N})$界，给出了一类Promise布尔公式的经典查询复杂度的二次加速，并证明了该方法可以产生超多项式的量子/经典分离.这些结果表明，这种基于$st$连接性的方法可能是看待量子算法进行公式评估的“正确”方式。
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