哈密顿系统的螺旋型积分不变量

Helicity is the only integral invariant of volume-preserving transformations

We prove that any regular integral invariant of volume-preserving transformations is equivalent to the helicity. Specifically, given a functional $\mathcal I$ defined on exact divergence-free vector fields of class $C^1$ on a compact 3-manifold that is associated with a well-behaved integral kernel, we prove that $\mathcal I$ is invariant under arbitrary volume-preserving diffeomorphisms if and only if it is a function of the helicity.

利用链接映射II计算磁场的三阶螺旋度

The third order helicity of magnetic fields via link maps II

在这个续集中，我们将三阶螺旋度的推导推广到三维空间中的非链接域上的磁场。该公式用$\R^3$中三点位形空间的deRham上同调的生成元表示，从应用的角度看，这是一个更实用的领域.它也承认遍历解释为平均渐近米尔诺尔$\barμ_{123}$不变，并允许我们获得的$L^2$能量绑定的磁场。作为一个中间步骤，我们推导出一个积分公式Milnor $\barμ_{123}$ -不变量参数化Borromean链接$\R^3$。

三维球面上和三维双曲空间中的Gauss连接积分

The Gauss linking integral on the 3-sphere and in hyperbolic 3-space

本文给出了三维球面和三维双曲空间中的连接、扭曲、扭动和螺旋度的显式积分公式。这些公式，就像它们在欧几里得三维空间中的原型一样，是几何的而不仅仅是拓扑的，在这个意义上，它们的被积函数在周围空间的方向保持等距下是不变的。它们是通过在这两个空间中开发并应用经典电动力学的稳态版本获得的，包括明确的磁场Biot-Savart公式和麦克斯韦方程中包含的相应安培定律。毕奥-萨伐尔公式导致，反过来，上界的螺旋度的向量场和下界的第一个特征值的旋度算子的子域的3球和双曲3空间。我们只给出一个证据的提示。

S^2乘S^2的全测地拉格朗日环面的Integral Geometry和Hamilton体积极小性质

Integral Geometry and Hamiltonian volume minimizing property of a totally geodesic Lagrangian torus in S^2 times S^2

我们证明了在Hamilton变形下，方程$S^{1} \times S^{1}$在$S^{2} \times S^{2}$中的乘积是全局体积极小化的.

三分量链路的广义高斯映射和积分：磁场和流体流的更高螺旋度，第2部分

Generalized Gauss maps and integrals for three-component links: toward higher helicities for magnetic fields and fluid flows, Part 2

我们描述了一种新的方法，三重连接不变量和积分，旨在更简单，更广泛和更自然的适用性，以寻找高阶螺旋的流体流动和磁场。对于欧氏空间中的每一个三分量链，我们将一个从3-环面到2-球面的几何上自然的广义Gauss映射联系起来，并证明了将链分类到链同伦的成对环绕数和Milnor三元环绕数对应于将其广义Gauss映射分类到同伦的Pontryagin不变量.这可以被看作是一个熟悉事实的自然扩张，即三维空间中一个二元链的环绕数是它从2-环面到2-球面的高斯映射的次数。当两两环绕数均为零时，我们给出了一个类似于两两环绕数的Gauss积分的三重环数的积分公式，但仿照J.H.C. Whitehead's integral formula for the Hopf invariant.该公式中的被积函数在三维空间中保持方向不变的刚体运动下是几何上自然的，而积分本身可以看作是三维环面上相关向量场的螺旋度。在本系列的第一篇论文[math.GT 1101.3374]中，我们对3-球面中的三分量连杆进行了此操作。Komendarczyk应用这种方法在特殊情况下，推导出一个高阶螺旋度的磁场，其普通螺旋度为零，并获得从这个非零的下界的字段能量。

First integrals of affine connections and Hamiltonian systems of hydrodynamic type

We find necessary and sufficient conditions for a local geodesic flow of an affine connection on a surface to admit a linear first integral. The conditions are expressed in terms of two scalar invariants of differential orders 3 and 4 in the connection. We use this result to find explicit obstructions to the existence of a Hamiltonian formulation of Dubrovin--Novikov type for a given one--dimensional system of hydrodynamic type. We give several examples including Zoll connections, and Hamiltonian systems arising from two--dimensional Frobenius manifolds.