图同构问题的一个量子观测量

图同构问题的量子算法

The quantum algorithm for graph isomorphism problem

本研究针对图同构问题提出一种多项式时间复杂度的量子算法，通过引入同构等价图并证明其与原问题等价，基于邻接矩阵特征向量的置换判定图同构性。

基于RBM的模拟量子退火求解图同构问题

RBM-Based Simulated Quantum Annealing for Graph Isomorphism Problems

针对图同构问题中传统模拟退火在大型图上采样效率低的问题，提出基于RBM的变分模拟量子退火方法，利用人工神经网络参数化量子多体系统以提升搜索精度与采样效率。

A Quantum Algorithm for the Sub-Graph Isomorphism Problem

We propose a novel variational method for solving the sub-graph isomorphism problem on a gate-based quantum computer. The method relies (1) on a new representation of the adjacency matrices of the underlying graphs, which requires a number of qubits that scales logarithmically with the number of vertices of the graphs; and (2) on a new Ansatz that can efficiently probe the permutation space. Simulations are then presented to showcase the approach on graphs up to 16 vertices, whereas, given the logarithmic scaling, the approach could be applied to realistic sub-graph isomorphism problem instanc…

量子与非信号图同构

Quantum and non-signalling graph isomorphisms

我们引入了一个两人非局部游戏，称为$(G,H)$同构游戏，经典的球员可以赢得一定的当且仅当图$G$和$H$是同构的。然后，我们定义量子和非信号同构的概念，考虑完美的量子和非信号策略的$(G,H)$同构游戏，分别。在量子的情况下，我们考虑张量积和交换框架的非局部游戏。我们证明了非信号同构与分数同构的概念相吻合，从而给后者一个可操作的解释。其次，我们表明，在张量积框架，量子同构是等价于两个多项式系统的非交换变量的可行性，通过放松的标准整数规划公式图同构厄米变量。在此基础上，我们证明了量子同构图必然是共谱的。最后，我们提供了一个结构，减少线性二元约束系统游戏同构游戏。这使我们能够产生量子同构图，但不是同构的。此外，它使我们能够表明，我们的两个概念的量子同构，从张量积和交换框架，实际上是不同的关系，而后者是不可判定的。我们的建设是相关的FGLSS减少从不可逼近文献，以及CFI建设。

树同构和状态对称化的量子算法

Quantum Algorithms for Tree Isomorphism and State Symmetrization

图的同构问题在理论上是一个有趣的问题，同时也有许多实际应用。经典的图同构算法在最坏的情况下都是在时间上超多项式的图的大小。一个有趣的开放问题是量子计算机是否可以在多项式时间内解决图同构问题。本文给出了一个在多项式时间内判定两棵有根树是否同构的算法。虽然这个问题很容易在经典计算机上有效地解决，但开发的技术可能是有用的，可以作为量子算法的基础，用于决定更有趣类型的图的同构。并研究了与之相关的量子态对称化问题。本文给出了在任意置换群上对称化一组标准正交状态的多项式时间算法。

Laplacian矩阵的多部可分性在图同构下不变的图

On graphs whose Laplacian matrix's multipartite separability is invariant under graph isomorphism

图的正规化拉普拉斯矩阵作为量子系统的密度矩阵，近年来在量子力学的背景下得到了研究。特别感兴趣的是量子物理性质的密度矩阵和图形的基本图形的图论性质之间的关系。密度矩阵的一个重要方面是它们的纠缠特性，这是许多非直观物理现象的原因。归一化拉普拉斯矩阵的纠缠性质在图同构下一般不是不变的。在最近的论文中，确定了图的纠缠和可分性的同构下不变。本文的目的是刻画在图同构下可分离性不变的图的集合。特别是，我们表明，这个集合由$K_{2,2}$，$\overline{K_{2,2}}$和所有完全图。

关于图同构的量子筛算法的不可能性

On the Impossibility of a Quantum Sieve Algorithm for Graph Isomorphism

众所周知，在隐藏子群问题（HSP）的框架内工作的图同构的任何量子算法必须在Omega（n log n）陪集状态上执行高度纠缠的测量。如何有效地进行这种测量的唯一已知模型之一是用于二面体群中HSP的Kuperberg算法，其中量子态根据张量积分解为不可约表示而自适应地组合和测量。这种“量子筛”从陪集态开始，一路向下，直到概率不同的表示，例如，隐藏的子群是平凡的还是非平凡的。在本文中，我们给出了强有力的证据，没有这样的方法可以成功的图同构。特别地，我们考虑图同构到圈积S_n \wr Z_2上的HSP的自然约化。我们证明，模的对称群的渐近性质的群论猜想，无论我们使用什么规则来自适应组合量子态，有一个常数b > 0，使得在这个家庭中没有算法可以解决图同构在e^{b sqrt{n}}时间。特别地，这样的算法本质上不比最好的已知经典算法好，其运行时间是e^{O（sqrt{n \log n}）}。

量子同构等价于平面图的同态数相等

Quantum isomorphism is equivalent to equality of homomorphism counts from planar graphs

超过50年前，Lovász证明，两个图是同构的当且仅当他们承认相同数量的同态从任何图[数学学报。18（1967），pp. 321- 328]。在这项工作中，我们证明了两个图是量子同构（在交换算子框架），当且仅当他们承认相同数量的同态从任何平面图。由于存在量子同构的非同构图对，这意味着平面图的同态计数不确定同构的图。另一个直接的结果是，确定是否存在与两个给定图具有不同数量的同态的平面图是一个不可判定的问题，因为量子同构已知是不可判定的。我们的量子同构的特征证明了通过一个图的量子自同构群的交织空间的组合特征的基础上从平面图的同态计数。这个结果启发了“图范畴”的定义，它类似于划分范畴，并且是划分范畴的推广，划分范畴是简单量子群定义的基础。因此，我们引入了一类新的“图论量子群“，其缠绕空间由与（双标记）图相关联的映射构成。最后，我们利用量子同构的结果证明了四色定理的一个有趣的重新表述：任何平面图是4-可着色的当且仅当它与对称群$S_4$上的一个特定的Cayley图有同态，该对称群包含一个在四个顶点上的完全子图，但不是4-可着色的。

Graph isomorphism and Gaussian boson sampling

We introduce a connection between a near-term quantum computing device, specifically a Gaussian boson sampler, and the graph isomorphism problem. We propose a scheme where graphs are encoded into quantum states of light, whose properties are then probed with photon-number-resolving detectors. We prove that the probabilities of different photon-detection events in this setup can be combined to give a complete set of graph invariants. Two graphs are isomorphic if and only if their detection probabilities are equivalent. We present additional ways that the measurement probabilities can be combine…