By adapting Feynman's sum over paths method to a quantum mechanical system whose phase space is a torus, a new proof of the Landsberg-Schaar identity for quadratic Gauss sums is given. In contrast to existing non-elementary proofs, which use infinite sums and a limiting process or contour integration, only finite sums are involved. The toroidal nature of the classical phase space leads to discrete position and momentum, and hence discrete time. The corresponding `path integrals' are finite sums whose normalisations are derived and which are shown to intertwine cyclicity and discreteness to give a finite version of Kelvin's method of images.
Quantum phase uncertainty in mutually unbiased measurements and Gauss sums
互无偏基（MUB），这是这样的两个向量之间的内积在不同的正交基是常数等于逆$1/\sqrt{d}$，与$d$的维数有限希尔伯特空间，正变得越来越多的研究应用，如量子断层扫描和密码学，并与纠缠态和量子光学的海森堡-韦伊群。使用抽象代数的工具，已经导出了素幂维数$d=p^m$的基数$d+1$的MUB的完整集合（Wootters in 1989，Klappenecker in 2003）。可以推测，对于非素维，基数要小得多。基可以被重新解释为量子相位态，即厄米相位算符的本征向量，推广了Pegg & Barnett在1989年提出的那些。MUB态与伽罗瓦域（奇特征p）和伽罗瓦环（特征2）的加性特征有关。量子傅里叶变换的基础向量中的分量定义了一个更一般的类MUB的乘法字符和加法的。我们研究了上述相位算子关于数算子的互补性质。我们还研究了物理状态的相位概率分布和方差，并发现它们与高斯和有关，高斯和是乘法和加法特征的乘积的域（或环）的所有元素的和。最后，我们介绍了相互无偏性和最大纠缠的概念。这使得我们可以使用良好的研究代数概念作为有效的工具，在我们的追求最小的不确定性，在量子信息原语。
New factorization algorithm based on a continuous representation of truncated Gauss sums
在本文中，我们将描述一个新的因式分解算法的基础上连续表示的高斯和，推广到阶j>2。这种算法首次允许在一次运行中找到数N的所有因子，而无需预先计算比率N/l，其中l是所有可能的试验因子。连续截尾指数和被证明是区分因子和非因子的有力工具（关于这个主题，我们还建议阅读S. Woelk et al.也发表在这个问题上[Woelk，Feiler，Schleich，J. Mod. Opt. in press]），并同时因式分解不同的数字。我们还将描述两种可能的M路光学干涉仪，它可以用来实验实现这种算法：液晶光栅和广义对称迈克耳孙干涉仪。
Equientangled Bases in Arbitrary Dimensions and Quadratic Gauss Sums
最近[Karimipour and Memarzadeh，PhysRevA 73，012329（2006）]提出了在两个相同系统的二分空间中找到具有以下性质的正交基的连续族的问题：i）在每个基中，所有状态必须相等地纠缠，以及ii）该族连续地内插在乘积基和最大纠缠基之间。作者提供了一个必要条件和简单的例子，相对较小的尺寸，但质疑存在一个普遍的解决方案，为任意尺寸。利用二次高斯和的性质，我们证明了这样一个家庭的基地存在的所有维度，并提供了一个明确的简单的参数化。我们说明我们的解决方案与特定的例子的行为。
