Bennett卵石博弈分析

稀疏超图与Pebble博弈算法

Sparse Hypergraphs and Pebble Game Algorithms

一个超图$G=(V,E)$是$(k,\ell)$ -稀疏的，如果没有子集$V'\subset V$跨越超过$k|V'|-\ell$的超边.我们刻画了$(k,\ell)$ -稀疏超图的图论，拟阵和算法性质。我们扩展了Haas，Lov{á}sz，Nash-Williams，Tutte，White和Whiteley的几个著名定理，将图的荫度与边数的某些计数联系起来.我们还解决了问题，找到低维表示的稀疏超图，并确定一个关键的行为的稀疏参数$k$和$\ell$。我们的构造扩展了李和Streinu的卵石游戏从图到超图。

Upper bounds for the constants of Bennett's inequality and the Gale--Berlekamp switching game

In $1977$, G. Bennett proved, by means of non-deterministic methods, an inequality which plays a fundamental role in a series of optimization problems. More precisely, Bennett's inequality shows that, for $p_{1},p_{2} \in\lbrack1,\infty]$ and all positive integers $n_{1},n_{2}$, there exists a bilinear form $A_{n_{1},n_{2}}\colon\left( \mathbb{R}^{n_{1}},\left\Vert \cdot\right\Vert _{p_{1}}\right) \times\left( \mathbb{R}^{n_{2}},\left\Vert \cdot\right\Vert _{p_{2}}\right) \longrightarrow\mathbb{R}$ with coefficients $\pm1$ satisfying \[ \left\Vert A_{n_{1},n_{2}}\right\Vert \leq C_{p_{1},p_{2}…

关于按块Pebbling图

On Pebbling Graphs by their Blocks

图卵石博弈是一个在连通图G上进行的博弈。玩家以1美元一颗的价格购买鹅卵石，并将其交给对手，对手将其分配给G的顶点（称为配置）并选择目标顶点r。玩家可以通过从一个顶点拿走两个鹅卵石并将一个鹅卵石移动到相邻顶点来进行鹅卵石移动。如果玩家能把k个鹅卵石移到r，他就赢了。博弈的值（G，k），称为G的k-卵石数，是玩家保证获胜的最小成本。也就是说，它是卵石的最小正整数m，使得从大小为m的每个配置，可以将k个卵石移动到任何目标。本文利用图的块结构来研究pebbling数，给出了块完全图的精确pebbling数。我们还给出了直径为2的图的k-pebbling数的一个上界，这为进一步研究块直径不大于2的图的pebbling数奠定了基础.

稀疏证明图分解

Sparsity-certifying Graph Decompositions

我们描述了一个新的算法，$(k,\ell)$ -卵石游戏的颜色，并使用它获得了家庭的$(k,\ell)$ -稀疏图的一个特征和算法的解决方案，家庭的问题有关的树分解的图。稀疏图的特殊例子出现在刚性理论中，近年来受到越来越多的关注。特别地，我们的有色卵石推广和加强了Lee和Streinu的结果，并给出了树荫度的Tutte-Nash-Williams刻画的一个新证明。我们还提出了一个新的分解，证明稀疏的基础上的$(k,\ell)$卵石游戏的颜色。我们的工作还揭示了卵石游戏算法和以前的稀疏图算法的Gabow，Gabow和Westermann和Hendrickson之间的连接。

Cumulative subtraction games

We study zero-sum games, a variant of the classical combinatorial Subtraction games (studied for example in the monumental work "Winning Ways", by Berlekamp, Conway and Guy), called Cumulative Subtraction (CS). Two players alternate in moving, and get points for taking pebbles out of a joint pile. We prove that the outcome in optimal play (game value) of a CS with a finite number of possible actions is eventually periodic, with period $2s$, where $s$ is the size of the largest available action. This settles a conjecture by Stewart in his Ph.D. thesis (2011). Specifically, we find a quadratic b…

图 pebbling 中权函数生成的自动化

Automating Weight Function Generation in Graph Pebbling

本研究提出一种基于混合整数线性规划的计算框架，可自动生成树策略权函数以证明任意图的pebbling数上界，并在第4弱Bruhat图和Lemke方图上验证了该框架的有效性。