Rayleigh-Ritz 主化误差界及其在有限元方法中的应用
Rayleigh-Ritz majorization error bounds with applications to FEM
AI总结：
本文针对 Hermitian 算子 A 的 Rayleigh-Ritz 方法，提出了关于 A-不变子空间与任意子空间之间主角的主化误差界，并推广到相对误差和乘积误差，最后应用于有限元方法。
摘要：
Rayleigh-Ritz (RR) 方法在给定试验子空间上找到 Rayleigh 商的平稳值（称为 Ritz 值），作为 Hermitian 算子 $A$ 的特征值的近似。如果试验子空间是 $A$-不变的，则 Ritz 值恰好是 $A$ 的某些特征值。给定两个相同有限维的子空间 $\X$ 和 $\Y$，且 $\X$ 是 $A$-不变的，则 $A$ 关于 $\X$ 的 Ritz 值与关于 $\Y$ 的 Ritz 值之间的绝对变化表示 RR 绝对特征值近似误差。我们的第一个主要结果是关于任意 $A$-不变子空间 $\X$ 的、以 $\X$ 和 $\Y$ 之间的主角表示的尖锐主化型 RR 误差界，这是 [SIAM J. Matrix Anal. Appl., 30 (2008), pp. 548-559] 中的一个猜想。其次，我们证明了一种新型的 RR 误差界，它处理的是误差的乘积而非和。第三，我们建立了相对误差的主化界。我们将这些界推广到 Hilbert 空间中 $\dim\X\leq\dim\Y<\infty$ 的情形，并将其应用于有限元方法的背景下。
英文摘要：
The Rayleigh-Ritz (RR) method finds the stationary values, called Ritz values, of the Rayleigh quotient on a given trial subspace as approximations to eigenvalues of a Hermitian operator $A$. If the trial subspace is $A$-invariant, the Ritz values are exactly some of the eigenvalues of $A$. Given two subspaces $\X$ and $\Y$ of the same finite dimension, such that $\X$ is $A$-invariant, the absolute changes in the Ritz values of $A$ with respect to $\X$ compared to the Ritz values with respect to $\Y$ represent the RR absolute eigenvalue approximation error. Our first main result is a sharp majorization-type RR error bound in terms of the principal angles between $\X$ and $\Y$ for an arbitrary $A$-invariant $\X$, which was a conjecture in [SIAM J. Matrix Anal. Appl., 30 (2008), pp. 548-559]. Second, we prove a novel type of RR error bound that deals with the products of the errors, rather than the sums. Third, we establish majorization bounds for the relative errors. We extend our bounds to the case $\dim\X\leq\dim\Y<\infty$ in Hilbert spaces and apply them in the context of the finite element method.
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