On the zeros of certain Poincaré series for $Γ_0^*(2)$ and $Γ_0^*(3)$
Junichi Shigezumi
应用和推广F. K. C. Rankin和H. P. F. Swinnerton-Dyer（“关于爱森斯坦级数的零”，1970）。
We locate all of the zeros of certain Poincare series associated with the Fricke groups $Γ_0^*(2)$ and $Γ_0^*(3)$ in their fundamental domains by applying and extending the method of F. K. C. Rankin and H. P. F. Swinnerton-Dyer (``On the zeros of Eisenstein series'', 1970).
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Hilbert Poincaré series and kernels for products of $L$-functions
研究了与一般种子函数相联系的Hilbert Poincaré级数，构造了Cohen核和双Eisenstein级数作为Hilbert Poincaré级数的级数.然后计算了Hilbert Poincaré级数和Hilbert模形式的Rankin-Cohen括号，并将Zagier核公式推广到全实数域.最后，我们证明了两种不同类型的Eisenstein级数的Rankin-Cohen括号是二重Eisenstein级数直到常数的特殊值。
Non-vanishing of vector-valued Poincaré series
证明了上半平面$ \mathcal H $上Poincaré级数的Muić积分非零准则的一个向量值形式.此外，我们还给出了Poincaré级数形式的向量值模形式的构造的一个相应结果。作为这些结果的应用，我们构造并研究了经典和椭圆向量值Poincaré级数的非零性。
Non-vanishing of Jacobi Poincaré series
证明了在适当的条件下，整数权和矩阵指数的指数型Jacobi Poincaré级数不恒为零。对于经典Jacobi型，我们构造了由“前”几个Poincaré级数组成的基，并给出了与权相关和无关的条件，从而保证了经典Jacobi Poincaré级数的非零性.证明了某些Kloosterman型和的相等性。同时，得到了当奇素数整除指数时Jacobi Poincaré级数不为零的一个结果。
Rankin-Cohen brackets and Serre derivatives as Poincaré series
利用庞加莱平均构造给出了Eisenstein和Poincaré级数的Serre导数及其任意模形式的Rankin-Cohen括号的表达式，并推导出Ramanujan tau函数的几个恒等式作为应用。
Poincaré square series of small weight
我们扩展了作者的早期计算，并给出系数公式（拟模）Poincaré平方系列的重量3/2和重量2的对偶Weil表示的偶格。
Non-vanishing of Hilbert Poincaré series
证明了Hilbert Poincaré级数的一些非零性结果。通过证明Hilbert Poincaré级数的傅里叶系数对足够大的权和足够大的水平都满足良好的正交关系，我们得到了这些结果.为了证明后面的结果，我们推广了E.科瓦尔斯基等al.
Parabolic, hyperbolic and elliptic Poincaré series
继Petersson之后，我们研究了全纯尖点形式的抛物、双曲和椭圆展开式以及相应的Poincaré级数。我们展示了这些想法如何扩展到空间的二阶尖点形式。
A note on Fourier coefficients of Poincaré series
本文给出了经典模形式和Siegel尖点形式的Poincaré级数的傅里叶系数的渐近正交性的一个简短而“软”的定性证明.
Poincaré and Eisenstein series for Jacobi forms of lattice index
Poincaré和Eisenstein级数是每一种模形式的基石。本文定义了格指数Jacobi形式的Poincaré级数，并说明了它们的一些基本性质。计算了Poincaré级数和Eisenstein级数的Fourier展开式，并给出了平凡Eisenstein级数的傅里叶系数的显式表达式.对于偶数权和固定指标，非平凡Eisenstein级数的傅里叶系数的有限线性组合等价于平凡Eisenstein级数的傅里叶系数的有限线性组合.
Linear Relations of Siegel Poincare Series and Nonvanshing of the Central Value of Spinor L-functions
本文首先研究单参数Siegel Poincaré级数族的线性关系。然后给出了Siegel尖点特征形的傅里叶系数的非零性和中心值的应用。
Non-vanishing of Poincaré Series on Average
本文研究了在平均意义下庞加莱级数非零性的条件，证明了当权重或索引在特定范围内变化时，适合参数的庞加莱级数几乎不为零。
Almost holomorphic Poincare series corresponding to products of harmonic Siegel-Maass forms
我们研究庞加莱级数，其中我们对实解析西格尔模形式的傅里叶级数项的积进行平均。有一些（平凡的）特殊情况，椭圆模形式和调和马斯形式的傅里叶级数的项的乘积几乎是全纯的，在这种情况下，相应的庞加莱级数也几乎是全纯的。一般来说，情况并非如此。本文主要研究调和Siegel-Maass型和全纯Siegel模形式的傅里叶级数的项的乘积上的$2$次Siegel-Poincaré级数.我们建立了这样的Siegel-Poincaré级数的收敛性和非零性的条件。我们惊奇地发现，这些庞加莱级数几乎是全纯的西格尔模形式，尽管调和西格尔-马斯形式的傅里叶级数与全纯西格尔模形式（与椭圆情形相反）的项的乘积不是几乎全纯的.我们的证明采用了表示论的工具。特别地，我们确定了具有壁的Harish-Chandra模的张量积的某些组分.
Hyperbolic Fourier coefficients of Poincaré series
庞加莱在1911年和彼得森在1932年给出了现在经典的表达式抛物傅里叶系数的全纯庞加莱级数的贝塞尔函数和Kloosterman总和。后来，在1941年，彼得森介绍了双曲和椭圆傅立叶展开的模形式和相关的双曲和椭圆庞加莱系列。本文用超几何级数和Good的广义Kloosterman和表示抛物型和双曲型Poincaré级数的双曲傅里叶系数.在一个明确的例子为模群，我们看到，双曲Kloosterman和对应于一个总和格点上的双曲线包含在一个椭圆。这允许双曲傅里叶系数的数值计算。
Images of Maass-Poincaré series in the lower half-plane
本文利用Poincaré级数的方法将整权调和Maass型推广到上下半平面上的函数。这与Rademacher的“零扩展”原理有关，该原理最近被Rhoades用于连接模拟θ函数和部分θ函数。
Vanishing of Poincaré series for congruence subgroups
本文研究同余子群 $Γ_0(N)$ 的 Poincaré 级数消失问题，证明在若干权 $k$、指标 $m$ 和级 $N$ 的参数选择下 $P_{k,m,N}$ 非零，并改进 Rankin 与 Mozzochi 的既有结果。
Weak Maass-Poincare series and weight 3/2 mock modular forms
本文的主要目的是构造权3/2仿模形式空间的基，它是权3/2弱全纯模形式的Borcherd-Zagier基的推广.这个基的成员的阴影形成权1/2弱全纯模形式空间的Borcherds- Zagier基。为此，我们使用弱Maass-Poincaré级数。第二个目标是提供一个完整的计算傅里叶系数的弱Maass-Poincaré级数在最一般的形式，作为一个弱Maass-Poincaré级数发挥了关键作用，在最近的进展，弱Maass形式的理论。
On coefficients of Poincaré series and single-valued periods of modular forms
证明了由给定水平$Γ_0(N)$和权$k\ge 2$的弱全纯Poincaré级数的傅里叶系数生成的场与由附加在$Γ_0(N)$上的某个动机的单值周期生成的场重合.这澄清了算术性质的傅里叶系数和generalises以前的公式布朗和英亩-Broadhurst给予明确的系列扩展的单值期间的一些模形式。我们的证明是基于Bringmann-Ono的建设谐波升降机的庞加莱级数。
Niebur-Poincaré Series and Traces of Singular Moduli
我们计算的Kohnen和Zagier的模形式$f_{k,D}$的重量$2$和负判别式的类似物的傅里叶系数。这些函数也可以写为具有一定权重的$2$ Poincaré级数的扭曲迹，其中Niebur-Poincaré级数的求值作为傅里叶系数。这使我们能够研究扭曲的痕迹奇异模在一个整体的重量设置。特别是，我们恢复显式级数表达式的扭曲的痕迹奇异模和扩展代数结果Bengoechea的重量$2$的情况下。我们还计算正则化的内积的这些功能，在较高的权重的情况下，已涉及到较高的格林函数在CM点的评价。
Cycle Integrals of the Parson Poincaré Series and Intersection Angles of Geodesics on Modular Curves
证明了Parson权2k模积分的循环积分与模曲线上测地线的交角的一个几何公式。我们的结果是模拟模积分的经典公式的循环积分的某些双曲庞加莱级数，由于Katok。另一方面，推广了Matsusaka和Duke，Imamoglu和Tóth关于权为2的模积分的循环积分的一个最近的几何公式.
On the non-vanishing of Hilbert Poincaré series
本文研究 Hilbert Poincaré 级数的非零性，证明小范数条件下其不恒为零，并在数域上建立 Kloosterman 和的 Selberg 恒等式，进而在阿代尔框架中用 Hecke 算子加以解释。
Non-vanishing of Taylor coefficients and Poincaré series
我们证明了递归公式的泰勒系数的尖点形式，如Ramanujan的Delta函数，在点的上半平面。这使我们能够显示非零的所有泰勒系数的Delta在CM点的小判别式，以及非零的某些庞加莱系列。在“通用”点处，所有泰勒系数被示出为非零。给出了CM点Delta的泰勒系数的一些表达式。
Symplectic Kloosterman Sums and Poincaré Series
本文通过分层论证和 p-adic 驻相方法，证明了 Sp(4) 上一般 Kloosterman 和的幂节省界，并将其与 Poincaré 级数的 Fourier 系数相关联。
Non-Archimedean Poincaré series and geodesics on the Bruhat-Tits tree
本文在Drinfeld半平面上构造非阿基米德Poincaré级数，证明其收敛性与非零性，并用于生成模形式空间，推广了Kurihara的方法。
On a generating function of Niebur-Poincaré series
本文研究了与i∞相关的Niebur-Poincaré级数生成函数在s=1处的延拓，将其与解析核和非全纯艾森斯坦级数联系，并通过多项式对数和点对不变量的周期化进行扩展。
Twisted correlations of the divisor function via discrete averages of $\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$ Poincaré series
我们证明了一个定理，允许一个计数的解决方案，以行列式方程扭曲的周期性的权重与高均匀性的模。利用$\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$的自守形式的谱方法研究同余子群上的Poincaré级数，得到了它.通过跟踪多个轨道之间的相互作用，我们得到的优势，广泛使用的Kloosterman和技术的总和。我们展示了这与应用程序的除数函数扭曲的周期函数和第四时刻的狄利克雷$L$ -功能的临界线上的相关性。
On a family of Siegel Poincaré series
设$ Γ$是$ \mathrm{Sp}_{2n}(\mathbb Z) $的同余子群.利用$ K $的Poincaré级数-$ \mathrm{Sp}_{2n}(\mathbb R) $的可积离散级数表示的有限矩阵系数，构造了权为$ m\in\mathbb Z_{>2n} $的Siegel尖点形式空间$ S_m(Γ) $的生成集.利用局部紧Hausdorff群上Poincaré级数的Muić积分非零准则，证明了该生成集的某些元素的非零性.此外，利用$ \mathrm{Sp}_{2n}(\mathbb R) $的表示理论，我们研究了相应尖点自守形式的Petersson内积，从而恢复了$ S_m(Γ) $再生核函数的一些著名结果的表示论证明.我们的结果是通过将Muić在他关于上半平面上的全纯尖点形式的工作中开发的表示论方法推广到更高次的Siegel尖点形式的设置而得到的。
Faber polynomials and Poincaré series
本文考虑了全模群$\SL_2(\Z)$的权为$2-k\in 2\Z$的弱全纯模形式（即极点只可能出现在尖点的亚纯模形式）.该空间有一组独特的生成元$f_{m,2-k}$。这样的弱全纯模形式已经被分类为许多Eisenstein级数，唯一的重量12新形式$Δ$，和某些Faber多项式的模不变量$j(z)$，Hauptmodul为$\SL_2(\Z)$。我们采用调和弱Maass形式和（非全纯）Maass-Poincaré级数的理论，以获得这些Faber多项式的系数的渐近增长。在此过程中，我们得到了一个渐近公式的Masass-Poincaré系列的偏导数关于$y$以及扩展的渐近增长的$\ell$次重复积分的高斯误差函数在$x$包括$\ell\in \R$和更广泛的范围$x$。
Designing Poincare Series for Number Theoretic Applications
给出Diaconu和Garrett的次凸性结果的$GL_2$ Poincaré级数是自守偏微分方程的解，通过将自由空间上相应的微分方程的解卷起而构造。推广这种方法可以设计更高秩的庞加莱级数，并考虑到具体的数论应用：庞加莱级数用于产生对称空间中扩展区域中格点数量的显式公式，庞加莱级数产生$GL_n \times GL_n$ L函数的矩，以及为涉及伪拉普拉斯算子的应用而设计的庞加莱级数。
Poincaré square series for the Weil representation
我们计算Jacobi群的某种表示的Jacobi Eisenstein系列的重量$k \ge 3$，并评估这些在$z = 0$给出系数公式的一个家庭的模块形式$Q_{k,m,β}$的重量$k \ge 5/2$的（对偶）韦尔表示在一个偶数格。我们构造的形式总是包含其跨度内的所有尖点形式。本文介绍了如何计算$Q_{k,m,β}$和Bruinier及Kuss的Eisenstein级数$p$的系数公式中的表示数，从而得到一个有效的算法。主要应用是构造自守积。
Asymptotic zeros of Poincaré series
本研究针对全模群的庞加莱级数$P_{k,m}$，在$m$与权重$k$成比例的渐近情形下，证明了正比例零点落在临界线与特定条件下的虚轴上，并刻画了小比例参数时非实零点的分布。
Generalized Poincaré series for $\mathrm{SU}(2,1)$
定义并研究了群$G=\mathrm{SU} (2,1)$的“非交换”Poincaré级数，即附着在$G$的幂幺子群$N$的Stone-Von Neumann表示上的Poincaré级数.这样的庞加莱级数一般具有指数增长性。在这项研究中，我们使用在arXiv：1912.01334中获得的阿贝尔和非阿贝尔傅立叶项模块的结果。我们计算这些系列的截断的内积和那些与$N$的酉特征与平方可积〔的〕自守形式，与他们的傅立叶展开。因此，我们得到一般的完整性结果，特别是，推广那些有效的经典全纯（和反全纯）庞加莱系列$\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$。
Mass equidistribution for Poincaré series of large index
本文证明当指标增长速度介于超线性与 $k^{3/2-ε}$ 之间时，全模群上大指标庞加莱级数的 $L^2$ 质量关于双曲测度等分布，并由此推出其零点均匀分布。
Linear Relations Among Poincare Series via Harmonic Weak Maass Forms
讨论了Poincaré级数的消失问题。已知这个问题与具有指定主部的弱全纯形式的存在性有关。存在性的障碍与Ramanujan模拟θ函数的伪模性有关。我们将弱全纯模形式空间嵌入到调和弱Maass形式空间中。从这个角度出发，我们讨论了庞加莱级数之间的线性关系和拉马努金的模拟θ函数的连接。
Poincaré series and modular functions for U(n, 1)
我们构造了与$U(n, 1)$的无穷余体积的离散子群相关联的无穷多个非全纯自守形式和模形式。
On the Non-Vanishing of Poincaré Series on the Metaplectic Group
本文研究了$ \mathrm{SL}_2(\mathbb R) $的亚代数覆盖的可积表示的$ K $ -有限矩阵系数，给出了它们的Poincaré级数不为零的一个结果.我们这样做是通过调整Muić为$ \mathrm{SL}_2(\mathbb R) $开发的技术来适应亚群的情况。
Eisenstein-Kronecker series via the Poincaré bundle
Katz的一个经典构造给出了在通用椭圆曲线上利用Gauesten-Manin联络的Eisenstein-Kronecker级数的一个纯代数构造。这种方法为研究实解析Eisenstein级数的代数性质和$p$ -adic性质提供了一种系统的方法。本文第一部分给出了利用Poincaré丛构造Eisenstein-Kronecker级数的另一种代数方法。在此基础上，第二部分通过Poincaré丛的$p$-adic θ函数给出了Katz的二元$p$-adic Eisenstein测度的一个新的概念性构造。
Zero mode of the Fourier series of some modular graphs from Poincare series
我们考虑特定的线性组合的两个循环模块化图功能的环形世界表与$2s$链接$s=2, 3$和$4$。在每种情况下，它满足一个本征值方程，源项只涉及$E_{2s}$和$E_s^2$。在删除某些组合的$E_{2s}$和$E_s^2$从它，我们表示所得到的表达式作为一个绝对收敛的庞加莱级数。这是用来计算功率表现的条款在渐近展开的零模式的傅立叶展开这些图形在一个简单的方式。
Uniform rationality of Poincaré series of p-adic equivalence relations and Igusa's conjecture on exponential sums
本文对p-adic等价关系的Poincaré级数的一致合理性和Igusa关于指数和的猜想给出了一些新的结果
Poincaré series for modular graph forms at depth two. I. Seeds and Laplace systems
我们得到新的庞加莱级数表示的无限家庭的非全纯模块不变的功能，包括模块图的形式，因为它们出现在低能量展开的闭弦散射振幅亏格1。庞加莱级数是由单个全纯爱森斯坦级数及其复共轭上的迭代积分构造而成的，并由zeta值的适当组合进行装饰。我们评估庞加莱和这些迭代爱森斯坦积分的深度1，并推导出新的表示所有的模块化图形形式建立在深度2迭代爱森斯坦积分。在另一篇文章中，一些超越模图形式的深度一积分的庞加莱和将用全纯尖点形式的迭代积分及其L值来描述。
On vector-valued Poincaré series of weight 2
给定第一类富克斯群的一对$(Γ,ρ)$和任意秩的$Γ$的酉表示$ρ$，考虑权为2的向量值Poincaré级数的构造问题.抛物丛理论的影响进行了讨论。当该集团的属是零，它表明如何明确的基础，这些功能的空间可以构建。
On the non-vanishing of Poincaré series on irreducible bounded symmetric domains
本文将Muić积分非零准则推广至向量值情形，研究不可约有界对称域上多项式型庞加莱级数对应的全纯自守形式非零性，并在SU(p,q)群情形下给出应用示例。
Flag Hilbert-Poincaré series of hyperplane arrangements and their Igusa zeta functions
本文引入并研究了一类与超平面排列相联系的多元有理函数，称为旗Hilbert-Poincaré级数。这些级数与线性多项式乘积的Igusa局部zeta函数及其motivic和拓扑亲属密切相关。我们的主要结果包括一个自互易结果的中心安排定义的领域的特征为零。我们还证明了组合公式的特殊化的标志希尔伯特-庞加莱系列的不可约Coxeter安排的类型$\mathsf{A}$，$\mathsf{B}$，和$\mathsf{D}$在各自类型的总分区。我们表明，一个不同的特殊化的标志希尔伯特-庞加莱系列，我们称之为粗糙的标志希尔伯特-庞加莱系列，表现出有趣的非负性功能和-在考克斯特安排的情况下-与欧拉多项式的连接。对于超平面排列的许多类和例子，我们确定它们的（粗）标志希尔伯特-庞加莱级数。一些计算是由我们开发的SageMath软件包辅助的。
Maass-Jacobi Poincaré series and Mathieu Moonshine
Mathieu Moonshine将权为零、指数为1的弱Jacobi形式附加到Mathieu的最大散在单群的每个共轭类上。我们介绍了一个修改这个任务，从而弱Jacobi形式取代半全纯的马斯-Jacobi形式的重量和指数为2。本文证明了一类权为1的Maass-Jacobi Poincaré级数的收敛性，并以此刻画了最大Mathieu群的半全纯Maass-Jacobi形式.
On Poincaré series of half-integral weight
本文利用$ K $的Poincaré级数-$ \mathrm{SL}_2(\mathbb R) $的元复盖的真可积表示的有限矩阵系数，构造了尖点型空间$ S_m(Γ,χ) $的生成集，其中$ Γ$是$ \mathrm{SL}_2(\mathbb R) $的元复盖中有限余体积的离散子群，$ χ$是$ Γ$的有限阶特征标，$ m\in\frac52+\mathbb Z_{\geq0} $ .给出了构造的尖点型的非零性的一个结果，并计算了它们与任意$ f\in S_m(Γ,χ) $的Petersson内积。利用最后一个结果，我们构造了一个Poincaré级数$ Δ_{Γ,k,m,ξ,χ}\in S_m(Γ,χ) $，在Riesz表示定理的意义下，它对应于$ S_m(Γ,χ) $上的线性泛函$ f\mapsto f^{(k)}(ξ) $，其中$ ξ\in\mathbb C_{\Im(z)>0} $和$ k\in\mathbb Z_{\geq0} $。在$ Γ$和$ χ$的一些附加条件下，给出了尖点形式$ Δ_{Γ,k,m,ξ,χ} $的Fourier展开式及其在一系列经典Poincaré级数中的展开式.
$D^6R^4$ curvature corrections, modular graph functions and Poincaré series
本文研究了环面上紧化的IIB型弦论中四引力子散射振幅的高曲率修正的U-对偶不变系数函数。主要的焦点是在$D^6R^4$长期是已知的，以满足非齐次拉普拉斯方程。我们提出了一种新的方法来解决这个方程的庞加莱级数的anasterian和恢复已知的结果在$D=10$维和发现新的结果在$D<10$维。我们也适用于模块化图函数的方法，因为它们产生于封闭的超弦单圈振幅。
Modular graph functions and asymptotic expansions of Poincaré series
本文研究IIB型弦论中的模图函数或高阶导数修正系数函数等$SL(2,\mathbb{Z})$ -不变函数。这些函数求解非齐次拉普拉斯方程，我们选择将它们表示为庞加莱级数。这样，我们可以结合不同的方法进行渐近展开，并获得微扰和非微扰的贡献，他们的零傅立叶模式。在高阶导数修正的情况下，这些术语可以解释为微扰弦环效应和瞬子/反瞬子对。
Construction and non-vanishing of a family of vector-valued Siegel Poincaré series
本文利用可积反全纯离散系列表示的矩阵系数构造了一族向量值Siegel Poincaré级数，为Siegel尖点形式空间提供生成集，并借助Muić积分判据的变体证明了这些级数的非消失性。
A Poincaré series on hyperbolic space
设$L$是签名$(25,1)$的唯一偶自对偶格.自同构群$\operatorname{Aut}(L)$作用在双曲空间$\mathcal{H}^{25}$上。我们研究了一个Poincaré级数$E(z,s)$，它定义为$z$在$\mathcal{H}^{25}$中，对$\operatorname{Re}(s) > 25$收敛，在$\operatorname{Aut}(L)$下不变，并且沿着$L$的反射群的镜面具有奇点。计算了$E(z,s)$在Leech尖点的Fourier展开，证明了它可以亚纯延拓到$\operatorname{Re}(s) > 25/2$ . Kloosterman和zeta函数的解析延拓意味着$E(z,s)$的各个Fourier系数对整个$s$平面具有亚纯延拓。
Orthogonality relations for Poincaré series
本文证明了具有有限中心的连通半单 Lie 群上由 Poincaré 级数给出的尖点自守形式的内积公式，并以此推广了上半平面尖点形式的相关结果。
Poincaré series for modular graph forms at depth two. II. Iterated integrals of cusp forms
我们继续分析模块不变函数，受到非齐次拉普拉斯本征值方程，这是确定在庞加莱系列的配套文件。拉普拉斯方程的源项是两个非全纯爱森斯坦级数（的导数）的乘积，其中模不变量被分配深度为2。这些模不变函数有时可以用全纯爱森斯坦级数的单值迭代积分来表示，因为它们出现在模图形式的生成序列中。我们表明，一套迭代积分的爱森斯坦系列必须扩展到包括也迭代积分的全纯尖点形式找到所有模块化的深度不变函数的表达式。这些尖点形式的系数被确定为它们的L值的内部和外部的临界带的比率。
Modular graph functions and odd cuspidal functions -- Fourier and Poincaré series
模图函数是与模为$τ$的环面上的二维共形场论的费曼图相关联的$SL(2,{\mathbb Z})$不变函数。对于单圈图，他们减少到真正的分析爱森斯坦级数。我们得到了所有双环模图函数的Fourier级数，包括常Fourier模和非常Fourier模，以及它们关于$Γ_\infty \backslash PSL(2,{\mathbb Z})$的Poincaré级数. Fourier级数和Poincaré级数提供了用Rankin-Selberg-Zagier方法计算双环模图函数的Petersson内积的工具。在$τ\to - \bar τ$下是奇数的模图函数是尖点函数，在尖点附近指数衰减，并且存在于两个循环开始。本文利用全纯子图约简和筛法给出了权为$w$的奇双环模图函数空间$\mathfrak{A}_w$的维数下界。对于$w \leq 11$的结合是饱和的，我们表现出$\mathfrak{A}_w$的基础。
Rigid cohomology over Laurent series fields II: Finiteness and Poincaré duality for smooth curves
本文证明了文献[9]中引入的$\mathcal{E}^\dagger_K$值上同调对正特征的洛朗级数域$k((t))$上的平滑曲线是有限维的，并在“经典”$\mathcal{E}_K$值刚性上同调内部形成一个$\mathcal{E}^\dagger_K$格.我们这样做是通过证明一个合适的版本的p-adic局部monodromy理论在$\mathcal{E}^\dagger_K$，然后使用一个的tale推进平滑曲线减少到$\mathbb{A}^1$的情况下。然后，我们引入了具有紧支集的$\mathcal{E}^\dagger_K$值上同调，并再次证明了对于平滑曲线，这是有限维的，并在具有紧支集的$\mathcal{E}_K$值上同调中形成了一个$\mathcal{E}^\dagger_K$格.最后，我们证明了平滑曲线的庞加莱对偶性，但对系数有限制。
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