与酉系综软硬谱边缘相关的算子
Operators associated with the soft and hard spectral edges of unitary ensembles
AI总结：
本文利用 Hilbert 空间上的 Hankel 算子等工具，发展了随机矩阵特征值分布软硬边缘相关算子的理论，刻画了 Gaussian 与 Jacobi 酉系综的算子不变子空间，并发现了新的 Tracy--Widom 型算子族。
摘要：
利用 Hilbert 空间上的 Hankel 算子和移位不变子空间，本文发展了与随机矩阵特征值分布的软边缘和硬边缘相关算子的理论。Tracy 和 Widom 引入了一个投影算子 $W$ 来描述 Gaussian unitary ensemble 谱的软边缘。子空间 $WL^2$ 在平移半群 $e^{itD}$ $(t\geq 0)$ 下是简单不变的，并在 Schrödinger 半群 $e^{it(D^2+x)}$ $(t\geq 0)$ 下是不变的；这些性质通过 Beurling 定理刻画了 $WL^2$。随机矩阵的 Jacobi ensemble 具有正特征值，这些特征值倾向于在零处的硬边缘附近聚集。本文识别了一对满足 von Neumann--Weyl 反对易关系的酉群，并保持 $L^2(0,\infty)$ 的某些子空间不变，这些子空间对于具有 Jacobi 核的算子是不变的。这类 Tracy--Widom 算子是加权 Hardy 空间（即 Sonin 空间）的再生核。Hill 方程的周期解给出了一个新的 Tracy--Widom 型算子族。
英文摘要：
Using Hankel operators and shift-invariant subspaces on Hilbert space, this paper develops the theory of the operators associated with soft and hard edges of eigenvalue distributions of random matrices. Tracy and Widom introduced a projection operator $W$ to describe the soft edge of the spectrum of the Gaussian unitary ensemble. The subspace $WL^2$ is simply invariant under the translation semigroup $e^{itD}$ $(t\geq 0)$ and invariant under the Schrödinger semigroup $e^{it(D^2+x)}$ $(t\geq 0)$; these properties characterize $WL^2$ via Beurling's theorem. The Jacobi ensemble of random matrices has positive eigenvalues which tend to accumulate near to the hard edge at zero. This paper identifies a pair of unitary groups that satisfy the von Neumann--Weyl anti-commutation relations and leave invariant certain subspaces of $L^2(0,\infty)$ which are invariant for operators with Jacobi kernels. Such Tracy--Widom operators are reproducing kernels for weighted Hardy spaces, known as Sonine spaces. Periodic solutions of Hill's equation give a new family of Tracy--Widom type operators.
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