DSM的偏差原理

AI总结：

针对希尔伯特空间中的线性算子方程，提出基于偏差原理的停时准则，并证明动力系统方法（DSM）解的收敛性。

摘要：

设 $Ay=f$，$A$ 是希尔伯特空间 $H$ 中的线性算子，$y\perp N(A):=\{u:Au=0\}$，$R(A):=\{h:h=Au,u\in D(A)\}$ 非闭，$\|f_\delta-f\|\leq\delta$。给定 $f_\delta$，需要构造 $u_\delta$ 使得 $\lim_{\delta\to 0}\|u_\delta-y\|=0$。用于求解 $u_\delta$ 的动力系统方法（DSM）的一个版本是求解问题 \bee \dot{u}_\delta(t)=-u_\delta(t)+T^{-1}_{a(t)} A^\ast f_\delta, \quad u(0)=u_0, \eqno{(\ast)}\eee 其中 $T:=A^\ast A$，$T_a:=T+aI$，且 $a=a(t)>0$，$a(t)\searrow 0$ 当 $t\to\infty$ 时适当选取。证明 $u_\delta:=u_\delta(t_\delta)$ 具有性质 $\lim_{\delta\to 0}\|u_\delta-y\|=0$。这里停时 $t_\delta$ 由偏差原理定义：\bee \eqno{(\ast\ast)}\eee $c\in(1,2)$ 为常数。方程 $(\ast)$ 唯一确定 $t_\delta$ 且 $\lim_{\delta\to 0}t_\delta=\infty$。本文还证明了偏差原理的另一个版本。

英文摘要：

Let $Ay=f$, $A$ is a linear operator in a Hilbert space $H$, $y\perp N(A):=\{u:Au=0\}$, $R(A):=\{h:h=Au,u\in D(A)\}$ is not closed, $\|f_δ-f\|\leqδ$. Given $f_δ$, one wants to construct $u_δ$ such that $\lim_{δ\to 0}\|u_δ-y\|=0$. A version of the DSM (dynamical systems method) for finding $u_δ$ consists of solving the problem \bee \dotu_δ(t)=-u_δ(t)+T^{-1}_{a(t)} A^\ast f_δ, \quad u(0)=u_0, \eqno{(\ast)}\eee where $T:=A^\ast A$, $T_a:=T+aI$, and $a=a(t)>0$, $a(t)\searrow 0$ as $t\to\infty$ is suitably chosen. It is proved that $u_δ:=u_δ(t_δ)$ has the property $\lim_{δ\to 0}\|u_δ-y\|=0$. Here the stopping time $t_δ$ is defined by the discrepancy principle: \bee \eqno{(\ast\ast)}\eee $c\in(1,2)$ is a constant. Equation $(\ast)$ defines $t_δ$ uniquely and $\lim_{δ\to 0}t_δ=\infty$. Another version of the discrepancy principle is also proved in this paper.

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