x/ |x|的加权p-能量极小的一个归纳原理
An Induction Principle for the Weighted p-Energy Minimality of x/|x|
摘要：
本文研究了从欧氏单位球$\mathbf{B}^{n}$到其边界$\mathbb{S}^{n-1}$的映射$x/\|x\|$对加权能量泛函$E^n\_{p,α}(u)=\int\_{\mathbf{B}^{n}} \|x\|^α\|\nabla u\|^p dx$的极小化性质.我们建立了如下的归纳原理：如果映射$\frac{x}{\|x\|}:\mathbf{B}^{n+1}\to \mathbb{S}^n$在满足$u(x)=x$ on $\mathbb{S}^n$的映射$u: \mathbf{B}^{n+1}\to \mathbb{S}^n$中最小化$E^{n+1}\_{p,α}$，则映射$\frac{y}{\|y\|}:\mathbf{B}^n\to\mathbb{S}^{n-1}$在满足$v(y)=y$ on $\mathbb{S}^{n-1}$的映射$v: \mathbf{B}^n\to\mathbb{S}^{n-1}$中最小化$E^{n}\_{p,α+1}$.这一结果使我们能够扩大$x/\|x\|$使$E^n\_{p,α}$最小化的$p$和$α$的值的范围。
英文摘要：
In this paper, we investigate minimizing properties of the map $x/\|x\|$ from the Euclidean unit ball $\mathbf{B}^{n}$ to its boundary $\mathbb{S}^{n-1}$, for the weighted energy functionals $E^n\_{p,α}(u)=\int\_{\mathbf{B}^{n}} \|x\|^α\|\nabla u\|^p dx$. We establish the following induction principle: if the map $\frac{x}{\|x\|}:\mathbf{B}^{n+1}\to \mathbb{S}^n$ minimizes $E^{n+1}\_{p,α}$ among the maps $u: \mathbf{B}^{n+1}\to \mathbb{S}^n$ satisfying $u(x)=x$ on $\mathbb{S}^n$, then the map $\frac{y}{\|y\|}:\mathbf{B}^n\to\mathbb{S}^{n-1}$ minimizes $E^{n}\_{p,α+1}$ among the maps $v: \mathbf{B}^n\to\mathbb{S}^{n-1}$ satisfying $v(y)=y$ on $\mathbb{S}^{n-1}$. This result enables us to enlarge the range of values of $p$ and $α$ for which $x/\|x\|$ minimizes $E^n\_{p,α}$.
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