Ramanujan's Harmonic Number Expansion
Mark B. Villarino
将DeTemple-Wang半整数近似代数变换为调和级数，给出了n阶调和级数的Ramanujan展开式的一般公式和误差估计.
An algebraic transformation of the DeTemple-Wang half-integer approximation to the harmonic series produces the general formula and error estimate for the Ramanujan expansion for the nth harmonic number.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Ramanujan's Approximation to the nth Partial Sum of the Harmonic Series
一个简单的分部积分法和望远镜取消导致严格的推导的前2项的错误在拉马努金的渐近级数的第n部分和的调和级数。然后，库默尔变换给出了三个更多的条款和严格的误差估计。最后是洛奇近似的最佳估计。
Ramanujan's Harmonic Number Expansion into Negative Powers of a Triangular Number
将DeTemple-Wang半整数近似代数变换为调和级数，得到了n阶调和数的Ramanujan展开式的一般公式和误差估计.我们还讨论了历史的拉马努金展开的n次谐波数以及尖锐的估计其准确性，完整的证明，我们比较它与其他近似公式。
Integrals and Series Representations of $q$-Polynomials and Functions: Part II Schur Polynomials and the Rogers-Ramanujan Identities
给出了Ramanujan函数$A_q$和Stieltjes-Wigert多项式的几个展开式和恒等式.我们的恒等式的特殊值给出了$m$ -罗杰斯-拉马努金类型恒等式的斯莱特列表上的一些项目的版本。我们还研究了基本超几何函数理论中某些变换的双边扩张。
On Series Expansions of Capparelli's Infinite Product
Stefano Capparelli在他1988年的Rutgers博士论文中利用Lie理论证明了一个有趣的Rogers-Ramanujan型分拆恒等式。论文第一个证明是由乔治安德鲁斯，使用组合方法。后来，卡帕雷利能够提供一个谎言理论证明。大多数组合Rogers-Ramanujan型恒等式（例如Göllnitz-Gordon恒等式，Rogers-Ramanujan恒等式的Gordon组合推广等）有一个分析对应物。本文的主要目的是给出与Capparelli猜想有关的无穷乘积的两个新的级数表示。一些额外的相关的身份，包括新的无限家庭也提出。
Sharp Bounds for the Harmonic Numbers
我们得到了Lodge-Ramanujan和DeTemple-Wang对n次调和数的近似的最佳可能的上界和下界
An asymptotic expansion inspired by Ramanujan
本文验证了 Ramanujan 笔记本中关于一个和式渐近于 ln(x)+γ 的论断在 n=2 时正确，并讨论了误差项阶数及 n=1 情况的不同正确推广。
Discrete Harmonic Analysis associated with Jacobi expansions II: the Riesz transform
本文是文[1]中有关Jacobi展开式的离散调和分析研究的继续。考虑算子$\mathcal{J}^{(α,β)}=J^{(α,β)}-I$，其中$J^{(α,β)}$是规范化雅可比多项式的三项递推关系，$I$是恒等算子，我们重点研究了与之相关的里斯变换的加权不等式.
Harmonic analysis operators related to symmetrized Jacobi expansions
根据Nowak和Stempak最近提出的对称化程序，我们考虑对称化Jacobi展开的设置。在此框架下，我们研究了几种基本的调和分析算子的映射性质，包括里斯变换、Poisson半群极大算子、Littlewood-Paley-Stein平方函数以及Laplace和Laplace-斯蒂尔切斯变换型乘子.本文在经典Jacobi展开式的初始条件下给出了一些新的结果。
Peanut harmonic expansion for a fundamental solution of Laplace's equation in flat-ring coordinates
在三维欧几里得空间中，导出了拉普拉斯方程在平环圆线坐标系中的基本解的展开式。这种展开式是函数的乘积的二重级数，这些函数在花生形的坐标曲面的内部和外部是调和的，并且与平面环的曲面正交。这些内部和外部花生调和函数表示的Lamé-Wangerin函数。利用基本解的展开式，得到了第二类奇半整数次Legendre函数作为Lamé-Wangerin函数的无穷级数的方位角Fourier分量的加法定理.我们还得到了积分的身份在勒让德函数的第二类产品的三个Lamé-Wangerin功能。在极限情况下，我们得到了球面坐标中基本解的展开式。
Harmonic analysis operators related to symmetrized Jacobi expansions for all admissible parameters
这是我们早期论文的最终完成。数学。Hungar。140（2013），248- 292]，其中在对类型的基本参数的某些限制下，研究了在对称化Jacobi三角展开式的设置中的几个基本调和分析算子的映射性质。在本文中，我们利用Nowak，Sjögren和Szarek最近的结果来完全释放这些限制，并提供更短和更透明的证明以前的限制结果。此外，我们还研究了对称化Jacobi函数展开式的并行背景下类似算子的映射性质。此外，作为我们主要结果的一个推论，我们得到了一些与经典非对称雅可比多项式和函数展开式有关的新结果。
Internal and external harmonics in bi-cyclide coordinates
本文研究了三维欧氏空间中Laplace方程在双环面坐标下的$R$-可分离性，推导了其基本解在内部与外部双环面调和函数乘积中的展开式，并证明了该展开式在极限情形下退化为双球面和长球面坐标中的已知展开式。
Discrete Harmonic Analysis associated with Jacobi expansions III: the Littlewood-Paley-Stein $g_{k}$-functions and the Laplace type multipliers
本文继续在\cite{ACL-JacI}和\cite{ACL-JacII}中进行与Jacobi展开相结合的调和分析的研究。给定算子$\mathcal{J}^{(α,β)}=J^{(α,β)}-I$，其中$J^{(α,β)}$是规范化雅可比多项式的三项递归关系，$I$是恒等算子，定义了相应的Littlewood-Paley-Stein $g_k^{(α,β)}$ -函数，并证明了它们的带权范数的等价性.作为结果，我们推出了拉普拉斯型乘子的结果。
Harmonic analysis operators associated with Laguerre polynomial expansions on variable Lebesgue spaces
本文给出了可测函数$p:(0,\infty)^n\rightarrow [1,\infty)$上与$α$ -Laguerre多项式展开有关的调和分析算子（极大算子、Riesz变换、Littlewood-Paley函数和乘子）在变Lebesgue空间$L^{p(\cdot)} ((0,\infty)^n, μ_α)$上有界的充分条件，其中$dμ_α(x)=2^n\prod_{j=1}^n \frac{x_j^{2α_j+1} e^{-x_j^2}}{Γ(α_j+1)} dx$是$α=(α_1, \dots, α_n)\in [0,\infty)^n$和$x=(x_1,\dots,x_n)\in (0,\infty)^n$ .
Applications of a class of transformations of complex sequences
通过应用Mishev在2018年关于复数序列的一类变换的逆的一个显著结果，我们得到了Ramanujan的$\frac{1}π$的一个著名级数的一个非常简单的证明.然后，我们应用米雪夫变换提供一些相关的超几何身份，包括一个新的和简化的证明一系列的$\frac{1}π$以前获得的Levrie通过傅立叶-勒让德理论的证明。利用Mishev变换推广了这一结果，从而推广了Guillera关于包含三次二项式系数和调和数的Ramanujan级数的一个结果.
Almost everywhere divergence of spherical harmonic expansions and equivalence of summation methods
证明了在$n$ -球面$(n\ge 2)$上存在一个可积函数，其Cesàro（C，$\frac{n-1}{2}$）平均关于球谐展开式几乎处处无界发散.通过研究等价定理，我们也得到了Riesz平均和Bochner-Riesz平均的相应结果。这推广了Stein（1961）关于平坦环面的结果，并补充了Taieton（1985）关于球面的工作。
Expansions for a fundamental solution of Laplace's equation on ${\mathbb R^3}$ in 5-cyclidic harmonics
在三维欧几里得空间中，导出了拉普拉斯方程的基本解在5-圈坐标下的本征函数展开式。有三个这样的扩展方面的内部和外部5-循环谐波的第一，第二和第三类。利用具有五个正则奇点的Fuchsian微分方程的解来表示内、外五圈调和函数。
Concentration estimates for finite expansions of spherical harmonics on two-point homogeneous spaces via the large sieve principle
利用大筛法研究了Laplace-Beltrami算子特征函数有限展开式在紧致两点齐性空间上的集中问题.我们推导出浓度的最大奈奎斯特密度的上界。我们的证明使用估计的球谐函数的基础系数的某些带状滤波器和排序结果的雅可比多项式的参数接近1。
Block-count constrained harmonic sums: spectral expansion and block-directed Euler-Maclaurin
本文精确刻画了固定数字块出现次数下调和和的性质，通过语言分解与随机基数展开建立谱理论，并给出介于欧拉-麦克劳林与泰勒展开之间的块定向插值公式。
Sparse recovery for spherical harmonic expansions
本文证明，通过球面上随机选取的少量样本，可以高效恢复稀疏球谐展开，主要方法是验证预处理随机测量矩阵的受限等距性质，并利用雅可比多项式一致增长的最新估计。
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