$\mathbb{O}$和系统的表面各向同性
Surfaces isotropes de $\mathbb{O}$ et systèmes intégrables
摘要：
在$\mathbb{O}$中我们定义了一个各向同性曲面的概念，即在这个曲面上一些典型的辛形式消失了.利用$\mathbb{O}$中的叉积，我们定义了一个从$\mathbb{O}$的Grassmannian到$S^6$的映射$ρ\colon Gr\_2(\mathbb{O})\to S^6$。这允许我们将函数$ρ\_Σ\colon Σ\to S^6$与$\mathbb{O}$的每个表面$Σ$相关联。然后证明了$\mathbb{O}$中使得$ρ\_Σ$是调和函数的各向同性曲面是完全可积系统的解。使用循环组，我们构建了一个Weierstrass型表示这些表面。通过对$ \mathbb{H}\subset\mathbb{O}$的限制，我们得到了$\mathbb{R}^4$的Hamilton定常拉格朗日曲面作为一个特例，通过对$\text{Im}(\mathbb{H})$的限制，我们得到了$\mathbb{R}^3$的CMC曲面.
英文摘要：
We define a notion of isotropic surfaces in $\mathbb{O}$, i.e. on which some canonical symplectic forms vanish. Using the cross-product in $\mathbb{O}$ we define a map $ρ\colon Gr\_2(\mathbb{O})\to S^6$ from the Grassmannian of $\mathbb{O}$ to $S^6$. This allows us to associate to each surface $Σ$ of $\mathbb{O}$ a function $ρ\_Σ\colon Σ\to S^6$. Then we show that the isotropic surfaces in $\mathbb{O}$ such that $ρ\_Σ$ is harmonic are solutions of a completely integrable system. Using loop groups we construct a Weierstrass type representation of these surfaces. By restriction to $ \mathbb{H}\subset\mathbb{O}$ we obtain as a particular case the Hamiltonian Stationary Lagrangian surfaces of $\mathbb{R}^4$, and by restriction to $\text{Im}(\mathbb{H})$ we obtain the CMC surfaces of $\mathbb{R}^3$.
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