Riemann零点与循环重整化群

多重zeta值循环和公式的组合注记

Combinatorial remarks on the cyclic sum formula for multiple zeta values

多个zeta值是黎曼ζ函数的值在正整数的推广。已知它们满足许多关系，其中包括循环和公式。循环和公式可以通过由第二和第三作者定义的线性算子分层。我们给出了属于每一层的组合参数的关系的数量。

Szegö核的循环乘积与旋量结构求和 I：超椭圆表述

Cyclic products of Szegö kernels and spin structure sums I: hyper-elliptic formulation

本文针对亏格二黎曼面偶旋量结构，利用Szegö核循环乘积的三线性关系与超椭圆表述的协变性，将旋量结构求和简化为基本构建块，为显式计算超弦振幅提供了关键公式。

The size function for imaginary cyclic sextic fields

In this paper, we investigate the size function $h^0$ for number fields. This size function is analogous to the dimension of the Riemann-Roch spaces of divisors on an algebraic curve. Van der Geer and Schoof conjectured that $h^0$ attains its maximum at the trivial class of Arakelov divisors. This conjecture was proved for all number fields with unit group of rank 0 and 1, and also for cyclic cubic fields which have unit group of rank two. We prove the conjecture also holds for totally imaginary cyclic sextic fields, another class of number fields with unit group of rank two.

相对类群p-秩的非Riemann-Hurwitz公式

No Riemann-hurwitz formula for the p-ranks of relative class groups

通过数值例子，我们证明了CM型数域的p-分歧p-扩张K/k中相对类群的p-秩的Riemann-Hurwitz公式的存在性，该数域包含？在p次循环情形下，在对k的p-类群的某些假设下，我们证明了K的p-类群的伽罗瓦结构的某些性质;但是我们通过数值实验发现，在这种特殊情况下，某些理论上的群结构不存在，我们证明了这一事实。然后，我们表明，在这种情况下，Kida的公式λ不变量是有效的p-秩当且仅当P-类组K减少到该组的模糊类，这当然并不总是这种情况。

基于弦理论和QFT的从余紧富克斯群到循环群的表面核满射计数

Counting surface-kernel epimorphisms from a co-compact Fuchsian group to a cyclic group with motivations from string theory and QFT

嵌入到曲面中的图有许多重要的应用，特别是在组合数学、几何学和物理学中。例如，带状图和它们的计数在弦理论和量子场论（QFT）中引起了极大的兴趣。最近，Koch，Ramgoolam和Wen [Nuclear Phys.]，B { \bf 870}（2013），530- 581]给出了一个计算带状图的精确公式，并讨论了它在几个物理问题中的应用。这个公式中的一个重要因子是从一个余紧富克斯群到一个循环群的表面核满射的个数。本文的目的是给出一个明确的和实用的公式，这样的满态的数目。作为结果，我们得到了著名的哈维定理的“等价”形式的循环群的自同构紧黎曼曲面。我们的主要工具是一个显式公式的解决方案的限制一次同余方程最近证明的Bibak等人。使用性能的Ramanujan和有限傅里叶变换的算术函数。

关于素数阶循环群的Noether问题

On Noether's problem for cyclic groups of prime order

设$k$是一个域，$G$是一个有限群，它通过对任意$g,h\in G$的$k$ -自同构$h(x_g)=x_{hg}$作用在有理函数域$k(x_g\,|\,g\in G)$上. Noether的问题是问不变域$k(G)=k(x_g\,|\,g\in G)^G$在$k$上是否有理（即纯粹超越）。1974年，Lenstra给出了交换群$G$的一个充要条件。然而，即使对于素数阶的循环群$C_p$，也不知道是否存在无穷多个素数$p$使得$\mathbb{Q}(C_p)$在$\mathbb{Q}$上有理。只有已知的$\mathbb{Q}(C_p)$对$\mathbb{Q}$有理数的$17$素数$p$是$p\leq 43$和$p=61,67,71$。证明了对于素数$p< 20000$，除了肯定的$17$素数和待定的$46$素数外，$\mathbb{Q}(C_p)$在$\mathbb{Q}$上不是（稳定）有理的.在广义黎曼假设GRH下，证明了对于$46$中的待定$28$素数$p$，$\mathbb{Q}(C_p)$在$\mathbb{Q}$上不是（稳定）有理的.

关于黎曼假设的一个讨论

An essay on the Riemann Hypothesis

黎曼假设是，并希望将保持很长一段时间，一个伟大的动机，发现和探索新的部分数学世界。在回顾了它对代数几何发展的影响之后，我们讨论了三种策略，具体地在显式公式的水平上工作。第一种策略是“分析”的，是基于黎曼空间和塞尔伯格的工作的轨迹公式和比较明确的公式。第二种是基于代数几何和Riemann-Roch定理。我们建立了一个框架，在这个框架中，人们可以转置的许多成分的韦尔证明重新制定的马特，泰特和Grothendieck。这个框架是精心制作的，涉及非交换几何，格罗滕迪克toposes和热带几何。我们指出了剩余的困难，并表明RH给出了一个强大的动机，发展代数几何的新兴世界的特征之一。最后，我们简要地讨论了第三个战略的基础上发展的一个合适的“韦伊上同调”，Segal的伽玛环的作用和拓扑循环同调作为一个模型的“绝对代数”，并作为一个上同调工具。