R. Mrugala 的不定度量与热力学相空间的几何
The indefinite metric of R. Mrugala and the geometry of the thermodynamical phase space
AI总结：
本文研究了均匀热力学系统接触相空间的不定度量，计算了其曲率张量等几何性质，建立了与 Heisenberg Lie 群的同构，并引入了双曲射影化以实现相空间的自然紧致化。
摘要：
我们研究 R. Mrugala 引入的均匀热力学系统接触相空间 $(P,θ)$ 中的不定度量 $G$。我们计算了 $P$ 的曲率张量、Killing 向量场、第二基本形式，以及作为不同均匀热力学系统本构曲面的 Legendre 子流形。我们建立了空间 $(P,θ,G)$ 与赋予了右不变接触结构和右不变不定度量的 Heisenberg Lie 群 $H_n$ 之间的同构。我们研究了度量 $G$ 到接触空间 $(P,θ)$ 辛化空间 $\ P$ 上的提升 $\ G$ 及其曲率性质和 Killing 向量场。最后，我们引入了空间 $(\ P,{\ ilde θ}, \ G)$ 的“双曲射影化”，这可被视为热力学相空间 $(P,θ, G)$ 的自然紧致化。
英文摘要：
We study the indefinite metric $G$ in the contact phase space $(P,θ)$ of a homogeneous thermodynamical system introduced by R. Mrugala. We calculate the curvature tensor, Killing vector fields, second fundamental form of Legendre submanifolds of $P$ - constitutive surfaces of different homogeneous thermodynamical systems. We established an isomorphism of the space $(P,θ,G)$ with the Heisenberg Lie group $H_{n}$ endowed with the right invariant contact structure and the right invariant indefinite metric. The lift $\tG$ of the metric $G$ to the symplectization $\tP$ of contact space $(P,θ)$, its curvature properties, and its Killing vector fields are studied. Finally we introduce the "hyperbolic projectivization" of the space $(\tP,{\tilde θ}, \tG)$ that can be considered as the natural {\bf compactification} of the thermodynamical phase space $(P,θ, G).$
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