多元样条在离散数学中的应用
Application of multivariate splines to discrete mathematics
AI总结：
利用多元样条方法，给出离散截断幂的显式公式，并应用于数论中的整数划分函数、凸多面体相对体积以及Ehrhart拟多项式等经典离散数学问题。
摘要：
利用多元样条中发展的方法，我们给出了离散截断幂的显式公式，该公式定义为线性丢番图方程的非负整数解的数量。我们进一步利用该公式研究离散数学中的一些经典问题如下。首先，我们推广了数论中的整数划分函数。其次，我们利用凸多面体的相对体积与多元截断幂之间的关系，给出了Pitman-Stanley多面体体积公式的一个简单证明。第三，给出了Ehrhart拟多项式的显式公式。
英文摘要：
Using methods developed in multivariate splines, we present an explicit formula for discrete truncated powers, which are defined as the number of non-negative integer solutions of linear Diophantine equations. We further use the formula to study some classical problems in discrete mathematics as follows. First, we extend the partition function of integers in number theory. Second, we exploit the relation between the relative volume of convex polytopes and multivariate truncated powers and give a simple proof for the volume formula for the Pitman-Stanley polytope. Third, an explicit formula for the Ehrhart quasi-polynomial is presented.
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