梯度无界的凸函数

多项式的指数凸化

Exponential convexifying of polynomials

设$X\subset\mathbb{R}^n$是凸闭半代数集，$f$是$X$上的多项式正集.证明了存在一个指数$N\geq 1$，使得对任何$ξ\in\mathbb{R}^n$，函数$φ_N(x)=e^{N|x-ξ|^2}f(x)$在$X$上是强凸的.当$X$是无界的时，我们还必须假设$f$的前导形式在$\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$中是正的。只要$N$足够大，仅假设$f$在$X$上为正，我们得到了$\varPhi_N(x)=e^{e^{N|x|^2}}f(x)$在可能无界的$X$上的强凸性.我们将这些结果应用于凸闭半代数集上多项式的临界点的搜索。