网络动态系统一致性问题的代数刻画

学习服从守恒律的大型网络系统的结构

Learning the Structure of Large Networked Systems Obeying Conservation Laws

许多网络系统，如电子网络、大脑和舆论动力学的社交网络，都遵守守恒定律。这种现象的例子包括电子网络中的基尔霍夫定律和社交网络中的意见共识。网络系统中的守恒定律可以被建模为$X = B^{*} Y$形式的平衡方程，其中$B^{*}$的稀疏模式捕获网络的连通性，并且$Y, X \in \mathbb{R}^p$分别是节点处的“势”和“注入流”的向量。节点势$Y$导致跨边缘的流，并且在节点处注入的流$X$与网络动态无关。在一些实际系统中，网络结构往往是未知的，需要从数据中估计。为此，可以访问节点电位$Y$的样本，但仅访问节点注入$X$的统计。出于这个重要的问题，我们研究的稀疏结构的矩阵$B^{*}$的$Y$的$n$样本的假设下，节点注入$X$遵循高斯分布与已知的协方差$Σ_X$的估计。我们针对网络大小$p$大于样本大小$n$的高维区域中的该问题提出了一种新的$\ell_{1}$ -正则化最大似然估计器。我们表明，这个优化问题是凸的目标，并承认一个唯一的解决方案。在一个新的互不相干条件下，我们建立了三重图$(n,p,d)$上的充分条件，使得$B^{*}$的精确稀疏恢复具有高概率，$d$是图的度.我们还建立了保证$B^{*}$在元素明智的最大值，Frobenius，和运营商规范的恢复。最后，我们补充这些理论结果与实验验证所提出的估计的性能合成和真实世界的数据。