最优物质运输与马瑟理论

Aubry-Mather Theory for Lorentzian Manifolds

We introduce a version of Aubry-Mather theory for the length functional of causal curves in compact Lorentzian manifolds. Results include the existence of maximal invariant measures, calibrations and calibrated curves. We prove two versions of the Mather's graph theorem. A class of examples, the Lorentzian Hedlund examples, shows the optimality of the obtained results.

Schrodinger算子和Mather测度的迁移和大偏差

Transport and large deviations for Schrodinger operators and Mather measures

在这篇综述性论文中，我们考虑了拉格朗日$ L(x,v) = \frac{1}{2} \, |v|^2 - V(x) $，以及环面$ \mathbb{T}^n $上的一个封闭形式$w$。对于相应的哈密顿量，我们考虑薛定谔算子${\bf H}_β=\, -\,\frac{1}{2 β^2} \, Δ+V$，其中$β$是大实参数。此外，对于给定的形式$β\, w$，我们考虑相关的扭曲算子${\bf H}_β^w$。我们用$({\bf H}_β^w)^*$表示相应的后向算子。我们感兴趣的是正本征函数$ ψ_β$与本征值$ E_β$的运营商${\bf H}_β^{w} $。我们将$ ψ_β^*$表示为与算子$({\bf H}_β^{w})^* $的本征值$ E_β$相关联的正本征函数。最后，我们分析了概率$ν_β= ψ_β\, ψ_β^*$在环面上的渐近极限，当$β\to \infty$。极限概率是Mather测度。我们考虑了大偏差的性质，并在输运理论上得到了一个结果。我们表示为$L^{-}(x,v) = \frac{1}{2} \, |v|^2 - V(x) - w_x(v) $和$L^{+}(x,v) = \frac{1}{2} \, |v|^2 - V(x) + w_x(v) $。本文研究了一类自然代价函数下从$μ_{-}$（$L^{-}$的Mather测度）到$μ_{+}$（$L^{…

最优质量运输的极限定理

Limit Theorems for Optimal Mass Transportation

最优质量运输是由蒙日介绍了约200年前，是，今天，来源的大量结果分析，几何和凸性。在这里，我调查了一个新的，令人惊讶的最佳变换之间的联系，通过不同的拉格朗日行动黎曼流形。作为一种特殊情况，对于任何一对质量相等的非负测度$λ^+,λ^-$ $$ W_1(λ^-, λ^+)= \lim_{\eps\to 0} \eps^{-1}\inf_μ W_p(μ+\epsλ^-, μ+\epsλ^+)$$，其中$W_p$，$p\geq 1$是Wasserstein距离，下确界在周围空间中的概率测度集合上。

拉格朗日动力学中的无穷粒子极限与最优输运无网格方法的收敛性

On the infinite particle limit in Lagrangian dynamics and convergence of optimal transportation meshfree methods

研究拉格朗日系统中无穷粒子极限下离散作用泛函的Gamma收敛性，并证明最优输运无网格方法对粒子流近似的收敛性。

应用于资料同化的Feynman-Kac公式的McKean最佳运输前景

A McKean optimal transportation perspective on Feynman-Kac formulae with application to data assimilation

资料同化是将数学模型与观测资料相结合的任务。从数学的角度来看，数据同化导致贝叶斯推理问题，可以用Feynman-Kac公式来表示。在本文中，我们集中在序列性质的许多资料同化问题和它们的数值实现形式的蒙特卡罗方法。我们演示了如何顺序的数据同化可以被解释为随时间变化的马尔可夫过程，这通常被称为McKean方法费曼-卡茨公式。它表明，McKean方法有很自然的联系，耦合的随机变量和最优运输。这个链接允许提出新的顺序蒙特卡罗方法/粒子滤波器。结合本地化，这些新的算法有可能击败灾难的维度，这阻止了粒子滤波器被应用到空间扩展系统。

广义拉格朗日函数的最优运输

Optimal Transportation for Generalized Lagrangian

本文研究了广义Lagrangian $L=L(x, u,t)$的最优运输问题，考虑的代价函数为：$$c(x, y)=\inf_{\substack{x(0)=x\\x(1)=y\\u\in\mathcal{U}}}\int_0^1L(x(s), u(x(s),s), s)ds.$$其中$\mathcal{U}$是一个控制集，$x$满足下面的常方程：$$\dot{x}(s)=f(x(s),u(x(s),s)).$$我们证明了在初始测度$μ_0$相对于r.t.在勒贝格测度下，Monge问题有解，最优输运映射沿着相应的Hamilton-Jacobi方程的特征曲线行走：\begin{equation*} \begin{cases} V_t(t, x)+\sup_{\substack{u\in\mathcal{U}}}<V_x(t, x), f(x, u(x(t), t),t)-L(x(t), u(x(t), t),t)>=0.\\ V(0,x)=ϕ_0(x) \end{cases} \end{equation*}