六元数与幻方

Gaussian Integers, Rings, Finite Fields, and the Magic Square of Squares

We show the 3 by 3 magic square of squares problem equivalent to solving quartic polynomials with certain factorization constraints over an abelian extension of the rationals. We analyze a particular case in which said extension is assumed to be the Gaussian integers resulting a new search method. Additionally, the magic square of squares is analyzed over finite fields and rings of the form Z/nZ resulting in some conjectures enumerating the rings and finite fields in which a magic square of squares can be constructed. Code is made available.

李代数的幻方与矩阵模型

Magic squares and matrix models of Lie algebras

本文研究了特殊单李代数作为经典矩阵李代数的八元数模拟的刻画。我们回顾蒂茨-弗赖登塔尔建设的幻方，其中包括特殊的李代数的八元数的情况下，一个建设方面的约旦代数厄米特3x 3矩阵（山雀）或各种平面和其他几何（弗赖登塔尔）。我们提出了幻方的替代结构，解释其对称性，并明确显示如何使用分裂复合代数导致类似的矩阵李代数su（3），sl（3）和sp（6）。我们采用幻方结构来包含所有实除代数的su（2），sl（2）和sp（4）的类似物。

三重性与汉斯·弗里德里希的魔方

Triality and the Magic Square of Hans Freudenthal

本文通过张量代数研究实三重性结构，构建了双三重性算子的李代数，证明了雅可比恒等式，并将结果与魔方中的相应条目统一。还探讨了由此产生的不变双线性形式和克利夫顿理论结构。

杨-米尔斯平方的幻方

A magic square from Yang-Mills squared

用实数（R）、复数（C）、四元数（H）和八元数（O）四种除代数给出了N = 1，2，4和8超对称的D = 3超杨-米尔斯理论的统一描述.对N = 1，2，4，8的左右超杨-米尔斯多重态进行张量处理，得到了N = 2，3，4，5，6，8，9，10，12，16的D = 3超引力的幻方RR，CR，CC，HR，HC，HH，OR，OC，OH，OO描述.

反射与旋转的幻方

The magic square of reflections and rotations

本文基于 Coxeter 的工作建立秩二复反射群与 $O(3)$ 实反射群的双射，并在 Clifford 代数与 (s)pin 群框架下解释并探索小维度的反射旋转幻方。

李代数的幻方

Magic Squares of Lie Algebras

本文的改进（精简和扩展）版本可作为math.RA/0203010获得，但省略了一些细节。我们建议使用最新版本，除非有必要的细节。

The Mile High Magic Pyramid

Using a unified formulation of $\mathcal{N} = 1, 2, 4, 8$, super Yang-Mills theories in $D = 3$ spacetime dimensions with fields valued respectively in $\mathbb{R, C, H, O}$, it was shown that tensoring left and right multiplets yields a Freudenthal magic square of $D = 3$ supergravities. When tied in with the more familiar $\mathbb{R, C, H, O}$ description of super Yang-Mills in $D = 3, 4, 6, 10$ this results in a magic pyramid of supergravities: the known $4 \times 4$ magic square at the base in $D=3$, a $3\times 3$ square in $D=4$, a $2 \times 2$ square in $D=6$ and Type II supergravity at …

关于分裂Freudenthal-Tits幻方第二列的簇

On the varieties of the second row of the split Freudenthal-Tits Magic Square

我们的主要目的是提供四个复Severi簇的任意域上的类似物的统一几何特征，即~ 5维射影空间中的二次Veronese簇、8维射影空间中的Segre簇、14维射影空间中的线Grassmannian簇和26维射影空间中的$\mathsf{E}_{6}$型例外簇。我们的定理可以看作是Mazzocca和Melone的方法，有限二次Veronesean品种的一个深远的推广。该方法以复Severi簇的射影性质为光滑簇作为公理。

具有对称性的矩阵超代数

On Superalgebras of Matrices with Symmetry Properties

已知半幻方以中心点反射对称的偶奇子空间为两个分量构成2-分次代数或超代数。我们表明，其他对称性已被研究的方阵产生类似的超代数结构，指向新的对称类型在其互补部分。特别是，这提供了一个统一的框架，复合“最完满平方”对称性和相关类的“可逆平方”，此外，半幻方代数被确定为一般方阵代数的2阶的一部分。我们推导出明确的表示公式的所有对称类型的矩阵考虑，它可以用来构建所有这样的矩阵。

一个神奇的超重力金字塔

A magic pyramid of supergravities

通过用一个拉格朗日量和一组变换规则来表示N = 1，2，4，8，D = 3，Yang-Mills，但场值分别为R，C，H，O，最近证明了张左和右多重态产生D = 3超引力的Freudenthal-Rosenfeld-Tits幻方。这随后与更熟悉的时空的R，C，H，O描述联系起来，给出了D = 3，4，6，10中扩展的超杨-米尔斯的统一的除法代数描述。在这里，这些结构聚集在一起，形成了一个神奇的超重力金字塔。D = 3的金字塔底部是已知的4x 4幻方，而更高的层次是由D = 4的3x 3正方形，D = 6的2x2正方形和D = 10的顶点II型超重力组成。相应的U-对偶群由一个新的代数结构给出，魔金字塔公式，它可以被认为是定义在三个除代数上，一个用于时空和每个左/右杨-米尔斯多重态。通过张量D = 3，4，6中的共形超多重态，我们还构造了一个共形魔金字塔. D = 10中的缺失项暗示了具有G/H对偶结构F4（4）/Sp（3）x Sp（1）的奇异理论。

特征为3的超幻方与Jordan超代数

The Supermagic Square in characteristic 3 and Jordan superalgebras

最近，经典的弗赖登塔尔幻方已经扩展到特征为3的域上，其中多了两行和两列填充了（大多是简单的）具有该特征的李超代数。这个超幻方将被审查和一些简单的李超代数出现将被证明是同构的Tits-Kantor-Koecher李超代数的一些约旦超代数。