半Pfronan偶相对闭包的拓扑复杂性

可定义Hausdorff极限的拓扑

Topology of definable Hausdorff limits

设$A\sub \R^{n+r}$是实域的O-极小展开$§$中可定义的集合，$A' \sub \R^r$是它的投影，并假定非空纤维$A_a \sub \R^n$对所有$a \in A'$是紧的且一致有界，{ \em即}所有的纤维都包含在一个球的固定半径$B(0,R).$如果$L$是Hausdorff极限的一系列纤维$A_{a_i},$，我们给一个上限的贝蒂数$b_k(L)$在可定义的设置明确构建从纤维$A_a.$特别是，这允许建立有效的复杂性界限在半代数的情况下，并在Pfiran的情况下。在Pfronan设置中，Gabrielov引入了{ \em相对闭包}来构造由Pfronan函数生成的o-极小结构$§_\pfaff$，以适应复杂性问题。我们的结果可以用来估计相对闭包$(X,Y)_0$在$Y$为空的特殊情况下的Betti数。