Highlights from "The Ramanujan Property for Simplicial Complexes" [arXiv:1605.02664]
本文介绍了“单纯复形的Ramanujan性质“[arXiv：1605.02664]中的主要定义和结果.没有证据。给定单纯复形$\mathcal{X}$和作用于$\mathcal{X}$的群$G$，定义了$\mathcal{X}$的Ramanujan代数.对于$G$和$\mathcal{X}$适当地选择这恢复拉马努金$k$ -正则图和拉马努金复合物在Lubotzky，Samuels和Vishne的意义。当$\mathcal{X}$是$\mathbf{GL}_n$的内部形式在正特征的局部域上的仿射构造时，自守表示中的深入结果被用来给出Ramanujan对偶的新例子.
2016-07-07 math.CO math.NT math.RT
Ramanujan Complexes and bounded degree topological expanders
在过去的四十年里，扩展图一直是计算机科学的一个关注焦点。近年来，一个高维膨胀子理论正在兴起。有几种可能的推广理论的扩张单纯复形，其中脱颖而出的共边界扩张和拓扑扩张。我们知道，对于每个d，都有维数为d的无界次数单纯复形具有这些性质。然而，一个主要的开放问题，制定了格罗莫夫，是否有界度高维扩张，根据这些定义，存在d >= 2。我们提出了一个显式的结构维数d = 2的有界度复形，这是高维扩展。更确切地说，我们的主要结果说，2-骨架的三维Ramanujan复合物是拓扑扩张。假设Serre关于同余子群性质的一个猜想，它们中的无穷多个也是上边界扩张子。
2014-08-27 cs.CC math.CO math.GR
From Ramanujan Graphs to Ramanujan Complexes
Ramanujan图是一类谱最优有界的图。这种图在组合数学和计算机科学中有许多应用。近年来，出现了一个高维理论。在本文中，这些发展进行了调查。在解释了它们与拉马努金猜想的联系后，我们将提出一些新的和旧的结果，重点是这些离散对象和欧几里得球面上的随机游动。后者导致了在量子计算中具有重要意义的“金门”。
2019-04-06 math.CO math.NT math.RT
Isoperimetric Inequalities for Ramanujan Complexes and Topological Expanders
在过去的四十年里，扩展图得到了广泛的研究。近年来出现了一个膨胀子的高维理论，并研究了几个变体。其中最突出的是上边界扩展和拓扑扩展。已知对每一个$d$都存在维数为$d$的具有这些性质的无界度单纯复形.然而，一个主要的开放问题，制定Gromov，是是否有界的程度高维扩展存在$d \geq 2$。我们提出了一个明确的结构维数$d=2$，这是拓扑扩张的有界度复形，从而回答了Gromov的问题是肯定的。在Serre关于同余子群性质的一个猜想的条件下，这些子族的无穷子族也给出了一族有界度的上边界扩张子。主要的技术工具是Ramanujan复形的新的等周不等式。我们证明了这些复合物的$F_2$收缩不变量的线性尺寸界，这似乎是第一个线性$F_2$收缩界。由这些等周不等式导出了展开式的结果。
2014-09-04 cs.CC math.CO math.GR
The Ramanujan Property for Simplicial Complexes
设$G$是一个作用在满足一定条件的单纯复形$\mathcal{X}$上的拓扑群.例如，考虑$k$ -正则树及其自同构群，或者更一般地，考虑正则仿射Bruhat-Tits建筑及其自同构群。我们通过$G$的子群定义和研究了$\mathcal{X}$的子的各种类型的高维谱。这些谱包括许多自然算子的谱，例如高维拉普拉斯算子。我们证明了一个定理的阿隆-Boppana定理的精神，导致一个概念的拉马努金的约束$\mathcal{X}$。Ramanujan $k$ -正则图和Ramanuajn复形在Lubotzky，Samuels和Vishne的意义上是Ramanujan在$0$维度上根据我们的定义（对于$\mathcal{X}$，适当选择$G$）.我们给出了一个标准的商$\mathcal{X}$是Ramanujan这是措辞的表示$G$，并使用它，连同深的结果自守表示，以显示仿射建筑物的内部形式的$\mathbf{GL}_n$在当地的领域的积极特征承认无穷多个subjectents是Ramanujan在所有维度。拉马努金（在尺寸$0$）复杂的Lubotzky，Samuels和Vishne构建出现作为一个特殊的情况下，我们的建设。我们的建设也产生了拉马努金图这显然是新的。还讨论了其他应用。例如，我们表明，有非同构simiplicial复杂的isospectral在所有维度。
2016-07-07 math.CO math.NT math.RT
Random walks on Ramanujan complexes and digraphs
Ramanujan图上的随机游动的截断现象最近被第一作者和Peres证实。在这项工作中，我们得到类似物在更高的维度，随机游走算子的任何拉马努金复杂的一个简单的组$G$在一个本地字段$F$。我们证明了如果$T$是任意的$k$ -正则$G$ -等变算子，其在具有简单组合性质（无碰撞）的Bruhat-Tits建筑上的随机游动在$n$ -顶点Ramanujan复形上截止于时间$\log_k n$ .高维的情况下，不像图，需要从非交换调和分析和无限维表示理论的$G$的工具。通过这些，我们表明，运营商$T$如上所述的Ramanujan复合物产生的Ramanujan有向图的特殊性质（$r$ -正常），意味着切断。应用程序包括测地流算子，几何含义，并确认黎曼假设的相关zeta函数在每个组$G$，以前已知的类型$\widetilde A_n$和$\widetilde C_2$的群体。
2017-03-07 math.CO math.PR math.RT
Ramanujan Complexes from Unitary Groups over Number Fields
Succinct Inc（Succinct公司）；University of Vienna, Fakultät für Mathematik（维也纳大学，数学学院）；Institute for Advanced Study in Mathematics of Harbin Institute of Technology（哈尔滨工业大学数学高等研究院）
本文通过超定酉群构建新的拉马努金复形家族，揭示了其在不同秩上的结构，并展示了在秩5时的显式例子，为实李群PU(5)提供了黄金门。
2026-03-06 math.CO math.NT math.RT
High dimensional expanders and coset geometries
本文利用陪集几何为交换含幺环上有限生成代数的初等矩阵群构造对称、自足且有界度的新高维扩张子，并得到接近 Ramanujan 界的扩张图及对称 LDPC 码应用。
2023-09-28 math.CO math.GR
On the reduced Euler characteristic of independence complexes of circulant graphs
令$G$为具有$S\subseteq\{ 1,\ldots,\left \lfloor\frac{n}{2}\right \rfloor\}$的循环图$C_n(S)$。研究了独立复形$n=p^k$的约化欧拉示性数$\tildeχ$，证明了在这两种情况下$n=2p^k$不为零.我们还给出了一个循环图的例子，它的独立复形有$\tildeχ$等于$0$，给出了R的否定答案.星野
2018-04-12 math.CO
New Cosystolic Expanders from Tensors Imply Explicit Quantum LDPC Codes with $Ω(\sqrt{n}\log^kn)$ Distance
在这项工作中，我们引入了一个新的概念，在更高的维度，这是强于研究costostolic膨胀的概念，并被称为{ \em集体costolic膨胀}。我们表明，张紧两个cosystolic扩张器产生一个新的cosystolic扩张器，假设产品中的复合物之一，不仅是cosystolic扩张器，而是一个集体cosystolic扩张器。然后，我们表明，众所周知的有界度cosystolic扩张，Ramanujan复合物，事实上，集体cosystolic扩张。这使我们能够构建新的有界度cosystolic扩张，拉马努金复杂的张量。利用我们新构造的有界度同收缩展开子，我们构造了{ \em显式}量子LDPC码的距离$\sqrt{n} \log^k n$的任何$k$，改善了最近的结果埃夫拉等。等人的\cite{EKZ}，并且为显式量子LDPC码的距离设置了新的记录。\cite{EKZ}的工作利用了发生在Ramanujan复合物中的高维膨胀概念，称为共收缩膨胀。我们的改进是通过考虑拉马努金复形的张量积，并利用其新导出的属性，集体costostolic扩展。
2020-11-16 cs.IT math.CO math.IT
Bounded Degree Cosystolic Expanders of Every Dimension
在这项工作中，我们提出了一个新的本地到全球的标准，证明了一种形式的高维膨胀，我们的术语costostolic膨胀。应用这一标准的拉马努金复体，产量为每一个维度，一个无限家庭的有界度复体的拓扑重叠属性。这个答案肯定地回答了格罗莫夫提出的一个悬而未决的问题。
2017-01-26 cs.CC cs.DM math.CO
H-vectors of simplicial complexes with Serre's conditions
研究了满足Serre条件（$S_r$）的单纯复形的$h$ -向量.我们说一个单纯复形$Δ$满足Serre条件（$S_r$），如果$\tilde H_i(\lk_Δ(F);K)=0$对所有的面$F \in Δ$和对所有的$i < \min \{r-1,\dim \lk_Δ(F)\}$，其中$\lk_Δ(F)$是$Δ$关于$F$的环，$\tilde H_i(Δ;K)$是$Δ$在域$K$上的约化同调群.本文的主要结果是：如果$Δ$满足Serre条件（$S_r$），则（i）$h_k(Δ)$对$k =0,1,...,r$非负，（ii）$\sum_{k\geq r}h_k(Δ)$非负.
2009-12-06 math.AC math.CO
On Lusztig-Dupont homology of flag complexes
设$V$是$q$阶有限域上的$n$维向量空间.与$GL(V)$相关联的球形建筑物$X_V$是$V$的非平凡线性子空间的阶复形。设$\mathfrak{g}$是$X_V$上的局部系数系，其在单纯形$σ=[V_0 \subset \cdots \subset V_p] \in X_V$上的值由$\mathfrak{g}(σ)=V_0$给出。在Lusztig和Dupont工作的基础上，我们研究了同调模$D^k(V)=\tilde{H}_{n-k-1}(X_V;\mathfrak{g})$ .我们的结果包括一个明确的基础$D^1(V)$的建设，和以下扭曲的史密斯和Yoshiara的结果类似：对于任何$1 \leq k \leq n-1$，非零$(n-k-1)$ -循环的扭曲同源$\tilde{H}_{n-k-1}(X_V;\wedge^k \mathfrak{g})$的最小支持大小是$\frac{(n-k+2)!}{2}$。
2018-07-13 math.CO
Weighted sheaves and homology of Artin groups
本文推广了偏序集上的加权层理论，并利用它研究了Artin群的局部同调。首先，我们使用这样的理论联系起来的同调的经典辫群与某些独立复形的图。然后，在加权层上的离散莫尔斯理论的背景下，我们引入了一类特殊的非循环匹配。根据相关的关联矩阵的秩，给出了相应Morse复形的同调的显式公式。我们使用这种方法对新的仿射情形$\tilde C_n$以及$A_n$、$B_n$和$\tilde{A}_n$（它们已经用不同的方法完成）进行了显式计算。
2020-12-06 math.AT math.CO math.GR
Higher dimensional digraphs from cube complexes and their spectral theory
我们定义了$k$维有向图，并开始了它们的谱理论的研究。$k$ -维有向图可以看作是小范畴的生成图，称为$k$ -图。在几何知识的指导下，我们得到了几个新的系列的$k$ -图使用立方体复盖的笛卡儿积的树，$k \geq 2$。这些$k$ -图不能表示为虚拟产品，并构成新的模型，这样的小范畴。对所有$k\geq 2$，构造出秩- $k$ Cuntz-Krieger代数.引入了满足最优谱隙性质的Ramanujan $k$ -图，并给出了如何构造基本的$k$ -有向图.
2022-11-05 math.CO math.CT math.GR
Exploring Homological Properties of Independent Complexes of Kneser Graphs
本文研究Kneser图独立复形的同调性质，通过射影平面和交叉多胞形构造同调生成元并给出同调秩下界，同时利用与Vietoris-Rips复形的等价性建立同调传播结果。
2024-04-16 math.CO
Garland's Technique for Posets and High Dimensional Grassmannian Expanders
自Garland [G]的开创性工作至今，局部到全局机制在单纯复形的研究中起着重要的作用。在这项工作中，我们开发了一个本地的全球机制一般偏序集。我们证明了高维扩张概念和最近的一些扩张结果对偏序集的推广。例子是高维随机游动的快速收敛推广[KO，AL]，一个等价的全球随机游动定义，推广[DDFH]和涓滴定理，推广[O]。特别地，我们证明了某些偏序集，如格拉斯曼偏序集，表现出比单纯复形更强的滴流效应。利用这些方法，结合Posetification的新思想，对Ramanujan复形[LSV 1，LSV 2]构造了一个常度扩张的Grassmannian偏序集，并分析了它的扩张.这是第一个这样的对象的建设，其存在是在[DDFH]。
2022-09-13 cs.CC math.CO
Toward a KKL Theorem for any HDX
Institute for Advanced Study（高等研究院）
本文提出一种局部到全局方法，证明任何链接满足KKL定理的单纯复形整体也满足KKL型定理，并给出组合高维扩展器上非扩展函数的首次刻画。
2026-06-28 cs.CC cs.DM math.CO
Laplacian eigenvalues of independence complexes via additive compound matrices
本文通过加性复合矩阵建立独立复形拉普拉斯特征值与图拉普拉斯特征值的新下界，并由此给出约化同调群消失的充分条件，推广了已有结果。
2024-12-18 math.CO
