$R^{4n}$上的二重积和超辛结构

Hypersymplectic structures on Courant algebroids

We introduce the notion of hypersymplectic structure on a Courant algebroid and we prove the existence of a one-to-one correspondence between hypersymplectic and hyperkähler structures. This correspondence provides a simpler way to define a hyperkähler structure on a Courant algebroid. We show that hypersymplectic structures on Courant algebroids encompass hyperkähler and hyperkähler structures with torsion on Lie algebroids. In the latter, the torsion existing at the Lie algebroid level is incorporated in the Courant structure. Cases of hypersymplectic structures on Courant algebroids which a…

半直积上的伪凯勒与超辛结构

Pseudo-Kähler and hypersymplectic structures on semidirect products

该研究在李代数层面探究半直积上的左不变伪凯勒与超辛结构，分类了特定维度参数的伪凯勒半直积，还构造出非阿贝尔复结构的超辛李代数与多类非平坦超辛度量。

Hypersymplectic 4-manifolds, the $G_2$-Laplacian flow and extension assuming bounded scalar curvature

A hypersymplectic structure on a 4-manifold $X$ is a triple $\underlineω$ of symplectic forms which at every point span a maximal positive-definite subspace of $Λ^2$ for the wedge product. This article is motivated by a conjecture of Donaldson: when $X$ is compact $\underlineω$ can be deformed through cohomologous hypersymplectic structures to a hyperkähler triple. We approach this via a link with $G_2$-geometry. A hypersymplectic structure $\underlineω$ on a compact manifold $X$ defines a natural $G_2$-structure $ϕ$ on $X \times \mathbb{T}^3$ which has vanishing torsion precisely when $\under…

特殊辛李群与超辛李群

Special symplectic Lie groups and hypersymplectic Lie groups

一个特殊的辛李群是一个三元组$(G,ω,\nabla)$，使得$G$是一个有限维实李群，$ω$是$G$上的一个左不变辛形式，它平行于一个左不变仿射结构$\nabla$。本文从一个特殊的辛李群出发，给出了如何通过左不变仿射结构$\nabla$对（余）切丛上的标准李群结构进行"变形”，使得所得到的李群包含左不变超辛结构族，从而成为超辛李群.我们考虑仿射余切扩张问题，然后引入后仿射结构和后左对称代数的概念，这是一个特殊的辛李代数的基本代数结构。此外，我们还利用后左对称代数给出了特殊辛李群的一类双重扩张。

李代数上的复积结构

Complex Product Structures on Lie Algebras

研究了实李代数的相容复结构和乘积结构，包括大量的4维例子。如果g是具有这种结构的李代数，则它的复化具有超复结构。此外还证明了g分裂为两个左对称子代数之和。这些结果的解释是相关的超复和超辛流形及其相关的连接的理论。

复辛代数的弱镜像对称性

Weak Mirror Symmetry of Complex Symplectic Algebras

李代数$\lie h$上的复辛结构是具有封闭的非退化$(2,0)$ -形式的可积复结构$J$。它由$J$和$(2,0)$ -形式的实部$Ω$确定。设$\lie h$是半直积$\lie g\ltimes V$，并且$\lie g$和$V$都是关于$Ω$的拉格朗日函数，都是关于$J$的全实数.本文证明了控制$Ω$和$J$扩张变形的微分Gerstenhaber代数是同构的，在这个意义上，$\lie g\ltimes V$是它自己的弱镜像.半直积$\lie g\ltimes V$上的$(Ω, J)$的几何也被证明等价于李代数$\lie g$上的无挠平坦辛联络的几何。进一步探讨了$(J, Ω)$与超辛代数之间的关系，得到了从$4n$维复辛代数的数据构造$8n$维复辛代数族的归纳过程.