从几何厚度中分离厚度

从书本厚度中分离几何厚度

Separating Geometric Thickness from Book Thickness

我们证明了几何厚度和书本厚度不是渐近等价的：对于每一个t，存在一个几何厚度为2且书本厚度>= t的图。

完全图的几何厚度

Geometric Thickness of Complete Graphs

我们定义一个图的几何厚度为最小层数，使得我们可以在平面上画出具有直线边的图，并将每条边分配给一个层，使得同一层上的两条边不交叉。几何厚度介于两个先前研究的量之间，即（图形理论）厚度和书本厚度。研究了完全图族K_n的几何厚度。我们证明了K_n的几何厚度介于ceiling（（n/5.646）+ 0.342）和ceiling（n/4）之间，并对n ≤ 12和n在{15，16}中给出了K_n的几何厚度的精确值.我们还考虑了完全二部图族的几何厚度。特别是，我们表明，不同于完全图的情况下，有完全二部图的任意大数目的顶点的几何厚度与标准图论厚度一致。

On the geometric thickness of 2-degenerate graphs

A graph is 2-degenerate if every subgraph contains a vertex of degree at most 2. We show that every 2-degenerate graph can be drawn with straight lines such that the drawing decomposes into 4 plane forests. Therefore, the geometric arboricity, and hence the geometric thickness, of 2-degenerate graphs is at most 4. On the other hand, we show that there are 2-degenerate graphs that do not admit any straight-line drawing with a decomposition of the edge set into 2 plane graphs. That is, there are 2-degenerate graphs with geometric thickness, and hence geometric arboricity, at least 3. This answer…

On the Shortest Separating Cycle

According to a result of Arkin~\etal~(2016), given $n$ point pairs in the plane, there exists a simple polygonal cycle that separates the two points in each pair to different sides; moreover, a $O(\sqrt{n})$-factor approximation with respect to the minimum length can be computed in polynomial time. Here the following results are obtained: (I)~We extend the problem to geometric hypergraphs and obtain the following characterization of feasibility. Given a geometric hypergraph on points in the plane with hyperedges of size at least $2$, there exists a simple polygonal cycle that separates each hy…

有界度图具有极大的几何厚度

Bounded-Degree Graphs have Arbitrarily Large Geometric Thickness

图G的几何厚度是使G有一条直线图且其边集被划分为k个平面子图的最小整数k。Eppstein [将厚度与几何厚度分开。在：走向几何图形的理论，第342卷的Contemp。数学、AMS，2004]问是否每个有界最大度的图都有界几何厚度。通过证明存在具有任意大几何厚度的Delta-正则图，我们否定地回答了这个问题。特别地，对所有Delta >= 9和所有大的n，存在一个几何厚度至少为c Delta^{1/2} n^{1/2 - 4/Delta -n}的Delta-正则图.类似的结果，有关图的图纸，很少的边缘斜率也提出了，从而解决了开放的问题Dujmovic'等人。第12届国际研讨会《论图形绘制》（GD '04），《计算机讲义》第3383卷。科学，Springer，2004]和Ambrus et al. [The slope parameter of graphs. Tech. MAT-2005-07，丹麦技术大学数学系，2005年]。

图形树宽和几何厚度参数

Graph Treewidth and Geometric Thickness Parameters

考虑在平面上绘制一个图$G$，使得交叉边的颜色不同。在$G$的所有图纸上采用的最小颜色数是经典的图形参数“厚度”。通过将边缘限制为直的，我们获得“几何厚度”。通过进一步限制顶点在凸位置，我们得到了“书厚”。本文研究了这些参数与树宽的关系。我们的第一个主要结果表明，对于树宽$k$的图，最大厚度和最大几何厚度都等于$\lceil{k/2}\rceil$。这意味着厚度的下界可以由上界匹配，即使在更严格的几何设置中。我们的第二个主要结果表明，对于树宽为$k$的图，如果$k \leq 2$，则最大书厚等于$k$，如果$k \geq 3$，则最大书厚等于$k+1$。这反驳了Ganley和Heath的一个猜想[Discrete Appl. Math.109（3）：215-221，2001]。类似的结果被证明为outerthickness，荫度，和星荫度。