泊松超代数的Shapovalov行列式
The Shapovalov determinant for the Poisson superalgebras
AI总结：
本研究针对几类无Cartan矩阵但含二次偶Casimir元C₂的单Z阶李超代数及相关泊松超代数，利用C₂计算其Shapovalov行列式，并将A. Shapovalov的不可约表示结果推广到Verma模，给出不可约性判据。
摘要：
在具有多项式增长的单Z阶李超代数中，有几类不存在Cartan矩阵但仍具有二次偶Casimir元C₂的代数：分别是保持接触形式的(1|6)维超圆上向量场的李超代数k^L(1|6)，以及两个系列：含2k个奇不定元的特殊哈密顿场的有限维李超代数sh(0|2k)，还有sh(0|2k)的Kac-Moody版本。利用C₂，我们计算了k^L(1|6)、sh(0|2k)以及与sh(0|2k)相关的泊松超代数po(0|2k)的N. Shapovalov行列式。A. Shapovalov曾描述了po(0|n)和sh(0|n)的不可约有限维表示；我们将他的结果推广到Verma模：给出了po(0|2k)和sh(0|2k)上Verma模的不可约性判据。
英文摘要：
Among simple Z-graded Lie superalgebras of polynomial growth, there are several which have no Cartan matrix but, nevertheless, have a quadratic even Casimir element C_{2}: these are the Lie superalgebra k^L(1|6) of vector fields on the (1|6)-dimensional supercircle preserving the contact form, and the series: the finite dimensional Lie superalgebra sh(0|2k) of special Hamiltonian fields in 2k odd indeterminates, and the Kac--Moody version of sh(0|2k). Using C_{2} we compute N. Shapovalov determinant for k^L(1|6) and sh(0|2k), and for the Poisson superalgebras po(0|2k) associated with sh(0|2k). A. Shapovalov described irreducible finite dimensional representations of po(0|n) and sh(0|n); we generalize his result for Verma modules: give criteria for irreducibility of the Verma modules over po(0|2k) and sh(0|2k).
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