Free Entropy
Dan Voiculescu
自由熵是自由概率论中熵的类似物。本文是一个调查的自由熵，其应用冯诺依曼代数，连接到随机矩阵理论和讨论的开放问题。
Free entropy is the analogue of entropy in free probability theory. The paper is a survey of free entropy, its applications to von Neumann algebras, connections to random matrix theory and a discussion of open problems.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Relative entropy for von Neumann subalgebras
我们重新审视指数和相对熵之间的联系有限冯诺依曼代数的包含。我们观察到，Pimsner-Popa指数连接到夹层Renyi $p$ -所有$1/2\le p\le \infty$的相对熵，包括在$p=1$的Umegaki的相对熵。在此基础上，我们引入了一个新的子代数的相对熵表示法，推广了子因子指数。这种相对熵在量子马尔可夫半群的退相干时间估计中有应用。
Free probability, free entropy and applications to von Neumann algebras
首先，我们在算子代数的框架下解释了非交换概率论中的一些基本概念。在第二节中，我们讨论了冯诺依曼代数的相关问题。第3节和第4节包含自由概率论中的一些关键思想和结果。最后一节陈述了自由概率论的一些重要应用。
The free entropy dimension of hyperfinite von Neumann algebras
设M是一个具有迹态$ϕ$的超有限von Neumann代数，$\{a_1,...,a_n\}$是M的一组自伴生成元.我们计算了$δ_0(a_1,...,a_n)$，修正的自由熵维数的$\{a_1,...,a_n\}$。此外，我们还证明了$δ_0(a_1,...,a_n)$只依赖于M和$ϕ$ .因此，$δ_0(a_1,...,a_n)$与M的生成元的选择无关。在论证过程中，我们证明了：如果$\{b_1,...,b_n\}$是一个具有迹态的von Neumann代数R的自伴生成元集，且$\{b_1,...,b_n\}$有有限维逼近，则对任何$b\in R$ $δ_0(b_1,...,b_n)\geq δ_0(b)$ .结合Voiculescu的结果，这意味着如果R有一个正则扩散超有限冯诺依曼子代数，则$δ_0(b_1,...,b_n)=1$。
Free Orbit Dimension of Finite von Neumann Algebras
本文引入了有限vonNeumann代数的上自由轨道维数的概念，并得到了它的一些基本性质。利用这一概念，我们可以改进自由熵在有限von Neumann代数上的应用，包括具有Cartan子代数或单masas的代数，非素因子，具有$T,$性质的代数，具有$Γ$性质的代数，以及瘦因子.给出了Voiculesu自由熵维数至多为$1 $的II $_{1} $ von Neumann代数的更多例子.我们的方法给出了一个惊人的简单的方法来获得自由熵维数的主要结果，和文件几乎是独立的。
All generating sets of all property T von Neumann algebras have free entropy dimension $\leq 1$
设$N$是一个扩散性质的T von Neumann代数，X是N的自伴元的任意有限生成集.通过使用刚性/变形参数适用于表示N在全矩阵代数，我们推导出X的微观状态空间是渐近离散的酉共轭。我们用这个描述来证明X的自由熵维数$δ_0(X)$小于或等于1。因此，当N嵌入到超有限$\mathrm{II}_1$ -因子的超积中时，则为$δ_0(X)=1$，否则为$δ_0(X)=-\infinity$。这推广了Voiculescu和Ge，Shen关于$SL_n(\mathbb Z)$的早期结果以及Connes，Shlyakhtenko关于任意性质T代数的群生成元的结果。
Strongly 1-bounded von Neumann algebras
设F是迹vonNeumann代数M中自伴元的有限集。对于$α>0$，F是$α$ -有界的，如果F的自由堆积$α$ -熵从上有界.我们说M是强1-有界的，如果M有一个1-有界的自伴生成元有限集F，使得F中存在一个x，且F的自由熵有限。证明了若M是强1-有界的，则M的自伴生成元G的任何有限集都是1-有界的，且G的微观态自由熵维数小于等于1，从而证明了强1-有界的von Neumann代数不同构于插值自由群因子，且微观态自由熵维数是这些代数的不变量.强1-有界von Neumann代数的例子包括具有Gamma性质的（可分）II_1-因子，具有Cartan子代数，非素的，或SL_n（Z），n >2的群von Neumann代数。如果M和N是强1-有界的且它们的交是扩散的，则由M和N生成的von Neumann代数是强1-有界的。特别地，两个强1-有界von Neumann代数的自由积在一个公共的扩散von Neumann子代数上的合并是强1-有界的。证明了由强1-有界von Neumann子代数的正规化子生成的II_1-因子是强1-有界的。
Graphs of functions and vanishing free entropy
设X是迹von Neumann代数M中自伴元的n元组。如果z是M中的自伴元素，并且对于由X生成的冯诺依曼代数中的某个自伴元素y，则$δ_0(y, z) < δ_0(y) + δ_0(z)$（这里$χ$和$δ_0$分别表示微观状态自由熵和自由熵维数）。特别地，如果z位于由X生成的冯诺依曼代数中，则$χ(X \cup \{z\}) = -\infty$。该陈述及其证明的动机几何测度理论的结果的图形功能。对于非微观态自由熵，在更强的假设z位于X生成的代数中，也得到了类似的结论。
A hyperfinite inequality for free entropy dimension
若$X, Y,$和$Z$是迹von Neumann代数中自伴元的有限集，且$X$生成超有限von Neumann代数，则$δ_0(X \cup Y \cup Z) \leq δ_0(X \cup Y) + δ_0(X \cup Z) - δ_0(X).$.
Von Neumann entropy of the angle operator between a pair of intermediate subalgebras
本文研究简单 C*-代数单位包含中一对中间子代数之间的夹角算子，并针对一大类四元组给出了其对偶夹角算子冯·诺依曼熵的可计算公式。
The Bootstrap and von Neumann algebras: The Maximal Intersection Lemma
给定Borel矩阵子集的适当嵌套族$Z = \langle Z(m,k,γ) \rangle_{m,k \in \mathbb N, γ>0}$，以及相应的Borel测度和率函数$μ$，引入熵$χ^μ(Z)$，它推广了自由概率论中的微观态自由熵.在弱正则性条件下，在迹vonNeumann代数中存在有限算子元组$X$使得\begin{eqnarray*} χ^μ(X) & \geq & χ^μ(X \cap Z) & = & χ^μ(Z)\\ \end{eqnarray*}，其中$X \cap Z = \langle Γ(X;m,k,γ) \cap Z(m,k,γ) \rangle_{m, k \in \mathbb N, γ>0}$ .这一观察结果可以用来建立具有有限$χ^μ$ -熵的算子的有限元组的存在性。这种直觉和证明来自于统计推断中的自助法。
Von Neumann Algebras of Sofic Groups with $β_{1}^{(2)}=0$ are Strongly $1$-Bounded
证明了如果$Γ$是一个第一$L^{2}$ Betti数为零的无限可生成可表示sofic群，则von Neumann代数$L(Γ)$是强$1$ -有界的.具体地，如果$Λ$是具有自由熵维数$>1$的任何群，则为$L(Γ)\not\cong L(Λ)$，例如自由群。关键的技术结果是一个简短的证明，估计荣格使用非微观熵技术。
A functorial characterization of von Neumann entropy
利用凸Grothendieck纤维化，我们刻画了冯诺伊曼熵作为一个函子从有限维非交换概率空间和状态保持 *-同态实数。我们的公理复制了贝兹、弗里茨和莱因斯特描述香农熵差的公理。经典概率空间的衰变的存在性在我们的刻画中起着至关重要的作用。
Von Neumann Entropy in QFT
在量子场论的框架下，我们给出了一个严格的算符代数的纠缠熵概念，它与时空中的一对开双锥$O \subset \tilde O$有关，其中$O$的闭包包含在$\tilde O$中.给定局部冯·诺依曼代数$A(O)$的QFT网$A$，考虑了包含冯·诺依曼代数$A(O)\subset A(\tilde O)$（分裂性质）的真空态对正则中间型$I$因子的限制的冯·诺依曼熵$S_A(O, \tilde O)$.我们证明了这种正则纠缠熵$S_A(O, \tilde O)$是有限的手征共形网络上的许多自由费米子（这里双锥的间隔）。为此，我们首先研究了复希尔伯特空间的闭实线性子空间的冯诺伊曼熵的概念，然后我们估计局部自由费米子空间。我们进一步考虑低纠缠熵$\underline S_A(O, \tilde O)$，$F$的真空冯诺伊曼熵的下确界，其中$F$在这里运行在所有中间，离散型$I$冯诺依曼代数。我们证明了对于多个交换$U(1)$ -流生成的局部手征共形网，$\underline S_A(O, \tilde O)$是有限的。
The amalgamated free product of hyperfinite von Neumann algebras over finite dimensional subalgebras
本文描述了有限维子代数上两个超有限vonNeumann代数的合并自由积。一般来说，自由积是插值自由群因子与超有限von Neumann代数的有限直和。然后证明了这种形式的冯诺依曼代数类在有限维子代数上取合并自由积时是闭的。
The amalgamated free product of semifinite hyperfinite von Neumann algebras over atomic type I subalgebras
本文描述了原子I型子代数上的有限和半有限超有限von Neumann代数的合并自由积。为了做到这一点，我们扩展的概念的自由尺寸和标准嵌入有限冯诺依曼代数的相关结果中使用的工作更好的半有限的情况下。我们还定义了类R3（有限von Neumann代数）和R4（半有限von Neumann代数），它们在这种合并的自由积下是封闭的。
Von Neumann Entropy-Preserving Quantum Operations
对于给定的量子状态$ρ$和两个量子操作$Φ$和$Ψ$，在量子状态$ρ$中编码的信息通过其冯诺伊曼熵$§(ρ)$量化。利用Choi-Jamiotakowski同构，量子操作$Φ$可以转化为二分态，二分态的冯诺伊曼熵$§^{\mathrm{map}}(Φ)$描述了由$Φ$引起的退相干.在这封信中，我们不仅刻画了满足$§(Φ(ρ))=§(ρ)$的对$(Φ, ρ)$，而且刻画了满足$§^{\mathrm{map}}(Φ\circΨ) = §^{\mathrm{map}}(Ψ)$的对$(Φ, Ψ)$。
Free products of finite-dimensional and other von Neumann algebras in terms of free Araki-Woods factors
证明了有限维von Neumann代数的任意自由积都同构于一个自由Araki-Woods因子，其自由准自由态可能是一个有限维von Neumann代数的直和.这给出了一个完整的答案所提出的问题Dykema和Shlyakhtenko，这已部分回答了工作的Houdayer和工作的上田。我们也将其推广到具有几乎周期状态的无限维冯诺依曼代数。
On Segal entropy
本文研究半有限von Neumann代数中的Segal熵，探讨了其半连续性、有限熵算子集线性张成的理想式结构及拓扑性质，并在完全一般性下将算子扩展为$L^1$空间中的任意正元素。
Weak exactness and amalgamated free product of von Neumann algebras
本文证明弱正合冯·诺依曼代数的融合自由积仍弱正合，方法利用Toeplitz-Pimsner代数的泛性质及双模上的局部凸拓扑刻画弱正合性。
Factoriality, type classification and fullness for free product von Neumann algebras
给出了任意自由积vonNeumann代数的因式性、类型分类和充满度等问题的完整答案。
Quantum Majorization on Semifinite von Neumann Algebras
我们将Gour等人通过条件最小熵对量子优化的刻画推广到半有限冯诺依曼代数的情形。我们的方法依赖于条件最小熵和算子空间投射张量范数之间的联系内射冯诺依曼代数。这种方法也将Helton，Klep和McCullough的迹Hahn-Banach定理与非交换向量值$L_1$ -空间联系起来。
A note on continuous entropy
冯诺伊曼熵对任意半有限冯诺依曼代数的情形有一个自然的推广，正如I. E.西格尔我们将此熵的相对熵，并表明，熵增加包含冯诺依曼因素的琼斯指数的对数有界。如果因子是无穷维的，则该界是最优的。
von Neumann entropy and relative position between subalgebras
给出了子代数的互正交性（即互补性）的一个数值刻画。为了给出$k \times k$矩阵代数$M_k(\mathbb{C})$的相互正交子代数$A$和$B$的这样一个刻画，其中$A$和$B$同构于某个$M_n(\mathbb{C})$ $(n \leq k)$，我们考虑了由这对$\{A, B\}$导出的一个密度矩阵.我们表明，$A$和$B$是相互正交的当且仅当冯诺依曼熵的密度矩阵是最大值$2\log n$，这是对数的子因子的维数。
Exact exponents for smoothing the max-relative entropy and quantum information decoupling in von Neumann algebras
研究半有限冯·诺依曼代数中最大相对熵的平滑指数，通过开发算子代数替代物给出精确公式。还用其制定催化量子信息解耦，证明相关引理，得出解耦可靠性指数由与有限维理论相同的公式描述。
Monotonicity of the Relative Entropy and the Two-sided Bogoliubov Inequality in von Neumann Algebras
本文证明Araki-Uhlmann相对熵的Uhlmann单调性定理并推导相关不等式，同时利用KMS态无界扰动理论将相对自由能的双侧Bogoliubov不等式推广至任意von Neumann代数。
Relative modular operator in semifinite von Neumann algebras and its use
给出了半有限vonNeumann代数中相对模算子的一些结果。这些结果使人们能够证明迹的一些基本公式，获得荒木的相对熵和Umegaki的信息之间的等价性，以及导出有限维中已知的准熵和Rényi的相对熵的一些公式.
Conditioning on Subalgebras - Entropy Duality and Generalized Quantum Stein's Lemma in von Neumann Algebras
该论文将条件熵对偶性推广至任意冯·诺依曼代数子代数，并建立无限维量子斯坦引理，为子代数相对熵提供复合假设检验中的操作解释。
Variational formulae for entropy-like functionals for states in von Neumann algebras
本文针对半有限 von Neumann 代数上的正规态，建立了 Segal 熵与 Rényi 熵等熵型泛函的变分公式，推广了相对熵的已知结果，并揭示了量子熵与交换子代数结构的联系，为量子信息论提供新视角。
Mappings preserving quantum Renyi's entropies in von Neumann algebras
研究了半有限vonNeumann代数上的正规正线性酉映射保持迹不变时，正规态密度的固定量子Renyi熵不变的情况.它也表明，这样的地图不改变任何密度的熵当且仅当它是一个代数上的Jordan *-同构。
Noncommutative Poisson boundaries, ultraproducts and entropy
本文利用 von Neumann 代数超积构造带迹情形的非交换 Poisson 边界，并据此完善 Kaimanovich-Vershik 非交换熵基本定理，证明两类边界等价关系。
Exponential Relative Entropy Decay Along Quantum Markov Semigroups
本文证明了量子马尔可夫半群中相对熵指数衰减与修正对数索博列夫不等式的等价性，并将该不等式的交织判据扩展至无穷维冯诺依曼代数上的GNS对称半群。
Asymptotic Equipartition Theorems in von Neumann algebras
本文在一般 von Neumann 代数上推广渐近等分性质，证明 i.i.d. 态的平滑最大相对熵渐近速率由量子相对熵给出，并推广至量子信道及顺序过程产生的态，主要贡献包括链式法则与可加性结果。
Trace- and improved data processing inequalities for von Neumann algebras
本文证明了冯·诺依曼代数相对熵的数据处理不等式，含测量相对熵下界，推广了有限维结果，应用于量子场论中的III型代数。
Localizing quantum information
本文针对量子信息局域化问题，证明源自非交换几何的调整后冯·诺依曼熵是量化局域化信息的最小量子熵，且是唯一能通过冗余信息表征贝尔态的量子熵，推广了经典情况。
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