关于数值分析条件数下有理输入的均匀分布
On the uniform distribution of rational inputs with respect to condition numbers of Numerical Analysis
AI总结：
本文证明有界输入长度的有理数据在数值分析条件数下均匀分布，给出线性代数及多项式方程组条件数的概率界，并应用于近似零点的精度分布。
摘要：
我们证明了有界输入长度的有理数据在数值分析的条件数意义下是均匀分布的。我们同时处理线性代数的条件数和多元多项式方程组系统的条件数。例如，我们证明对于任意 $w>1$ 和任意比特长度为 $O(n^4\log n) + \log w$ 的 $n\times n$ 有理矩阵 $M$，条件数 $k(M)$ 满足 $k(M) \leq w n^{5/2}$ 的概率至少为 $1-2w^{-1}$。对于 M. Shub 和 S. Smale 的条件数 $\mu_{norm}$ 应用于有界输入长度的多元齐次多项式方程组系统时，我们给出了类似的估计。最后，我们应用这些技术来展示有界输入长度的仿射多元多项式方程组系统的近似零点所需的精度（分母的比特数）的概率分布。
英文摘要：
We show that rational data of bounded input length are uniformly distributed with respect to condition numbers of numerical analysis. We deal both with condition numbers of Linear Algebra and with condition numbers for systems of multivariate polynomial equations. For instance, we show that for any $w>1$ and for any $n\times n$ rational matrix $M$ of bit length $O(n^4\log n) + \log w$, the condition number $k(M)$ satisfies $k(M) \leq w n^{5/2}$ with probability at least $1-2w^{-1}$. Similar estimates are shown for the condition number $μ_{norm}$ of M. Shub and S. Smale when applied to systems of multivariate homogeneous polynomial equations of bounded input length. Finally we apply these techniques to show the probability distribution of the precision (number of bits of the denominator) required to write down approximate zeros of affine systems of multivariate polynomial equations of bounded input length.
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