扰动圆柱中的变量分离
Separation of variables in perturbed cylinders
AI总结：
本文研究二维扰动圆柱域上Dirichlet边界条件的Laplace算子特征值问题，通过映射和Fourier分解分离变量，数值求解ODE系统得到特征值及复共振，并应用于量子波导。
摘要：
我们研究在二维域中受Dirichlet边界条件约束的Laplace算子，该域被一一映射到圆柱（矩形或无限条带）上。通过这一变换，原始特征值问题被简化为一个具有变系数的算子的等价问题。利用简单几何的优势，我们通过Fourier分解方法分离变量。由此得到的常微分方程组随后进行数值求解，从而得出该算子的特征值。同样的方法使我们能够找到在某些非紧致域中出现的复共振。我们讨论了与量子波导问题相关的数值示例。
英文摘要：
We study the Laplace operator subject to Dirichlet boundary conditions in a two-dimensional domain that is one-to-one mapped onto a cylinder (rectangle or infinite strip). As a result of this transformation the original eigenvalue problem is reduced to an equivalent problem for an operator with variable coefficients. Taking advantage of the simple geometry we separate variables by means of the Fourier decomposition method. The ODE system obtained in this way is then solved numerically yielding the eigenvalues of the operator. The same approach allows us to find complex resonances arising in some non-compact domains. We discuss numerical examples related to quantum waveguide problems.
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