非奇异相容平坦对方程的可积性

常黎曼曲率的相容度量：局部几何，非线性方程和可积性

Compatible metrics of constant Riemannian curvature: local geometry, nonlinear equations and integrability

导出了描述所有常黎曼曲率度量的非奇异束的非线性方程，并利用逆散射问题的方法证明了这些非线性方程的可积性。证明了在常曲率空间中，所有非奇异的常黎曼曲率相容度量对都可由定义正交曲线坐标系的非线性方程的特殊可积约化来描述.

兼容的平坦度量

Compatible flat metrics

我们解决了一般N-分量情形下相容平坦度量的非奇异对的描述问题。求出了描述相容平坦度量的所有非奇异对（或者说度量的非奇异平坦束）的可积非线性偏微分方程，并求出了它们的积分.这些方程的积分是基于减少到一个特殊的非线性微分约化的拉梅方程，并使用Zakharov方法的微分约化的敷料方法（逆散射方法的一个版本）。

Hydrodynamic integrability via geometry

This paper develops a geometric approach to the theory of integrability by hydrodynamic reductions to establish an equivalence, for a large class of quasilinear systems, between hydrodynamic integrability and the existence of nets compatible with the geometry induced on the codomain of the system. This unifies and extends known results for three subclasses of such systems. The generalization is obtained by studying the algebraic geometry of the characteristic correspondence of the system, and by introducing a generalized notion of conjugate nets.

Interpolation of geometric structures compatible with a pseudo Riemannian metric

Let (M, g) be a pseudo Riemannian manifold. We consider four geometric structures on M compatible with g: two almost complex and two almost product structures satisfying additionally certain integrability conditions. For instance, if r is a product structure and symmetric with respect to g, then r induces a pseudo Riemannian product structure on M. Sometimes the integrability condition is expressed by the closedness of an associated two-form: if j is almost complex on M and ω(x, y) = g(jx, y) is symplectic, then M is almost pseudo Kähler. Now, product, complex and symplectic structures on M ar…

Heisenberg群中广义p-面积极小元的唯一性和水平法线的可积性

Uniqueness of generalized p-area minimizers and integrability of a horizontal normal in the Heisenberg group

研究了广义$p$ -极小曲面在Heisenberg群中的唯一性.由$u$定义的图的广义$p$ -区域读作$\int |\nabla u+\vec{F}| + Hu$。如果$u$和$v$是广义$p$ -区域的两个极小元，满足相同的Dirichlet边界条件，那么我们只能得到$N_{\vec{F}}(u)$ $=$ $N_{\vec{F}}(v)$（在非奇异集上）其中$N_{\vec{F}}(w)$ $:=$ $\frac{\nabla w+\vec{F}}{|\nabla w+\vec{F}|}.$为了得出$u$ $=$ $v$（或$\nabla u$ $=$ $\nabla v)$），它不像黎曼情形那样简单，但通常需要一些特殊的论证。本文证明了对于包含$p$ -面积的广义面积泛函，在$\vec{F}$的导数的秩条件或$u$或$v$的接触形式的不可积条件下，$N_{\vec{F}}(u)$ $=$ $N_{\vec{F}}(v)$在$\geq $ 3中蕴涵$\nabla u$ $=$ $\nabla v$.注意，在维度2（$n=1),$）中，上述陈述不再为真。受图的水平法线$N_{\vec{F}}(u),$的一个方程的启发，我们研究了图的水平法线为单位向量的可积性。我们找到一个类似Codazzi的方程与该方程一起形成可积条件。

描述相容非局部流体动力学型泊松括号的方程的Lax对和Lame方程的可积约化

Lax pairs for the equations describing compatible nonlocal Poisson brackets of hydrodynamic type, and integrable reductions of the Lame equations

导出了流体动力学型相容非局部泊松括号的一般非奇异对的非线性方程组，并用逆散射问题的方法证明了这些方程组的可积性。对于这些方程，提出了具有谱参数的Lax对。此外，我们证明了一些特别重要的部分类的相容的非局部泊松括号的流体动力学类型的方程的可积性，特别是，最重要的情况下，当一个兼容的泊松括号是本地的情况下，也为兼容的泊松括号是由常数黎曼曲率的度量产生。