非线性域的一个交换恒等式

Eigenvectors from eigenvalues: A survey of a basic identity in linear algebra

If $A$ is an $n \times n$ Hermitian matrix with eigenvalues $λ_1(A),\dots,λ_n(A)$ and $i,j = 1,\dots,n$, then the $j^{\mathrm{th}}$ component $v_{i,j}$ of a unit eigenvector $v_i$ associated to the eigenvalue $λ_i(A)$ is related to the eigenvalues $λ_1(M_j),\dots,λ_{n-1}(M_j)$ of the minor $M_j$ of $A$ formed by removing the $j^{\mathrm{th}}$ row and column by the formula $$ |v_{i,j}|^2\prod_{k=1;k\neq i}^{n}\left(λ_i(A)-λ_k(A)\right)=\prod_{k=1}^{n-1}\left(λ_i(A)-λ_k(M_j)\right)\,.$$ We refer to this identity as the \emph{eigenvector-eigenvalue identity} and show how this identity can also be…

平面上无限族可解可积量子系统的交换算符形式

Exchange operator formalism for an infinite family of solvable and integrable quantum systems on a plane

本文将极坐标下的交换算子形式推广到最近提出的一类完全可解和可积的Hamilton算子族$H_k$，$k=1$，2，3，.在飞机上二面体群$D_{2k}$的元素被实现为该平面上的算子，并用于定义一些微分-差分算子$D_r$和$D_φ$。后者用于构造$D_{2k}$ -扩展的和不变的哈密尔顿算子$\chh_k$，从该哈密尔顿算子$H_k$可以通过在$D_{2k}$恒等表示空间中的投影来检索。

鉴别的确定Log Det =生成物的跟踪Log

Analogue of the identity Log Det = Trace Log for resultants

结果式$R_{r_1, ..., r_n}$定义了一个以$n$为变量的次数为$r_1, ..., r_n$的$n$齐次多项式系统的可解性条件，就像行列式定义线性方程组一样。正因为如此，结式是即将到来的非线性物理学的重要特殊函数，并开始在与弦论相关的各种主题中发挥作用。不幸的是，当变量的数量很大时，缺乏方便的结式公式。为了解决这个问题，我们将著名的恒等式Log Det = Trace Log从行列式推广到结式。广义恒等式允许获得多维结式的显式多项式公式：对于任何数量的变量，结式由舒尔多项式给出。我们还给出了几个积分表示的结式，以及求和路径表示。