The Verlinde formula in logarithmic CFT
在有理共形场论中，Verlinde公式从手征代数表示的特征的模S-变换计算融合系数。由于各种原因，将这个公式推广到对数模型已经证明是相当困难的。在这里，最近提出的形式主义（arXiv：1303.0847 [hep-th]）的某些类别的对数理论的模块化属性进行审查，并完善，使用简单的例子。一个形式主义解决简单的当前扩展的融合规则也审查作为一种手段来解决对数理论，建议的模块化形式主义不直接适用。
2015-01-14 hep-th math-ph math.MP
Fourier transform and the Verlinde formula for the quantum double of a finite group
对有限群G的量子二重D（G）定义了一个傅里叶变换S. S与D（G）的中心带状元作用于D（G）的特征标，生成SL（2，Z）的一个酉矩阵表示.这些特征标在代数乘法及其对偶下形成整数环，后者编码D（G）的融合规则。傅里叶变换将两个环结构联系起来。我们用这个给一个特别短的证明Verlinde公式的融合系数。
1999-11-10 hep-th math-ph math.MP
Vertex operator algebras and the Verlinde conjecture
设V是一个简单的顶点算子代数，满足以下条件：（i）V的权小于0的齐次子空间为0，权0的齐次子空间由真空张成，V'作为V-模与V同构. (ii)每个可由非负整数分次的弱V-模都是完全可约的。(iii)V是C_2-上有限的。(In条件（i）、条件（ii）和（iii）的存在等价于一个条件，即每个弱V-模是完全可约的。然后将不可约V-模之间的融合规则所形成的矩阵，用模变换τ \mapsto-1/τ在不可约V-模的特征标空间上的作用所给出的矩阵对角化.利用这一结果，我们得到了融合规则的Verlinde公式。我们还证明了与模变换τ \mapsto -1/τ相关的矩阵是对称的。
2007-11-23 hep-th math-ph math.AG
An admissible level $\widehat{\mathfrak{osp}} \left( 1 \middle\vert 2 \right)$-model: modular transformations and the Verlinde formula
本文研究水平为 -5/4 的仿射 osp(1|2) 顶点算子超代数的模性质，通过分类 relaxed 最高权模并利用 Verlinde 公式的连续超代数类比，得到全部 Grothendieck 融合规则且系数均为非负整数。
2018-02-24 hep-th math-ph math.MP
Symmetries of 2d TQFTs and Equivariant Verlinde Formulae for General Groups
我们研究（广义）离散对称的二维半单TQFT。这些是其融合规则可以对角化的2d TQFT。我们表明，在这个特殊的基础上，0-形式的对称性总是作为置换，而1-形式的对称性的作用阶段。这导致了一个明确的描述这些对称性的测量。我们的结果的一个应用是推广的等变Verlinde公式的情况下，一般李群。推广后的公式给出了希钦模空间几何的许多预言，并在几个低亏格和SO（3）规范群的情形下进行了检验.
2021-11-15 hep-th math-ph math.AG
Bosonic ghostbusting -- The bosonic ghost vertex algebra admits a logarithmic module category with rigid fusion
秩为1的玻色子鬼顶点代数，也被称为$βγ$鬼、辛玻色子或Weyl顶点代数，是一个既不是有理数也不是$C_2$ -余有限的共形域论的简单例子。我们确定了一个模范畴，记为范畴$\mathscr{F}$，它满足共形域论中的三个必要条件：限制群下的闭包，融合下的闭包和模群作用于特征标下的闭包.我们证明了其中的第二个条件，其他两个已经知道。进一步证明了范畴$\mathscr{F}$有足够多的投射模和内射模，给出了所有不可分解模的分类，证明了融合是刚性的，并计算了所有的融合积.融合积公式完全匹配先前提出的Verlinde公式，该公式是使用通常的有理Verlinde公式的简化推广计算的，称为标准模块形式主义。因此，玻色子幽灵基本上展示了理性理论的所有丰富结构，尽管它不满足任何标准的理性假设，如$C_2$ -有限性，顶点代数同构于它的限制对偶或具有一维共形权0空间。特别是，据作者所知，这是对数非$C_2$ -上有限顶点代数刚性证明的第一个例子。
2020-09-03 hep-th math-ph math.MP
On fusion rules and intertwining operators for the Weyl vertex algebra
在顶点代数理论中，融合规则被描述为三个不可约模之间交织算子的向量空间的维数。我们描述的Weyl顶点代数的权重模块的范畴内的融合规则。这样我们就证实了基于Verlinde代数的融合规则猜想。我们明确地构造了出现在融合规则公式中的交织算子。给出了Weyl顶点代数的不可约权模与仿射李超代数$\widehat{gl(1 \vert 1)}$的不可约权模之间的关系.
2019-03-25 math-ph math.MP math.QA
Elliptic Ruijsenaars difference operators, symmetric polynomials, and Wess-Zumino-Witten fusion rings
已知$\widehat{\mathfrak{su}}(n)_m$ Wess-Zumino-Witten共形域论的融合环同构于Schur多项式表示的对称多项式环的因子环。我们引入了一个变形的这个因子环与椭圆型Ruijsenaars差分算子的本征多项式。相应的Littlewood-Richardson系数由本征值方程的Pieri规则决定。本征基的正交性产生了Verlinde公式的类似物。在三角极限下，我们的构造恢复了与Macdonald多项式相关的精化的$\widehat{\mathfrak{su}}(n)_m$ Wess-Zumino-Witten融合环。
2021-06-28 math-ph math.CO math.MP
The sl(n)-WZNW Fusion Ring: a combinatorial construction and a realisation as quotient of quantum cohomology
给出了sl（n）-WZNW融合环（也称为Verlinde代数）的一个简单的组合构造.作为构造的副产品，人们得到了Grassmannian Gr（k，k+n）的小量子上同调环的一个特定商与熔合环之间的同构。我们解释了我们的方法如何自然地适合于已知的量子上同调环的组合描述，通过建立一个可以称之为“玻色子-费米子对应”的两个环。我们还提出了新的递推公式的结构常数的两个环，融合系数和Gromov-Witten不变量。
2010-03-01 math-ph math.MP math.QA
On symmetric simplicial (super)string backgrounds, (super-)WZW defect fusion and the Chern-Simons theory
超$σ$ -模型的动力学的增压循环在周围的超流形中的任意拓扑结构的世界片缺陷的存在下，在Gawandzki的更高的上同调的方法内正式化，从前体arXiv：0808.1419 [hep-th]的灵感。被认为是一个杰出的类的相应的背景（supertargets与额外的bicategorial超几何数据），组织成单纯的层次结构。对于这些，体场论的构型（超）对称性被相干地提升，由此最大（超）对称背景的概念，特别是单纯Lie背景的概念，作为定义超$σ$模型所必需的目标结构而产生，其中缺陷完全透射到体（超）对称性的电流。形式概念在两个物理相关的环境中得到了说明：紧单1-连通李群中玻色弦的WZW $σ$模型和闵可夫斯基超空间中超弦的GS超$σ$模型。在前一种情况下，通过单纯性，对称性（-还原）和上同调参数的组合，固定的背景结构，并建立了一个新的链接之间的融合的最大对称WZW缺陷的Fuchs等人。和3 $d$ CS理论与类时威尔逊线与固定的完整性。此外，一个纯粹的几何解释Verlinde融合规则的建议。在后一种情况下，与超对称性相容的乘法结构被证明存在于arXiv：1706.05682 [hep-th]的GS超1-gerbe上，并随后被用于一类最大（刚性）超对称双膜的新构造，其初等融合也被研究。
2022-08-10 hep-th math-ph math.MP
Modular group representations and fusion in logarithmic conformal field theories and in the quantum group center
本文证明了在限制量子群U_{q} sl（2）的中心的SL（2，Z）表示$π$等价于对数（1，p）共形场论模型的扩展特征标的SL（2，Z）表示. U_{q} sl（2）带状元素的乘法Jordan分解决定了$π$分解为两个交换SL（2，Z）表示的“逐点”积，其中一个限制于Grothendieck环;这个限制等价于（1，p）-特征标上的SL（2，Z）表示，通过非半单Verlinde公式与融合代数相关。证明了U_{q} sl（2）在2 p阶本原单位根处的Grothendieck环与（1，p）对数共形场论模型的融合代数相一致。作为一个副产品，我们得到的q-二项式恒等式所隐含的融合代数实现的中心~ U_{q} sl（2）。
2006-07-05 cond-mat.mes-hall hep-th math-ph
$K$-theory of AF-algebras from braided C*-tensor categories
Renault，Wassermann，Handelman and Rossmann（1980年代早期）和Evans and Gould（1994）明确地描述了某些单位AF-代数$A$的$K$ -理论作为多项式环。在这篇文章中，我们证明了在每种情况下，多项式环中的乘法（商）都是由一个$*$ -同态$A\otimes A\to A$诱导的，这个同态产生于一个C*-张量范畴上的酉编织，并且基本上由Erlijman和Wenzl（2007）定义。我们还提出了一些新的显式计算Gepner，Fuchs和其他人的工作的基础上。具体地说，我们对秩为2的紧李群SU（3），Sp（4）和G $_2$进行了类似于秩为1的紧李群SU（2）的Evans-Gould计算。Verlinde环是共形场论中Wess-Zumino-Witten模型的融合环，或者等价地，某些相关的C*-张量范畴的融合环。Freed、Hopkins和Teleman（21世纪初）通过扭曲等变$K$理论实现了这些环。受此启发，我们的长期目标是以更简单的$K$理论方式实现这些环，避免环群分析的技术细节。作为这个方向的一步，我们注意到在某些特殊情况下，Verlinde环可以如上所述恢复。
2020-03-19 hep-th math-ph math.KT
Classifying fusion rules of anyons or SymTFTs: A general algebraic formula for domain wall problems and quantum phase transitions
National Center for Theoretical Sciences, National Taiwan University（台湾大学国家理论科学中心）
本文提出一种公式，用于描述在拓扑有序相或拓扑量子场论中任意子的变换规律，通过有隙或对称保持的域壁。基于复数线性交换融合环的环同态，结合Verlinde公式，提供任意子分类及CFT与TQFT之间的无质量重整化群流和测量诱导量子相变的描述。
2026-08-12 cond-mat.str-el hep-ph hep-th
Cylindric Reverse Plane Partitions and 2D TQFT
对称函数的环具有Hopf代数的结构。当计算完全对称函数$h_λ$的余积时，人们得到了涉及二项式系数的反平面分割（RPP）上的加权和。利用广义仿射对称群在固定水平$n$上的作用，我们将这些加权和推广到圆柱RPP上，并定义了圆柱完全对称函数。后者被证明是$h$ -正的，即它们在完全对称函数基上的展开系数是非负整数。本文给出了广义对称群的不可约表示的张量重数的一个显式公式。此外，我们与圆柱形完全对称函数的二维拓扑量子场论（TQFT），这是一个推广的著名的$\mathfrak{\widehat{sl}}_n$ -Verlinde代数或Wess-Zumino-Witten融合环，这起着突出的作用，在顶点算子代数和代数几何的背景下。
2018-02-25 math-ph math.CO math.MP
