On Separation of Minimal Riesz Energy Points on Spheres in Euclidean Spaces
对于欧氏空间R^（d+1）中的单位球面S^d，我们证明了当d-1<s 1时<d and any N>，离散N点极小Riesz s-能量组态是完全分离的，因为在这样的组态中，任何一对不同点之间的最小距离都是以C/N^（1/d）为界的，其中C是依赖于s和d的正常数.
2005-03-27 math-ph math.CA math.MP
Low complexity methods for discretizing manifolds via Riesz energy minimization
设$A$是嵌入欧氏空间$\RR^p$，$d\le p$中的紧$d$ -可求长集.对于一个给定的连续分布$σ(x)$关于$d$维Hausdorff测度$A$，我们以前的结果提供了一种方法，用于产生$A$上的$N$ -点配置，具有渐近分布$σ(x)$作为$N\to \infty$ ;而且这样的配置是“准均匀”的意义上，覆盖半径的比例，以分离距离是有界的$N$独立。该方法是基于最小化的能量的$N$粒子约束到$A$通过加权幂律势$w(x,y)|x-y|^{-s}$相互作用，其中$s>d$是一个固定的参数和$w(x,y)=\left(σ(x)σ(y)\right)^{-({s}/{2d})}$。在这里，我们表明，可以生成点$A$与上述属性保持在能量和只有那些对点，位于距离最多$r_N=C_N N^{-1/d}$从对方，与$C_N$是一个正序列趋于无穷大任意缓慢。为了做到这一点，我们最小化关于变化的截断权重$v_N(x,y)=Φ\(\left|x-y\right|/r_N\)w(x,y)$的能量，其中$Φ:(0,\infty)\to [0,\infty)$是具有$Φ(t)=0$、$t\geq 1$和$\lim_{t\to 0^+}Φ(t)=1$的有界函数。在适当的假设下，这降低了生成$N$点“低能量”离散化以进行$N C_N^d$计算的复杂性。
2013-05-27 math-ph math.MP
Logarithmic and Riesz Equilibrium for Multiple Sources on the Sphere --- the Exceptional Case
本文考虑了由于$\mathbb{S}^d$上的许多局域电荷分布而引起的外场存在下，欧氏空间$\mathbb{R}^{d+1}$中单位球$\mathbb{S}^d$上的最小离散和连续能量问题，其中能量来自于临界Riesz参数$s = d - 2$的Riesz势$1/r^s$（$r$是欧氏距离）（如果$d \geq 3$）和对数势$\log(1/r)$（如果$d = 2$）.单独地，局部电荷分布是点电荷或假定为旋转对称的。解决弱场连续外场问题的极值测度被证明是球上的一致测度，但仅限于局部电荷分布周围的球冠外部。半径由产生电荷的相对强度决定。此外，我们表明，解决相关的离散外场问题的最小能量点仅限于此支持。对于$d-2\leq s<d$，我们表明，点源的球，平衡措施的支持补充工会指定的球冠的来源。数值例子来说明我们的结果。
2017-06-28 math-ph math.MP
Discrete Energy Asymptotics on a Riemannian circle
我们推导出$N$的幂的完全渐近展开式，其中$N$是${\mathbb R}^p$中可求长的简单闭曲线$Γ$上$N$等距点的测地线$f$ -能量，$p\geq2$为$N \to \infty$。对于$f$递减和凸，这样的点配置最小化$f$ -能量$\sum_{j\neq k}f(d(\mathbf{x}_j, \mathbf{x}_k))$，其中$d$是$Γ$上的点之间的测地线距离（相对于$Γ$）.研究了完全单调函数、解析核函数、Laurent级数和加权核函数$f$。特别感兴趣的是测地线Riesz势$1/d^s$（$s \neq 0$）和测地线对数势$\log(1/d)$。通过解析延拓，我们推导出$s$的所有复值展开式。
2009-12-23 math-ph math.MP
Next order energy asymptotics for Riesz potentials on flat tori
设$Λ$是${\bf R}^d$中具有正余体积的格。在$Λ$ -周期$N$ -点组态中，我们考虑最小重整化RieszPDMATHABMP-能量$\mathcal{E}_{s,Λ}(N)$ .虽然在可以从经典势理论获得$0<s<d$（或$s=\log$）的长程情况下，$\mathcal{E}_{s,Λ}(N)$的渐进展开中的主导项$N$趋于无穷大，但下一阶项需要不同的方法。在这里，我们推导出下一阶项或多项的形式，即对于$s>0$，它们具有$C_{s,d}|Λ|^{-s/d}N^{1+s/d}$和$-\frac{2}{d}N\log N+\left(C_{\log,d}-2ζ'_Λ(0)\right)N$的形式，其中我们表明常数$C_{s,d}$与晶格$Λ$无关。
2015-11-04 math-ph math.MP
Observed Asymptotic Differences in Energies of Stable and Minimal Point Configurations on $\mathbb{S}^2$ and the Role of Defects
观察表明，相对于Riesz势稳定的球体上的点的配置均匀地分布在球体上。此外，这些稳定的配置具有主要是六边形的局部结构。最小的配置不同于稳定的配置中的六方结构内的缺陷的安排。本文报道了稳定态的平均能量与最低报道能量之间的渐近差。我们用这个来推断的能量尺度，在六方结构中的缺陷是明显的。我们报告的Riesz势为s=0，s=1，s=2和s=3的结果。此外，我们比较现有的理论的最小$N$ -点能量与实验结果的渐近展开在N。我们报告的情况下，两个不同的稳定状态，具有相同的Voronoi结构。最后，我们报告了观察到的增长作为N的函数的稳定状态的数量。
2013-10-02 math-ph math.MP
Weyl's law under minimal assumptions
我们表明，外尔定律的数量和Riesz平均的薛定谔算子的负本征值仍然有效的最小假设下的潜力，矢量潜力和潜在的域。
2022-02-01 math-ph math.AP math.MP
Asymptotics of Greedy Energy Points
对于局部紧Hausdorff空间$X$上的对称核$k:X\times X \to \mathbb{R}\cup\{+\infty\}$，我们研究了通过任意选择$a_{1}\in A$和$a_{n+1}$使得$\sum_{i=1}^{n}k(a_{n+1},a_{i})=\inf_{x\in A}\sum_{i=1}^{n}k(x,a_{i})$来归纳定义的紧子集$A\subset X$的贪婪$k$ -能量点$\{a_{i}\}_{1}^{\infty}$的渐近行为.我们给出了这些点（也称为Leja点）渐近能量最小化的充分条件（即具有能量$\sum_{i\neq j}^{N}k(a_{i},a_{j})$作为$N\to\infty$，与$\mathcal{E}(A,N):=\min\{\sum_{i\neq j}k(x_{i},x_{j}):x_{1},...,x_{N}\in A\}$渐近相同），并且具有与$A$的平衡测度相等的渐近分布。对于Riesz内核的情况下，$k_{s}(x,y):=|x-y|^{-s}$，$s>0$，我们表明，如果$A$是一个可求长的约旦弧或封闭曲线在$\mathbb{R}^{p}$和$s>1$，那么贪婪的$k_{s}$能量点不渐近能量最小化，在相反的情况下$s<1$。(In事实上，我们表明，没有一个点序列可以渐近能量最小化$s>1$。贪婪$k_{s}$能…
2009-01-24 math-ph math.MP
Riesz external field problems on the hypersphere and optimal point separation
考虑了在有外场$Q$存在下，单位球$\mathbb{S}^d$在欧氏空间$\mathbb{R}^{d+1}$中的最小能量问题，其中能量来自Riesz势$1/r^s$（其中$r$是欧氏距离，$s$是Riesz参数）或对数势$\log(1/r)$ . Frostman型的相关极值测度的特征定理，以前得到的最后两个作者，推广到范围$d-2 \leq s < d - 1.$的证明使用的措施支持$\mathbb{S}^d$的最大值原理。当$Q$是符号测度和$d-2 \leq s <d$的Riesz $s$ -势时，我们的结果导致了$(Q,s)$ -Fekete点的显式点分离估计，这是在具有外场$Q$的情况下，使$\mathbb{S}^d$上的Riesz $s$ -能量最小的$n$ -点配置.在超奇异情形$s > d$中，短程对相互作用甚至在更一般的外场存在下也能实现良好的分离。作为进一步的应用，我们确定的极值和有符号的平衡时，外场是由于一个负的点电荷外的正电荷的孤立球。此外，我们还对三点外场问题进行了严格的分析，并给出了四点外场问题的数值结果。
2013-10-10 math-ph math.MP
The support of the limit distribution of optimal Riesz energy points on sets of revolution in $\mathbb{R}^{3}$
设A是右半平面上的紧集，$Γ(A)$是$\mathbb{R}^{3}$中通过使A绕垂直轴旋转而得到的集合。我们研究了$Γ(A)$上最小能量点电荷极限分布的支持性，这些点电荷按照Riesz势1/r^{s}，0<s<1相互作用，其中r是点之间的欧氏距离.位势理论得出这个极限分布与$Γ(A)$上的平衡测度相一致，该平衡测度是在$Γ(A)$的外边界上得到支持的。我们证明了存在旋转集$Γ(A)$使得平衡测度在$Γ(A)$上的支撑是{ \bf not}完全外边界，与库仑情形s=1相反。然而，当R趋于无穷大时，极限分布在旋转集合$Γ(R+A)$上的支持是某些集合A的完全外边界，与对数情况（s=0）相反。
2007-08-03 math-ph math.MP
Three-dimensional lattice ground states for Riesz and Lennard-Jones type energies
本文研究三维晶格中Riesz势和Lennard-Jones型势的能量极小化子，通过解析与数值方法分析BCC、FCC、SH和HCP晶格的全局及固定密度极小性，揭示了不同指数范围内FCC-SH和FCC-HCP-SH等相变及完整相图。
2022-09-06 math-ph math.MP math.OC
Distributing many points on spheres: minimal energy and designs
本调查讨论了最近的事态发展的背景下，球形设计和最小能量点配置领域。本文给出了A. Bondarenko，D. Radchenko和M.维亚佐夫斯卡引起了人们对这一问题的新兴趣。其次，D. P。哈丁和E。B. Saff证明了在超奇异情形下，使$\mathbb{S}^d$上的离散Riesz能量最小的点集是渐近均匀分布的。这两个结果是非常相关的问题描述的质量点分布在$\mathbb{S}^d$，以及寻找点集，表现出良好的分布行为相对于各种质量措施。
2014-11-07 math-ph math.MP
Mesh ratios for best-packing and limits of minimal energy configurations
对于紧度量空间$(A,ρ)$上的$N$ -点最佳填充配置$ω_N$，我们得到了网格分离比$γ(ω_N,A)$的估计，它是$ω_N$相对于$A$的覆盖半径与$ω_N$中点之间的最小成对距离的商。对于最佳包装配置$ω_N$出现的最小Riesz $s$ -能量配置的$s\to \infty$的限制，我们证明了$γ(ω_N,A)\le 1$和这个界甚至可以达到的领域。在特定的情况下，当N=5的$S^2$与$ρ$欧几里德度量，我们证明了我们的主要结果，在无限多个5点最佳包装配置有一个独特的配置，即一个正方形基地金字塔$ω_5^*$，这是极限（作为$s\to \infty$）的5点$s$ -能量最小化配置。此外，$γ(ω_5^*,S^2)=1$。
2012-12-26 math-ph math.MP
"Magic" numbers in Smale's 7th problem
Smale's 7-th problem concerns N-point configurations on the 2-dim sphere which minimize the logarithmic pair-energy V_0(r) = -ln r averaged over the pairs in a configuration; here, r is the chordal distance between the points forming a pair. More generally, V_0(r) may be replaced by the standardized Riesz pair-energy V_s(r)= (r^{-s} -1)/s, which becomes - ln r in the limit s to 0, and the sphere may be replaced by other compact manifolds. This paper inquires into the concavity of the map from the integers N>1 into the minimal average standardized Riesz pair-energies v_s(N) of the N-point confi…
2014-09-25 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Quasi-uniformity of Minimal Weighted Energy Points on Compact Metric Spaces
Vanderbilt University（范德堡大学）
研究紧度量空间上最小加权Riesz s-能量配置的拟均匀性，证明当s>α时，其网格范数与分离距离之比有界，并推广到欧氏空间中的α-可整流紧集。
2011-11-22 cs.NA math-ph math.MP
