地理聚合允许物理大小的低扩展和路由表

平均拉伸系数：它有多低？

Average Stretch Factor: How Low Does It Go?

在几何图$G$中，两个顶点$u$和$w$之间的\emph{stretch factor}是$G$中从$u$到$w$的最短路径的欧几里德长度与$u$和$w$之间的欧几里德距离之比。$G$的\emph{average stretch factor}是在$G$中的所有顶点对上采用的平均拉伸因子。我们发现，对于任何恒定的尺寸，$d$，和任何一组，$V$，$n$点在$\mathbb{R}^d$，存在一个几何图形的顶点集$V$，有$O(n)$边缘，并有平均拉伸因子$1+ o_n(1)$。更准确地说，该图的平均拉伸因子是$1+O((\log n/n)^{1/(2d+1)})$。我们补充这个上界与下界：存在$n$ -点集$\mathbb{R}^2$的任何图与$O(n)$边缘有平均拉伸因子$1+Ω(1/\sqrt{n})$。对于更常研究的最差情况拉伸因子，这种类型的界限是不可能的。特别地，存在点集$V$，使得任何具有最坏情况拉伸因子$1+o_n(1)$的图具有超线性的边数。