西尔维斯特-卡茨矩阵奇异值的交错猜想的一个证明
A proof of the interlacing conjecture for the singular values of Sylvester-Kac matrices
AI总结：
本文证明了Boros与Rózsa提出的西尔维斯特-卡茨矩阵奇异值交错猜想，建立了严格的奇异值交错关系，完善了该领域的相关结论。
摘要：
Boros与Rózsa（《线性代数应用》421卷，2007年，第407-416页）通过置换相似变换，将奇数阶西尔维斯特-卡茨矩阵$P\in\mathbb{R}^{(2m+1)\times(2m+1)}$的奇异值问题，归约为$Q^{(m)}\in\mathbb{R}^{(m+1)\times m}$与$S^{(m)}\in\mathbb{R}^{m\times(m+1)}$的奇异值问题。他们指出$(Q^{(m)})^TQ^{(m)}-S^{(m)}(S^{(m)})^T$是正定矩阵，并提出猜想：对$m\ge2$及$1\le i\le m-1$，有$\sigma_i(S^{(m)})\ge\sigma_{i+1}(Q^{(m)})$。本文证明这些不等式是严格的，对所有$m\ge1$建立严格交错关系$\sigma_1(Q^{(m)})>\sigma_1(S^{(m)})>\cdots>\sigma_m(Q^{(m)})>\sigma_m(S^{(m)})>0$，其中$\sigma_i(\cdot)$表示矩阵的第$i$大奇异值。
英文摘要：
Boros and Rózsa (Linear Algebra Appl. 421 (2007) 407--416) reduced the singular value problem for the odd-order Sylvester--Kac matrix $P\in\mathbb{R}^{(2m+1)\times(2m+1)}$ to those for $Q^{(m)}\in\mathbb{R}^{(m+1)\times m}$ and $S^{(m)}\in\mathbb{R}^{m\times(m+1)}$ via a permutation similarity transformation. They noted that $(Q^{(m)})^{T}Q^{(m)}-S^{(m)}(S^{(m)})^{T}$ is positive definite, and also conjectured that $σ_i(S^{(m)})\geσ_{i+1}(Q^{(m)})$ for $1\le i\le m-1$ and $m\ge2$. In this paper, we prove that these inequalities are strict and establish the strict interlacing relation \begin{equation*} σ_1(Q^{(m)})>σ_1(S^{(m)})> \cdots>σ_m(Q^{(m)})> σ_m(S^{(m)})>0 \end{equation*} for all $m\ge1$. Here, $σ_i(\cdot)$ denotes the $i$-th largest singular value of a matrix.
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