通过热半群泛函演算与逐点乘积模拟达西解算子
Emulating the Darcy Solution Operator by Heat-Semigroup Functional Calculus and Pointwise Products
AI总结：
该研究提出一种基于热半群泛函演算与逐点乘积的算子网络，用于近似达西方程的解算子，在强局部狄利克雷空间及环面上给出显式逼近格式，达到指定误差且参数明确，为连续算子逼近提供了理论结果。
摘要：
我们利用仅以固定参考算子的热半群函数和逐点乘积为原语的算子网络，对 $-\operatorname{div}(a\nabla u)=f$ 的解算子 $(a,f)\mapsto u$ 进行近似。主要结果是关于具有谱间隙和 Bakry–Émery 界 $\mathrm{BE}(-K,\infty)$ 的强局部狄利克雷空间的模拟定理：存在显式格式，在具有有界 carré du champ（场平方）和有界生成像的系数，以及 $L^2$ 数据上，可均匀达到 $\dot H^1$ 误差 $\varepsilon$，其参数仅依赖于系数界、精度和 $K$；在环面上，这给出了一类 $C^2$ 型系数，其常数与维度无关。环面版本将此细化为分数正则性 Wiener 类 $A^{1+\theta}$，格式的乘积缺陷块可达到显式速率。该格式展开了拉普拉斯预条件理查森迭代，在不进行 Galerkin（伽辽金）截断的情况下，以 $\dot H^1$ 的算子范数控制每个不精确步骤，并从一个热层的乘积缺陷合成耦合项 $\nabla a\cdot\nabla u$。所有参数均为显式的；所得结果是关于连续算子的逼近定理。
英文摘要：
We approximate the solution operator $(a,f)\mapsto u$ of $-\operatorname{div}(a\nabla u)=f$ by operator networks whose only primitives are heat-semigroup functions of a fixed reference operator and pointwise products. The main result is an emulation theorem on strongly local Dirichlet spaces with a spectral gap and a Bakry--Émery bound $\mathrm{BE}(-K,\infty)$: an explicit scheme reaches $\dot H^1$-error $\varepsilon$ uniformly over coefficients with bounded carré du champ and bounded generator image and over $L^2$ data, with parameters depending only on the coefficient bounds, the accuracy and $K$; on the torus this gives a $C^2$-type coefficient class with constants independent of the dimension. The torus version refines this to Wiener classes of fractional regularity $A^{1+θ}$, with an explicit rate attained by the scheme's product-defect block. The scheme unrolls the Laplacian-preconditioned Richardson iteration, controls each inexact step in the operator norm of $\dot H^1$ without Galerkin truncation, and synthesises the coupling $\nabla a\cdot\nabla u$ from the product defect of one heat layer. All parameters are explicit; the results are approximation theorems for continuum operators.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
