发表机构
Penn State University（宾夕法尼亚州立大学）
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该研究证明了针对 $n \geq 3$ 的等距浸入的尖锐 $L^2$-Michael--Simon 不等式，刻画取等条件，利用共形不变性推广到其他流形子流形，并推导 Chen--Fenchel--Willmore 型不等式。
AI 中文摘要
设 $n \geq 3$，我们证明：若 $j \colon (\Sigma^n,g) \to (\mathbb{R}^N,dx^2)$ 是等距浸入，则对所有 $u \in W^{1,2}(\Sigma)$，有 $\int_\Sigma \left( \lvert \nabla u \rvert^2 + \frac{n(n-2)}{4}\lvert H \rvert^2 u^2 \right) \geq \frac{n(n-2)}{4}\mathrm{Vol}(S^n)^{2/n}\left( \int_\Sigma \lvert u \rvert^{\frac{2n}{n-2}} \right)^{\frac{n-2}{n}}$，并刻画取等的浸入。证明利用该不等式的共形不变性，可推广到球面、双曲空间及其他共形可发展流形的子流形的尖锐 Michael--Simon 不等式。作为应用，推导 Chen--Fenchel--Willmore 型不等式，将平均曲率向量的 $L^p$ 范数与单连通空间形式中紧子流形的体积关联。
英文摘要
Let $n \geq 3$. We prove that if $j \colon (Σ^n,g) \to (\mathbb{R}^N,dx^2)$ is an isometric immersion, then \begin{equation*} \int_Σ\left( \lvert \nabla u \rvert^2 + \frac{n(n-2)}{4}\lvert H \rvert^2 u^2 \right) \geq \frac{n(n-2)}{4}\mathrm{Vol}(S^n)^{2/n}\left( \int_Σ\lvert u \rvert^{\frac{2n}{n-2}} \right)^{\frac{n-2}{n}} \end{equation*} for all $u \in W^{1,2}(Σ)$, and characterize immersions for which equality is realized. Our proof exploits the conformal invariance of the inequality, and hence extends to sharp Michael--Simon inequalities for submanifolds of the sphere, of hyperbolic space, and of other conformally developable manifolds. As an application, we derive Chen--Fenchel--Willmore-type inequalities relating $L^p$-norms of the mean curvature vector to the volume of a compact submanifold of a simply-connected spaceform.
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