发表机构
Universidad Nacional de Colombia – Sede Medellín（哥伦比亚国立大学麦德林校区）
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本文将参数化差分伽罗瓦理论应用于ℤ上的广义线性元胞自动机，通过傅里叶变换转化为秩1方程，判定其参数化伽罗瓦群，得出时间方向参数化群决定空间方向完整性的推论。
AI 中文摘要
在本系列的第一部分中，离散群上广义线性元胞自动机的周期解张成的σ环被证明是具有仿射代数伽罗瓦群的Hopf-Galois结构，而有限支撑解张成的σ环的伽罗瓦理论仍未解决，文中提出参数化差分伽罗瓦理论可作为解决该问题的工具。我们将该工具应用于ℤ上的自动机，傅里叶变换将该自动机转化为一个在δ=z d/dz作用的域上的秩1方程σ(̂x)=̂α̂x，我们计算并算法判定其参数化伽罗瓦群：对于符号关于时间变量有理的真自动机，其伽罗瓦群要么是ℙ^m(ℂ)要么是ℙ^m，分界线为符号的可分性，即̂α(z,t)=γ(z)ψ(t)。最后，时间方向的参数化群决定空间方向的完整性；作为推论，第一类斯特林数在空间上不是完整的。
英文摘要
In the first part of this series the $σ$-ring spanned by the periodic solutions of a generalized linear cellular automaton in a discrete group was shown to be Hopf--Galois, with pro-algebraic Galois group, while a Galois theory for the $σ$-ring spanned by the finite support solutions was left open, with parameterized difference Galois theory suggested as the tool. We apply that tool to automata over $\mathbb Z$. The Fourier transform turns the automaton into a rank one equation $σ(\hat x)=\hatα\hat x$ over a field on which $δ=z\,d/dz$ acts, and we compute, and algorithmically decide, its parameterized Galois group: for genuine automata with symbols rational in the time variable it is either $\mathbb{G}_m(\mathbb C)$ or $\mathbb{G}_m$, the dividing line being separability of the symbol, $\hatα(z,t)=γ(z)ψ(t)$. Finally, the parameterized group in the time direction decides holonomy in the space direction; as a corollary, the Stirling numbers of the first kind are not spatially holonomic.
Comments18 pages
