发表机构
Dalian University of Technology（大连理工大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文研究具有矩表示的无界赫尔森型，在卡尔曼条件下推导其可闭性等价条件，构造关联算子并刻画其定义域、算子核及迹类判定条件，明确其与极大算子的一致性。
AI 中文摘要
我们研究正赫尔森型 $h_0[a,b]=\u2211_{m,n\u22651}\u03b1(mn)a_n\overline{b_m}$，其中 $a,b\in c_{00}$，$c_{00}$ 表示 $\ell^2(\mathbb{N})$ 中有限支撑序列，且对有限正博雷尔测度 $\mu$，$\alpha(n)=\int_{\mathbb{R}}n^{-s}d\mu(s)<\infty$。在卡尔曼条件 $\sum_{k\ge1}\alpha(4^k)^{-1/(2k)}=\infty$ 下，$h_0$ 的可闭性等价于 $\sqrt{n}\alpha(n)\to0$，进而等价于 $\mu((-\infty,1/2])=0$。对于集中在 $(1/2,\infty)$ 上的测度，设 $N_0:\ell^2(\mathbb{N})\supset c_{00}\to L^2(\mu)$ 满足 $(N_0a)(s)=\sum_{n\ge1}a_nn^{-s}$，我们证明 $N:=\overline{N_0}=N_{\max}$，其中 $N_{\max}$ 在定义域 $\operatorname{Dom}(N_{\max})=\{a\in\ell^2(\mathbb{N}):\int_{1/2}^{\infty}|\sum_{n\ge1}a_nn^{-s}|^2d\mu(s)<\infty\}$ 上作用相同的狄利克雷级数。因此 $h_0$ 的闭包 $h$ 满足 $\operatorname{Dom}(h)=\operatorname{Dom}(N)$ 且 $h[a,b]=\langle Na,Nb\rangle_{L^2(\mu)}$，其关联的正自伴算子为 $H_\mu=N^*N$。我们进一步证明满足 $\sum_{n\ge1}a_n/\sqrt{n}=0$ 的序列 $a\in c_{00}$ 构成 $H_\mu$ 的算子核。由 $d\mu_t(s)=(1-e^{-t(s-1/2)})d\mu(s)$ 生成的有界正赫尔森矩阵 $\mathcal{H}_{\mu_t}$ 刻画了其算子定义域：$g\in\operatorname{Dom}(H_\mu)$ 当且仅当 $t\to\infty$ 时 $\mathcal{H}_{\mu_t}g$ 在 $\ell^2$ 中收敛，极限为 $H_\mu g$。此外，$H_\mu$ 是迹类算子当且仅当 $\sum_{n\ge1}\alpha(n^2)<\infty$，且当 $\alpha\in\ell^2$ 时，它与矩阵 $(\alpha(mn))_{m,n\ge1}$ 定义的极大算子一致。
英文摘要
We study the positive Helson form $h_0[a,b]=\sum_{m,n\ge1}α(mn)a_n\overline{b_m}$, $a,b\in c_{00}$, where $c_{00}$ denotes the finitely supported sequences in $\ell^2(\mathbb{N})$, and $α(n)=\int_{\mathbb{R}}n^{-s}dμ(s)<\infty$ for a finite positive Borel measure $μ$. Under the Carleman condition $\sum_{k\ge1}α(4^k)^{-1/(2k)}=\infty$, closability of $h_0$ is equivalent to $\sqrt nα(n)\to0$, and hence to $μ((-\infty,1/2])=0$. For measures concentrated on $(1/2,\infty)$, let $N_0:\ell^2(\mathbb{N})\supset c_{00}\to L^2(μ)$ be given by $(N_0a)(s)=\sum_{n\ge1}a_nn^{-s}$. We prove that $N:=\overline{N_0}=N_{\max}$, where $N_{\max}$ acts by the same Dirichlet series on the domain $\operatorname{Dom}(N_{\max})=\{a\in\ell^2(\mathbb{N}):\int_{1/2}^{\infty}|\sum_{n\ge1}a_nn^{-s}|^2dμ(s)<\infty\}$. The closure $h$ of $h_0$ consequently satisfies $\operatorname{Dom}(h)=\operatorname{Dom}(N)$ and $h[a,b]=\langle Na,Nb\rangle_{L^2(μ)}$, and its associated positive self-adjoint operator is $H_μ=N^*N$. We further prove that the sequences $a\in c_{00}$ satisfying $\sum_{n\ge1}a_n/\sqrt n=0$ form an operator core for $H_μ$. The bounded positive Helson matrices $\mathcal H_{μ_t}$ generated by $dμ_t(s)=(1-e^{-t(s-1/2)})dμ(s)$ give a characterization of its operator domain: $g\in\operatorname{Dom}(H_μ)$ if and only if $\mathcal H_{μ_t}g$ converges in $\ell^2$ as $t\to\infty$, with limit $H_μg$. Moreover, $H_μ$ is trace class if and only if $\sum_{n\ge1}α(n^2)<\infty$, and for $α\in\ell^2$ it agrees with the maximal operator defined by the matrix $(α(mn))_{m,n\ge1}$.
Comments22 pages
