AI 中文总结
本研究针对S⁴与R⁴上带环面对称性的爱因斯坦度量，通过直接证明得出：有效等距T²作用下，光滑同伦四维球的爱因斯坦度量是圆的，同胚于R⁴的光滑流形上的完备里奇平坦度量经等距、缩放及定向反转后为欧氏度量或单中心Taub–NUT度量。
AI 中文摘要
本注记给出直接证明：在有效等距$T^2$作用下，光滑同伦四维球上的爱因斯坦度量是圆的，同胚于$\boldsymbol{\rm R}^4$的光滑流形上的完备里奇平坦度量，等距、缩放及定向反转后为欧氏度量或单中心Taub–NUT度量。
英文摘要
This note gives direct proofs that, under an effective isometric $T^2$ action, Einstein metrics on smooth homotopy four-spheres are round and complete Ricci-flat metrics on smooth manifolds homeomorphic to $\mathbb R^4$ are Euclidean or positive one-center Taub--NUT, up to isometry, scaling, and orientation reversal.
